ADVERTENCIA
1. El porqué de esta propuesta
Es frecuente señalar como falencias notorias de la educación media en nuestro país el enfoque eminentemente enciclopedista y la ausencia de jerarquización de los contenidos programáticos que se imparten.
A la primera falencia se le adiciona la incapacidad –largamente reiterada por los planes de estudio tanto del ámbito oficial como del no oficial– para integrar contenidos y armonizar enfoques, incapacidad que se traduce inevitablemente en una suerte de superposición de conocimientos que, a modo de parcelas incomunicadas, desintegran el todo al cual se aspira en la formación de un individuo como persona.
La segunda falencia acarrea la confusión entre lo que es la abrumadora acumulación meramente informativa y el aporte selectivo y eficaz que un estudiante debería, en rigor, incorporar. Se olvida, al respecto, que la indiscriminada promiscuidad de información no sólo no asegura sino que más bien conspira contra lo que los estudios medios tendrían que fijarse como objetivo central: proveer al alumno de los instrumentos adecuados para la compleja y ardua pero insoslayable disciplina que implica la tarea de pensar. Confundiendo medios con fines, los docentes equivocamos a menudo la ruta correcta y privilegiamos el qué se enseña por encima del para qué se enseña. Si persistimos en no discriminar de manera adecuada entre ambos, transitaremos el camino atentatorio contra aquello que, precisamente, creemos estar edificando con esmero: la educación.
El presente trabajo se propone como modesta contribución al replanteo de algunos de los objetivos perseguidos por nuestros estudios de nivel medio y como inicio perfectible en el camino de la integración disciplinaria. Compartida intuitivamente aun desde los años en que recorrían las incertidumbres propias de todo comienzo universitario, los autores sostenemos como inexcusable la convicción –corroborada luego en el ejercicio de veinte años de docencia– de que las disciplinas intelectuales del hombre consienten una coparticipación susceptible de ser programada. Convicción capaz de desalentar cualquier juicio apriorístico que el quietismo o la inercia laboral pudieran imponernos en tal sentido.
2. La índole del trabajo
El lector que se aproxime a estas páginas no debe esperar toparse con demoradas disquisiciones teóricas: en relación con las tareas codisciplinarias, porque sería un temerario abuso de nuestra parte arriesgarnos a plantear cuestiones técnico-pedagógicas que hemos preferido dejar, prudentemente, en las manos responsables de los especialistas; y en relación con la obra misma, porque hemos apelado a un apoyo teórico mínimo, en la medida en que nuestra tarea se canaliza fundamentalmente bajo la forma de propuestas de trabajo, que privilegian, pues, la aplicación práctica generada por la actividad codisciplinaria.
En efecto. Hemos partido del siguiente concepto de texto: el texto (del latín "tejido") es un objeto de naturaleza lingüística, relativo a la realización escrita de la lengua, cuyos constituyentes –palabras o signos– estructurados como elementos solidarios, es decir, interdependientes, de acuerdo con la etimología de la palabra se van entrelazando en torno de un cierto eje temático, a efectos de transmitir un contenido semántico determinado.
En función de tal concepto, hemos procedido a compilar una serie de textos de naturaleza diversa (dialógica, narrativa, lírica, ensayística, informativa) a propósito de los cuales fuera posible enunciar ciertas tareas a cuyo desarrollo contribuyesen fundamentalmente las áreas de LENGUA Y LITERATURA Y МАТЕMATICA, sin desmedro, claro está, del aporte funcional de otras disciplinas: Filosofía, Artes Plásticas, etc.
Así, pues, la resolución de los ejercicios que estas páginas proponen lo primero que ha de dejar en evidencia ante el alumno es la certeza de que el quehacer intelectual constituye un campo de experimentación, en el que los seres humanos no ejercitan, por turno, una aptitud determinada, sino que configura un terreno de permanente incitación para la práctica del pensar como actividad integradora que, con su acción, logra hacer homogéneos los estímulos provenientes de áreas múltiples y diversas, y tan sólo en apariencia excluyentes.
3. La metodología que se propone
En razón de lo expuesto, la metodología de trabajo adecuada ha de ser la de taller codisciplinario, con alumnos libremente decididos a brindar su colaboración para la experiencia y orientados por profesores provistos, en primer lugar, de la flexibilidad mental que se requiere en un enfoque de tal naturaleza.
