Leyendo a Dienes de la mano de Nicole Picard

Nicole Picard nació el 7 de agosto de 1926. En 1947 obtuvo la licenciatura en ciencias. Después de tres años pasados como encargada de investigaciones en la Oficina Nacional de Estudios e Investigaciones Aeronáuticas se consagró durante otros ocho a investigar y reflexionar sobre la matemática y su enseñanza. A partir de 1963 dirigió la experimentación de la matemática moderna en los primeros grados de la Escuela Alsaciana de París. Simultáneamente tuvo a su cargo la elaboración y el ensayo de un programa experimental en el Departamento de Investigación del Instituto Pedagógico Nacional de la capital francesa. Coordinó el conjunto de las actividades de investigaciones matemáticas a nivel de las enseñanzas preescolar y elemental en toda Francia. Asimismo actuó en la CIEM, comisión de la Unión Matemática Internacional para la renovación de la enseñanza de la matemática, presidida por A. Lichnerowicz.

Compartimos algunas de sus reflexiones sobre la matemática y su enseñanza, tomadas de su libro La matemática moderna en los primeros grados , Buenos Aires: Ángel Estrada y Cía.S.A. 1970.

Nuestros axiomas básicos

FUNDAMENTOS PSICOLÓGICOS

No existe todavía una teoría del aprendizaje de la matemática. En una comunicación al congreso de Budapest de 1962 sobre la enseñanza de la matemática —del que se pueden leer amplios resúmenes en el Nº 19 de Le Courrier de la Recherche Pédagogique, publicación del Instituto Pedagógico Nacional de Francia—, R. R. Skemp subrayaba que "las teorías actuales del aprendizaje tratan únicamente de hechos y de respuestas aisladas, y no de sistemas estructurados de conocimientos y de aptitudes". Es una característica de los tipos superiores del aprendizaje la dependencia de las adquisiciones más recientes de las adquisiciones precedentes, y esta dependencia jerárquica es particularmente pronunciada en la matemática.

Para ser aplicable a la matemática, una teoría del aprendizaje no sólo debe tratar procesos del pensamiento sino también procesos del pensamiento organizados e interconectados en un sistema muy elaborado. Tal teoría no existe. Sin embargo, abundantes trabajos permiten establecer un cierto número de hipótesis valederas referentes a los procesos del aprendizaje en matemática. Así, Gréco (Traité de Psychologie expérimentale, vol. VII, página 202) distingue tres tipos de aprendizaje:

1º) los aprendizajes en los que el sujeto adquiere una conducta nueva, adaptada a una situación desconocida por él y cuyo establecimiento se explicaría esencialmente por las sanciones que la experiencia aporta a los ensayos o previsiones más o menos arbitrarios o aleatorios del sujeto; las leyes del refuerzo —o del acondicionamiento— bastarían en este caso para explicar el proceso de la adquisición y la naturaleza misma del conocimiento así formado;

2º) los aprendizajes del tipo "inducción de ley, en los cuales la experiencia y las comprobaciones tienen por función confirmar o invalidar las hipótesis;

3º) los aprendizajes estructurales, o, mejor dicho, las estructuraciones en función de la experiencia, en los cuales la función de la experiencia es disipar los esquemas constituidos anteriormente... Esos aprendizajes estructurales consisten, pues, en una reelaboración de los esquemas, al principio incompletos o disparatados."

Entre estas variedades, Gréco admite una "continuidad funcional total". Para él, el análisis del comportamiento intelectual o motor y de las adquisiciones, actuales o genéticas, puede centrarse deliberadamente en el estudio de las estructuras y las estructuraciones. Por otra parte, Gréco dice que "la historia individual de la inteligencia se presenta como una construcción y no como una sucesión de emergencias".

ENSEÑANZA E INFORMACIÓN

Progresamos en el dominio del conocimiento cuando recibimos nuevas informaciones que van a integrarse, a clasificarse, entre los conocimientos que ya tenemos, obligando eventualmente a una reorganización de esos conocimientos. En la enseñanza tradicional, la única fuente de información es el maestro; pero hay que advertir que si la información dada a todos los alumnos de la clase es la misma, la información recibida por cada alumno es diferente. En toda trasmisión de información hay deformación, debilitamiento de la información, por lo que se llama "el ruido". Un mensaje telefónico puede resultarle totalmente incomprensible al recibidor, aunque el que lo emita hable de manera coherente y con mucha nitidez. Igualmente, en una clase el mensaje recibido es con frecuencia incomprensible para muchos niños, siendo el ruido alguna desatención, la falta de interés, la inexistencia de estructuras mentales que permitan recibir el mensaje; muy a menudo es deformado incompleto. Esto obliga al maestro a repetir lo mismo varias veces con el fin de que el alumno perciba los invariantes del mensaje y de que finalmente registre una información casi correcta. Para algunos niños, algunos mensajes no llegan nunca. Si son mensajes indispensables para la comprensión de mensaje ulteriores, se producen bloqueos que impiden todo progreso intelectual en el dominio considerado.

