Juego de abalorios: Decimocuarto relato

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NOTA BENE  
Para comprender por qué decimos que cualquiera de estos catorce relatos matemáticos que estamos publicando es un juego de abalorios, es condición necesaria leer la introducción inicial que figura en el siguiente enlace: 


 De los caminos entre las ciudades en los mapas 

Si representamos a las ciudades como puntos en un mapa y hacemos un esquema de los caminos que salen de cada una de ellas para alcanzar otras ciudades, obtendremos esquemas semejantes a estos:

En el mapa a) hay cuatro ciudades unidas dos a dos por un camino. El mapa b) muestra las ciudades 1 y 2 unidas por dos caminos alternativos, mientras que la ciudad 3 está unida a la 2 por un solo camino. El mapa c) muestra dos ciudades unidas por un solo camino.
También es concebible un mapa con una ciudad aislada, como muestra el mapa d).

Un mapa como los aquí tratados,que llamaremos grafo, se dibuja con una ciudad aislada o con ciudades unidas por caminos, como en los casos a), b) y c). Queda claro que un grafo no puede estar constituido solamente por caminos y debemos suponer que cada cruce de caminos corresponde a una ciudad. A veces, como en los grafos a) y b), aparece encerrada totalmente una región plana; en tal caso decimos que el grafo tiene una cara, pero puede tener varias caras, como es el caso del mapa e) con 5 ciudades, 7 caminos y 3 caras.

El gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1 783) descubrió que en los grafos como los aquí tratados, las ciudades, los caminos y las caras no aparecen de manera arbitraria, sino de acuerdo con la siguiente ley, conocida precisamente como Ley de Euler:

La suma del número de ciudades, menos la suma del número de caminos, más la suma del número de caras es igual a la unidad.

Es bastante claro que los grafos a), b) y c) cumplen la Ley de Euler. El grafo d) también la cumple, pues al haber una ciudad aislada, el número de caminos y el número de caras es nulo; por lo tanto, la suma sugerida por Euler se cumple perfectamente. Por ejemplo, en el grafo e), con 5 ciudades, 7 caminos y 3 caras, el cálculo de la Ley de Euler sería:

Resulta muy interesante analizar con estos elementos un viejo problema geométrico que desafió la imaginación de algunos.

Se trata de considerar tres casas, 1, 2 y 3, a las que se les desea suministrar los servicios de luz (l), gas (g) y teléfono (t ), de tal manera que las líneas de suministro no se crucen, como muestra el mapa f).

En el esquema, que evidentemente es un grafo, falta unir la casa 2 con el servicio de gas, y todo indica que el problema no se puede resolver, al menos con la configuración elegida. En realidad, se trata de un problema que no tiene solución. ¿Cómo nos podemos convencer de que efectivamente es así? En primer lugar, es interesante experimentar con otras configuraciones hasta que todas queden descartadas. Pero ¿cómo podemos estar seguros de que las probamos todas?

Otra manera de comprobar que el problema no puede resolverse consiste en razonar por el absurdo, suponiendo por un momento que el problema tiene una solución desconocida, que se muestra en el mapa g).

 Es decir, suponemos que existe una configuración especial de líneas de suministro que no se cortan en su trayectoria.
 Con toda claridad, el grafo de esta supuesta solución tiene 6 "ciudades" (1, 2,  3, l, g, t) y 9 "caminos" (en el esquema aparecen dibujados como flechitas los dos extremos de cada uno de ellos). Tanto las ciudades como los caminos se pueden contar con mucha facilidad.

¡Pero las caras también se pueden contar, aunque no aparezcan dibujadas! Para esto, y volviendo al esquema anterior, hay que proceder de la siguiente manera: si prolongamos los caminos (las flechas), que ya sabemos que no se pueden cruzar, se cuentan claramente 6 caras.

Reemplazando los valores obtenidos en la expresión siguiente, se obtiene:


¡Es un resultado que contradice la Ley de Euler! Por lo tanto, el problema analizado no tiene solución.

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