Los propios docentes participantes habrán de ser quienes ofrezcan el ejemplo aleccionador comenzando por renunciar a la nociva convicción de que las asignaturas por ellos impartidas son las asignaturas, presupuesto sin el cual resulta imposible propiciar el diálogo enriquecedor que implica cualquier actividad codisciplinaria. Sólo tales docentes y luego de las reuniones previas indispensables para el intercambio a que la tarea –como es obvio– obliga, estarán en condiciones cabales de transmitir a los alumnos intervinientes lo que es aspiración de las presentes páginas.
Por su parte, el público lector que no busque en ellas un instrumento de quehacer educativo podrá hallar, de todas maneras, estímulos para esa reflexión personal a la que debería conducirnos siempre el ejercicio de la lectura genuinamente comprensiva.
4. Noticia
El presente trabajo constituye la primera parte de una obra dividida en tres e inédita que, bajo el título de Borges algunas veces matematiza, es un conjunto de modelos para tareas de actividad codisciplinaria. La segunda parte gira alrededor de la representación gráfica de los textos y, partiendo de ella, genera también una variada ejercitación intertextual. La tercera parte configura una aproximación al pensamiento pitagórico y a la teoría matemática de los conjuntos, y apoya sus propuestas de trabajo casi exclusivamente en textos de Jorge Luis Borges.
LOS AUTORES
La Plata, mayo de 1986
UN TEXTO DIALÓGICO SOBRE LA MATEMÁTICA
I. Deslinde conceptual
Definimos el diálogo (etimológicamente, "a través de la palabra") como conversación, es decir, como intercambio verbal continuado entre dos o más hablantes. En esta oportunidad, habremos de considerarlo no en su carácter de realización oral de la lengua por oposición a la escrita, sino en el de procedimiento compositivo, esto es, uno de los modos de disponer los pensamientos al elaborar un texto escrito. En tal sentido, constituye una ficción literaria que simula una plática entre personajes y es el componente sustentante del texto dramático, pero puede aparecer, también, en el texto narrativo, ya sea con función privilegiada o accesoria.
Como género literario-filosófico, el diálogo es invención heredada de Grecia y adquirió, a través de Platón, la categoría de un procedimiento connatural no simplemente al método didáctico, sino al filosofar en sí mismo. Al respecto, La literatura griega, de Cecil M. Bowra, nos explica:
...Para los pensadores, el diálogo tiene la ventaja de presentar varios aspectos de la cuestión y evitar el dogmatismo del discurso seguido. Los distintos interlocutores sostienen distintos puntos de vista, y encuentran fácil oportunidad de afirmar sus respectivas posiciones, mucho mejor que en el lenguaje abstracto en tercera persona. Para el artista, a su vez, este procedimiento presenta singulares ventajas. Permitía al Platón poeta, nunca sofocado por Platón el filósofo, darse el gusto de pintar escenas y personajes. Platón era un dramaturgo nato. Los hombres que nos presenta están vivos, son figuras consistentes, y fácilmente se las reconoce en sus opiniones y en su modo de hablar. Los encuentros casuales y la naturalidad con que se convierten en discusión filosófica están manejados con gran soltura. Pero el principal objeto de Platón no es, desde luego, el hacer obra dramática. Sócrates mantenía que el mejor medio de encontrar la verdad era el someter a los hombres a un interrogatorio sin cuartel. No creía ni en las afirmaciones dogmáticas ni en las reflexiones solitarias y laboriosas, y cuando Platón escogió para escribir la forma del diálogo no hizo más que llevar a la perfección el método de su maestro. El proceso de preguntas y respuestas resulta más vital que cualquier exégesis. Nos conduce, como en una conversación, de uno en otro pensamiento, y nuestra experiencia se ensancha como en la compañía de hombres que saben expresar con precisión y claridad sus más recónditos pensamientos. Mediante el diálogo, Platón elude la aridez e inhumana sequedad que es el pecado de muchas exposiciones abstractas y su filosofía nunca pierde el contacto con la vida. (1)
Mediante el ejercicio dialógico, Platón se instaló en la tradición dialéctica de Zenón de Elea y de Sócrates. Tenía el convencimiento de que la manera más idónea de perseguir la verdad es la formulación de la pregunta y de la contra-pregunta, y el de que la búsqueda en sí misma era más importante que las conclusiones a las que se podía arribar, porque obliga a la mente a mantenerse en plena actividad, mientras que las conclusiones, en cambio, no siempre logran ser definitivas.