Ahora bien, otra fuente de información que se utiliza muy poca es la experimentación personal. Los invariantes se desprenden de experiencias hechas en ciertas condiciones. Esta fuente de información debería ser la principal hasta la edad de doce años. Es la utilizada en los métodos activos. Citemos a P. Oléron (Traité de Psychologie esperimentale, vol. VII, página 34): "La esterilidad de las enseñanzas verbales y su poca eficacia, cuando se trata de pasar a resolver problemas en las materias que ellas tratan, han sido denunciadas a menudo por los pedagogos, no sobre bases abstractas sino por la observación concreta de los alumnos. De ahí el elogio de los métodos activos en los que el niño es llevado, no a un conocimiento exterior, sino a la práctica misma de la nociones que entonces se transforman en modos de acción y esquemas de respuesta. Szekely ha efectuado experimentos que aportan una justificación plena de este punto de vista".

LOS TRABAJOS DEL PROFESOR DIENES

El profesor Z. P. Dienes, de la Universidad de Adelaida, se interesó particularmente en la formación de los conceptos matemáticos en los niños. Ha sido uno de los iniciadores del Leicester Mathematical Project que ha permitido la aplicación de métodos nuevos de enseñanza de la matemática en un gran número de escuelas del condado de Leicester, en Gran Bretaña.

Dienes se impuso tres condiciones previas:

1º) considerar la matemática en su conjunto: la sucesión de experiencias matemáticas por las que pasa el niño en el curso de su escolaridad —desde el jardín de infantes—, debe ser considerada como un todo. Eso implica la consideración atenta de los procesos matemáticos, lógicos y psicológicos que ocurren.

2º) los conceptos matemáticos deberán ser construidos por los mismos niños, partiendo de una gran variedad de experiencias. Una experimentación variada, que corresponda a condiciones variadas, permite la elaboración de dichos conceptos. Deben utilizarse materiales variados. Se ha mostrado la necesidad de no utilizar tan sólo un material sino varios que permitan la transferencias

3º) el maestro debe estar atento a las diferencias individuales en las formas de aprender y en el poder de abstracción, así como las condiciones psicológicas de la enseñanza —motivación, reacciones afectivas—.

Los principios del método de Dienes se fundan en los trabajos de Piaget y en los de Bartlett, así como en sus propias observaciones. Son los siguientes:

1º) principio de constructividad. La construcción precede al análisis y conduce hasta él hacia los doce años;

2º) principio de variabilidad matemática. Haciendo variar lo más ampliamente posible a las Variables, hacemos aparecer claramente lo que es invariante durante la variación;

3º) principio de variabilidad en la percepción. Para acordar la mayor extensión posible a las diferencias individuales en la formación de los conceptos y para llevar a los niños a adquirir el sentido de la abstracción matemática, la misma estructura será presentada bajo la forma de equivalentes perpetuos lo más variados posibles.

Dienes ha expuesto sus ideas y las observaciones realizadas en Building up Mathematics y en La mathématique moderne `a l'école primaire y Comprendre la mathématique. Él muestra como, aplicando los principios anteriores, se puede edificar la matemática en el curso de los primeros años de estudio, haciendo intervenir casi únicamente procesos de pensamiento constructivo. Gracias a un cúmulo de experiencias, el niño se constituye una especie de capital matemático, y en el momento oportuno tendrá conciencia de lo que ha construido así; pasará entonces de la fase constructiva a la fase analítica de la matemática. En la enseñanza tradicional el niño aborda, hacia los doce años directamente la fase analítica, pero como no tiene experiencias personales anteriores, debe evidentemente analizar el pensamiento de otro. Esto explica en gran parte el fracaso de nuestra enseñanza actual de la matemática.

Los tres principios nos parecen razonables y los hemos aplicado en nuestra experiencia: pero nos pareció que era necesario aplicar un cuarto principio que hemos denominado Principio de utilización de la representaciones.

