Juego de abalorios: Décimo relato

NOTA BENE

Para comprender por qué decimos que cualquiera de estos catorce relatos matemáticos que estamos publicando es un juego de abalorios, es condición necesaria leer la introducción inicial que figura en el siguiente enlace:

👉Catorce relatos matemáticos: Un juego de abalorios

De cómo hacer operaciones con regla y compás

Hasta el año 1000 de nuestra era, los arquitectos, contadores y calculistas de Europa utilizaban en sus trabajos la numeración romana. Se trata de un sistema ingenioso, pero sumamente incómodo, incluso para realizar los cálculos más sencillos. Por ejemplo, dividir 56 por 13, en números romanos se escribiría:

Hace mil años, para solucionar este inconveniente, el papa de origen francés, Gerberto de Aurillac, introdujo en Occidente los símbolos indoarábigos, que hoy se utilizan de manera universal. Se sabe que los idearon matemáticos de la India, pero los árabes los difundieron por todo el mundo, alrededor del año 800 de nuestra era.

Estos símbolos -diez en total- son los que usamos desde los primeros años de la escuela: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pero ¿por qué diez? Los estudiosos creen que,como tenemos diez dedos, entonces aparecieron diez símbolos.

Sin embargo, mucho tiempo antes de que se difundieran, los ingenieros y matemáticos griegos (que no conocían el sistema de numeración indoarábigo) podían realizar operaciones matemáticas muy complicadas, usando ingeniosamente la regla y el compás sobre una hoja de papel.

El método que usaban permite estudiar una de las maneras prácticas con la que se pueden realizar cálculos. Se trata del método analógico (de analogía, es decir, similitud).

La suma realizada de manera analógica es muy sencilla. En efecto, para sumar lo que nosotros entendemos como 1 + 1, los griegos fijaban sobre Segmento unidad. una recta un segmento de longitud arbitraria, que designaban como unidad.

Luego, desplazaban ese segmento (por ejemplo, hacia la derecha) una vez para obtener el resultado de 1 + 1, que nosotros llamamos cómodamente 2.

Generalizando esta operación, es fácil comprender que se puede realizar cualquier suma de números naturales.

El método de multiplicación analógico de los griegos era muy ingenioso, aunque menos evidente que la suma. Tomemos como ejemplo el cálculo 2 • 3, cuyo resultado, 6, nosotros conocemos bien. Resulta interesante observar de qué manera lo realizaban los griegos.

Trazando dos rectas a y b, que se cortaban en el vértice v, como en la figura, se dibujaba sobre a un segmento unidad.

Siguiendo el método explicado, se dibuja sobre la recta a el segmento de medida 2 y el de medida 3 . Haciendo centro en el vértice v , con un compás se traslada 2 sobre la recta b.

Se une 1 con 2 mediante un segmento y por 3 se traza una paralela al segmento trazado, que corta a b en el punto x .

Quedan formados los triángulos de vértices (v, 1, 2) y (v, 3, x). Estos triángulos son semejantes. Esto quiere decir que son el mismo objeto, pero " mirado" desde distancias distintas, uno está más lejos que el otro.

Tales de Mileto observó que, en estas circunstancias, los cocientes de los lados correspondientes son iguales. En particular, sucederá que:

Ahora bien: la medida del segmento v1 es la unidad. La medida del segmento v3 es lo que se entiende por 3 . Despejando, entonces, de la igualdad anterior, se obtiene como resultado la medida del segmento vx, que es efectivamente igual a 6:

medida del segmento vx = medida del segmento v3 • medida del segmento v2

¡Y este resultado se puede confirmar con una regla! ¿De qué manera? Midiendo las cantidades dadas y considerando que el 0 está ubicado sobre el vértice.

Ahora bien, ¿cómo se resuelve 3 dividido 2? Utilizamos el mismo esquema que en la multiplicación.

Sobre b, se marcan los números 1 (mediante un segmento de longitud arbitraria), 2 y 3. Con un compás, haciendo centro en v, se "copia" el número 2 sobre la recta a, y se une con un segmento al punto representativo de 3 (ubicado en la recta b). Finalmente, a través del extremo del segmento representativo de 1, se traza un segmento paralelo al ya trazado. El extremo de este segmento sobre la recta a señala el segmento representativo de la cantidad

¿Qué significa todo esto? Si lo pensamos detenidamente es muy difícil definir un número. Estos ejemplos muestran, sin embargo, que, a veces, los números pueden sustituirse muy bien por segmentos de recta, llamando 1 a un segmento de longitud arbitraria, que será fijo una vez que se ha establecido. Al hacer esto estamos procediendo por analogía o por similitud, como los antiguos griegos.

Aún hoy, se siguen empleando métodos analógicos en algunos instrumentos conocidos, por ejemplo, un reloj con agujas es una máquina que tiene engranajes relacionados entre sí de modo semejante a la manera en que están relacionados los segmentos que acabamos de ilustrar; lo mismo podemos decir de los velocímetros en los automóviles o de los termómetros con columnas de mercurio. Todos ellos son

instrumentos analógicos.

____________________________

Tomado de: Miró, R (1999) Catorce Relatos Matemáticos. Obra realizada por el equipo de Ángel Estrada y Cia. bajo la dirección de la Lic. Silvia Jauregui . Buenos Aires, Argentina.