Por vía de la pregunta retórica, el mismo Platón insinúa, en un pasaje de La República, la eficacia del método para el proceso de formación educacional:
...Y si un día tuvieses efectivamente que educar a los niños que ahora educas y formas con la imaginación, [...] ¿no les prescribirías dedicarse muy particularmente a aquella educación que los hiciera capaces de interrogar y responder lo más sabiamente posible? (2)
La dialéctica es, pues, conversación en la que imperan reglas muy estrictas, la sucesión de cuyas preguntas y respuestas deviene un intento de definir conceptos de uso corriente que, sometidos a examen, se revelan llenos de contradicciones. Presupone, entonces, que el pensamiento, para ser genuino, tiene que ser coherente consigo mismo.
Como mecanismo general, la dialéctica consiste en que un personaje comience por preguntarle a otro cosas acerca de su vida y de sus opiniones, para ir involucrándolo, paulatinamente, en una verdadera red de interrogaciones, hasta obligarlo a reconocer la propia ignorancia acerca de lo que está diciendo. El inquiridor habla con sencillez y, para su argumentación, se vale de ejemplos habituales en la vida cotidiana.
II. Aspectos dialógicos
Como procedimiento compositivo, el diálogo ofrece los siguientes aspectos por considerar:
a) Interlocutores
– Posición. El diálogo patentiza el paralelismo o el contraste entre las opiniones de los intervinientes: coincidencias o divergencias en las ideas, en el en-foque, en la reacción emotiva... ante aquello sobre lo cual se conversa; así, cada uno de los interlocutores, desde su posición, va influyendo en los demás.
–Personalidad. A través de lo que expresan, los interlocutores revelan su psicología, es decir, exteriorizan una manera de ser. El talento del autor se apreciará en su destreza para plasmar la personalidad de aquéllos, haciéndolos hablar de conformidad con su carácter y su condición, y evidenciando, por los puntos de vista que exponen, esencialmente su manera de ser.
b) Composición
–Centro de interés. El diálogo discurre en torno a un determinado centro de interés o eje temático, de modo que lo expresado durante su desarrollo responde a la motivación de tal resorte, de contenido único o matizado, según el espíritu que anime la composición del diálogo.
–Estructura. En su progresión, el texto dialógico debe obedecer a un ordenamiento de desarrollo u organización de partes, en torno del precitado centro de interés.
–Ritmo. La dinámica del diálogo puede ser lenta o ágil. Se obtiene un ritmo lento mediante parlamentos expresados en períodos oracionales extensos. A la inversa, para obtener agilidad, esto es, un ritmo verdaderamente conversacional, deberá buscarse la mayor proximidad posible a la lengua oral: preferencia por las oraciones breves; intervenciones interruptoras de un interlocutor respecto del otro; uso de las repeticiones; recurrencia de las réplicas ágiles, intencionadas e irónicas, que confieren gran vivacidad a la con versación; omisión de palabras que se juzgan prescindibles por sobreentendidas; presencia de los matices de la afectividad (diminutivos, aumentativos, despectivos)...
–Indicadores gráficos. Cuando el diálogo aparece inserto en un texto narrativo, las intervenciones de los interlocutores van precedidas por las rayas de diálogo o guiones mayores, o a veces, también, encerradas entre comillas, con prescindencia de aquéllas. Si el narrador acota con sus palabras las del personaje hablante, el diálogo se denomina matizado. En cambio, cuando el diálogo es resuelto como texto dramático, se explicita el nombre de quien va a hablar precediendo sus palabras.
III. Ejemplificación
Por vía de ejemplo, se analizará un fragmento del acto I de En familia, de Florencio Sánchez:
Mercedes.– En alguna parte tenia que alojarse el pobre hijo.
Emilia. –Hay tantas casas de pensión baratas...
Mercedes. –No querrá llevar a su mujer a sitios que puedan desagradarle.
Emilia. –¡Oh! La tana pretenciosa; cuidado no se fuera a rebajar.
Mercedes.– Bueno; creo que no tenemos derecho a decir nada. En donde debió hospedarse Damián es aquí, en casa de sus padres, en su casa.