PRINCIPIO DE UTILIZACIÓN DE LAS "REPRESENTACIONES"

Citemos a Piaget: "Hasta en las operaciones proposicionales (once-doce años) el desarrollo operatorio se adelanta a la expresión verbal; todo el nivel de las operaciones "concretas" lo prueba, y muestra la unión de las estructuras operatorias con la coordinación de las acciones más que con su verbalización. Las operaciones se extraen de las acciones y de su coordinación, la abstracción, a partir de las acciones, no es del mismo tipo si se parte de los objetos...; ésta trata de lograr un dato y disociarlo de los otros caracteres percibidos (tal la adquisición del concepto rojo) ; aquélla, por lo contrario, es "reflexiva" para lograr una conexión inconscientemente contenida en una acción hay que proyectarla sobre otro plano, el de la representación o de la toma de conciencia (reflexión en el sentido mental del término). La abstracción reflexiva es pues, necesariamente constructiva en el sentido de que ella reconstruye, ampliándola y enriqueciéndola, la estructura elemental dada por la acción: por ejemplo, la dificultad de los niños para presentarte el trayecto de la casa a la escuela que recorren solos todos los días".

Aquí Piaget habla de "representación" en el sentido mental del término: "representarse" una operación mental totalmente abstracta. Y bien, en matemática existe una teoría de las representaciones (grafos, diagramas, esquemas, organigramas). Sin entrar en el detalle de su adquisición podemos decir que todas las representaciones tienen en común el carácter de poder ser a la vez traducidas por un dibujo y formalizadas. Donde el matemático ve un ente abstracto, el pedagogo puede ver una acción material y concreta, el psicólogo podrá tratar de ver la concreción de un modo de pensamiento. Parece, según los ensayos hechos este año en nuestras clases, que ese doble carácter las convierte en un instrumento pedagógico de elección.

La representación mental se ve facilitada si tiene un soporte visible —lo mismo que la abstracción y la —. El proceso de abstracción puede hacerse por una vía constructiva y activa; la traducción por trazos (hacer un dibujo es realizar una acción) de abstracciones, tales como las relaciones entre objetos, permite construir un modelo sensible de una estructura abstracta (las mujeres que se cortan ellas mismas sus vestidos saben muy bien cual es la utilidad de un molde). Dos conjuntos podrán ser reconocidos como poseedores de la misma estructura si tienen la misma representación gráfica.

UNA PEDAGOGÍA DE LA MATEMÁTICA

Estos cuatro principios permiten elaborar una pedagogía de la matemática desde el comienzo de la escolaridad. El niño de cinco o seis años sabe hacer clasificaciones y correspondencias de término a término, comienza a saber ordenar. Con este bagaje vamos a construir el edificio matemático. Esto exige al matemático un esfuerzo de lucidez para establecer una especie de filiación de las estructuras matemáticas. Muchas filiaciones pueden establecerse así; en su elección van a intervenir el psicólogo y el pedagogo.

PROGRAMA Y MÉTODO

En otro lugar podrá hallarse algún programa de matemática para los grados elementales. Sobre este punto hagamos la salvedad de que Z. P. Dienes rechaza todo programa. Esto parece verdadero para un pedagogo selecto, apoyado por un buen psicólogo y un buen matemático, y tal vez reservado a las clases experimentales. No me parece que en ningún caso deba generalizarse. Todos los maestros con los que he estado en contacto han reclamado un plan. Necesitan un "patrón" sobre el cual puedan ajustar su enseñanza. Lo que me parece deseable es que este modelo no lleve demasiados detalles y que se deje cierta libertad a los maestros, en función de su curso, para avanzar más en tal o cual dirección.

Se comprende fácilmente que las necesidades impuestas —estudio de una filiación de las estructuras matemáticas, elección de esta filiación de acuerdo con la psicología de los niños y la pedagogía— exigen algo más que una simple modificación de los programas existentes. Se imponen una completa reorganización de los asuntos enseñados y una reconsideración de los métodos de enseñanza. No se pueden disociar método pedagógico y tema señalado. Querer enseñar la matemática a los seis años con el auxilio de métodos tradicionales es condenarse al fracaso.

NECESIDAD DE ACTUALIZAR A LOS MAESTROS

Esta revisión de los programas y de los métodos implica la necesidad de una actualización de los maestros y una cierta modificación de las estructuras de la escuela —tales como la inclusión, en las horas de clase, de sesiones de trabajo en común para los maestros—. Esto no parece utópico, y en todo caso sería de un rendimiento seguro y rápidamente apreciable.