Emilia. – Como para huéspedes es la casa.
Laura. – Si hubiese venido solo, menos mal.
Mercedes. – Y lo único que falta es quien trabaje.
Eduardo. – ¿Empezamos ya con las indirectas? ¿Saben que me tienen harto ya?
Emilia. – Pues, te felicito hermano. De un tiempo a esta parte, aquí nadie se harta de nada.
Emilia.– No, señora, no. Por culpa nuestra, ¿verdad, Laura?
Laura – Claro está. Todavía no hemos encontrado un novio capaz de casarse y mantener a toda la familia.
Emilia. – Sin embargo, no deben afligirse. Hay muchos "medios" de buscar fortuna.
Mercedes.– ¡Grosera!
Emilia. – ¡Oh! Para qué empieza. Bien sabe que no nos mordemos la lengua.
Eduardo. – Lo que digo es que tiene razón mamá. Damián ha debido venir a casa. Lo que habría de gastar en otra parte lo gasta con nosotros, y salvamos la petisa.
Laura. – Limosna no. Retribución de servicios, en todo caso.
Emilia. – Cuando no habías de salir con alguna patochada. ¡Guarango!
Emilia. – Tengo en qué fundarlo, ¿sabés?
Eduardo. – ¡Miseria!
Emilia. – Y vergüenza y delicadeza, todo lo que a vos te falta.
Eduardo. – Callate, idiota.
Emilia. – Andá a trabajar. Sería mejor.
Eduardo. – Para mantenerlas a ustedes, para costearles los lujos, las paradas. ¡Se acabó el tiempo de los zonzos!
Emilia –¡Zángano!
Eduardo. – ¡"Laboriosa"!
Emilia. – ¿Qué me contás? Y ya sale en la vida social. ¡Quién le iba a decir a la almacenerita ésa! ¡Lo que es tener plata!
Laura. – El mozo es muy bien.
Emilia. – Quién sabe, che! Hay tantos doctorcitos hoy en día, que una no sabe de donde han salido. Eduardo. – ¡Eso es! Despellejen, corten no más. La diversión es entretenida y económica. ¿Dónde dejaste el mate?
Mercedes. – Caramba con Jorge, que no aparece.
Eduardo. – ¿Aguardás a papá? ¿Hoy qué día es? ¿Jueves? ¿Carreras en Belgrano? Esperalo sentada.
Eduardo.– ¡Ah! ¿Comemos hoy? ¿Festejando qué cosa?
Mercedes. – ¡Uf! ... Son muy graciosos todos ustedes; toda la gente de esta casa. ¡Qué importa que nos devore la miseria ni vivir una vida de vergüenza y de oprobio, debiendo a cada santo una vela, pechando y estafando a las relaciones, desconceptuados y desgraciados!
Emilia. – ¡Desgraciados, no!
Mercedes. – ¡Desgraciados, sí, desgraciados! Nada los preocupa ni les quita el buen humor. La verdad es que no sé qué laya de sangre tienen ustedes! ¿Qué no hay qué comer? ¡Nunca tan alegres y jaranistas! ¿Que nos embargan los muebles? ¡Pues viva la patria! ¿Que el viejo hace una de las suyas? ¿Han visto? ¡Qué rico tipo!
Emilia. –¡Ay, señora, ya no se usa llorar por eso!
a) Interlocutores
– Posición. Enfrentamiento de la madre, Mercedes, con dos hijas, Emilia y Laura, y un hijo, Eduardo; pero, también, entre las dos hermanas y el hermano. Durante todo el diálogo, el tono es de fuerte disidencia, salvo entre las hermanas, que son solidarias.
– Personalidad. Mercedes: debilidad, decepción. Emilia y Laura: acritud, resentimiento, pretensión social, desconsideración para con la madre. Eduardo: desidia, indiferencia, lucidez crítica llena de sentido irónico.
b) Composición
– Centro de interés. Se trata de la situación de estrechez económica que vive una familia de la burguesía porteña, asociada a un notorio deterioro en el plano moral.
– Estructura. Pueden deslindarse siete momentos: 1) alusiones al hermano, que regresa tras una larga ausencia, y a la esposa de éste; 2) generalizaciones intencionadas acerca de la situación hogareña; 3) reproches directos; 4) generalizaciones de carácter sentencioso; 5) nuevos reproches; 6) alusiones re-sentidas a la actualidad social; 7) balance materno de la negativa situación familiar. Los siete momentos se señalan en el texto transcripto.
– Ritmo. Dinámica ágil, de verdadero ritmo conversacional: oraciones breves, réplicas cortantes, intención irónica, lengua coloquial. Algunos rasgos típicos del uso coloquial: voseo; giros familiares ("estar tan fundido", "no nos mordemos la lengua"; "salvamos la petisa", "debiendo a cada santo una vela", "pechando"); empleo de "che" como vocativo habitual en el habla argentina.
– Indicadores gráficos. Por tratarse del fragmento de un texto teatral, se especifica el nombre de los interlocutores precediendo sus intervenciones.
PROPUESTAS DE TRABAJO
Lea atentamente el texto La matemática. Un diálogo socrático. de Alfréd Rényi que se reproduce en el siguiente enlace:
👉La matemática. Un diálogo socrático
A. Propuestas de alcance general
1. Puede sostenerse con certeza que, en La matemática. Un diálogo socrático. Alfréd Rényi ha imitado deliberadamente el modelo dialógico acuñado por Platón. Fundamente esta aseveración, teniendo en cuenta lo que se ha expuesto en el apartado Deslinde conceptual.
2. Analice la posición de los interlocutores, en el transcurso del diálogo: ¿se advierte evolución en ella?
3. A partir de lo expresado por los dos hablantes, intente caracterizar la personalidad de ambos.
4. Determine qué centro de interés actúa como eje temático del diálogo y descubra los distintos subtemas que matizan ese centro de interés.
5. ¿En cuántas partes ordenaría usted el texto de Rényi? Sintetice, en un breve enunciado, el contenido de cada una de tales partes.
6. Establezca qué ritmo sigue el desarrollo del diálogo, ilustre su aseveración con ejemplos textuales, valiéndose como guía de lo expuesto en el ítem correspondiente del apartado Aspectos dialógicos.
7. Señale a qué tipo de indicador gráfico ha apelado el autor del diálogo.
8. Enuncie la opinión que le merece el diálogo de Rényi en un juicio de valor debidamente fundado.
B. Propuestas de alcance particular
1. Realice la confrontación analítica de los siguientes pasajes del diálogo La matemática con la cita de Juan Salvador Gaviota, de Richard Bach, que se transcribe a continuación:
"Todos deben decidir por ellos mismos lo que quieren hacer. No puedo hacer más que asistirte como partera a dar a luz tu decisión. [...] El conocimiento que se obtiene sin trabajo es casi inútil; comprendemos totalmente sólo aquello que, quizá con ayuda de afuera, descubrimos nosotros mismos..."
"...Juan Gaviota había nacido para ser instructor, v su manera de demostrar el amor era compartir algo de la verdad que había visto, con alguna gaviota que estuviese pidiendo sólo una oportunidad de ver la verdad por sí misma." (3)
2. En el apartado Deslinde conceptual, se propone una caracterización del método dialéctico. Durante el transcurso del diálogo La matemática, el personaje de Hipócrates alude, también, al método con las siguientes palabras:
...¿estás dispuesto a conducir la discusión del modo que a mi me agrada? Te haré preguntas y tú deberás contestarlas. ¿Y sabes que de esta conversación no puedes sacar más provecho que de ver más claro lo que ya sabías, y hacer florecer el conocimiento cuyas semillas ya estaban en tu alma?
Teniendo en cuenta las dos referencias mencionadas, busque ahora interpretar el óleo del Veronés La dialéctica (o La industria), que decora el Palacio Ducal de Venecia. Puede servirle de ayuda orientadora la siguiente pregunta: ¿por qué el personaje femenino del cuadro sostiene y contempla una tela de araña?
Venecia, Palacio Ducal
Oleo sobre lienzo, 150 X 220, 1575-77
Forma parte de la decoración del techo de la sala de reunión del Collegio, que el artista realizó valiéndose, por lo que respecta a algunas zonas secundarias, de la colaboración de su hermano Benedetto y de otros ayudantes. El conjunto lo constituyen tres grandes lienzos centrales (El león marciano entre Marte y Neptuno, La Fe y Venecia dominadora cori la Justicia y la Paz) flanqueados por ocho Virtudes, en correspondencia con los artesones perimétricos. La Dialéctica –que también ha sido interpretada como la Industria, por cuanto la tela de araña es emblemática de ambas– es el segundo elemento de la derecha según se entra, y. lo mismo que las otras pinturas , desde 1577 aparece encajada en un fastuoso marco de madera , obra de Francesco Bello.
De: Maestros de la Pintura, VERONÉS. Barcelona, Noguer-Rizzoli, 1973, p. Veronés II-3.
3. En una de sus intervenciones, Hipócrates, repitiendo a Teetetos, expresa que "la matemática estudia los números y las formas geométricas", a) Mencione tres disciplinas que puedan definirse en función de su objeto de estudio (por ejemplo, las Ciencias Biológicas). b) ¿Podría usted aplicar el mismo criterio a la definición actual de la Literatura y de la Matemática? c) De no ser así, ¿cómo definiría estas dos disciplinas?
4. Repare en el siguiente pasaje del diálogo La matemática: a la pregunta de Sócrates: "¿Estoy en lo cierto al decir que podemos contar las ovejas acá en el prado o los barcos en el puerto de Pireo", responde Hipócrates: "Sí, podemos". La respuesta es afirmativa porque el proceso de contar ovejas es el mismo de contar los barcos. Esto significa que contar no tiene nada que ver ni con las ovejas ni con los barcos, pero que, a pesar de ello, resulta aplicable a ambos. ¿Por qué? Como auxilio para su respuesta, transcribimos el siguiente pasaje de Uno y el universo, de Ernesto Sábato:
Tres pirámides y tres panteras no tienen casi nada de común: aquéllas son inertes, geométricas, no se reproducen, no tienen garras, no son cuadrúpedos ni carnívoros. Y sin embargo, entre ambos grupos hay un núcleo idéntico que queda cuando todos los caracteres físicos han sido descartados: la trinidad de los dos grupos. (4)
5. a. Repase este fragmento del diálogo La matemática:
Hipócrates: Claro.
Sócrates: Pero si las ovejas existen, ¿su número debe ser algo que existe también?
b. Confronte lo leído con los siguientes pasajes de Matemáticas e imaginación, de Edward Kasner y James Newman, y de Uno y el universo, respectivamente:
... el infinito, ciertamente, no existe en el mismo sentido en que decimos: "Hay peces en el mar". Al fin de cuentas la proposición "Hay un número llamado 7" se refiere a algo que tiene una existencia diferente de la del pez en el mar. "Existencia", en la acepción matemática, es completamente distinta de la existencia de objetos en el mundo físico. Una bola de billar puede tener como una de sus propiedades, en adición a su blancura, redondez, dureza, etc., una relación de circunferencia a diámetro que involucra el número . Estamos de acuerdo en que tanto la bola de billar como 𝝅 existen; debemos también convenir en que la bola de billar y 𝝅 llevan diferentes clases de vidas. (5)
... aunque participan en este mundo, los números y las formas geométricas son entes abstractos que pertenecen a una realidad más pura y esencial. [...] Cheops, construida con dura piedra y con el sacrificio de miles de esclavos, es implacablemente derruida por la arena y el viento del desierto; la pirámide matemática que forma su alma, invisible, ingrávida, impalpable, resiste el embate del tiempo; más, todavía, está fuera del tiempo, no tiene origen, no tiene fin. (6)
6. a. Establezca las relaciones pertinentes entre la siguiente cita de La matemática y los fragmentos de La República, de Platón, que se incluyen luego:
Hipócrates: Si, eso es lo que quiero decir.
... el dar precisamente al alma [...] un magnífico impulso hacia la región superior y el obligarla a razonar sobre los números considerados en sí mismos, sin consentir jamás que se inmiscuyan en sus razonamientos números que representen objetos visibles o palpables... [...] los números que no pueden ser concebidos sino mediante el pensamiento y de ninguna otra manera pueden ser manejados (7)
b. Intente usted ahora formular una definición de número natural. Si, por falta de elementos adecuados, no obtiene una respuesta satisfactoria, pase a c.
c. Según Gottlob Frege, los números no son cosas materiales, ni conjuntos, montones o configuraciones de cosas materiales; y no son propiedades de cosas materiales; pero tampoco son algo subjetivo, ni se confunden con los signos que se refieren a ellos. (8) Intente nuevamente una definición de número. Si los elementos de juicio le siguen resultando insuficientes, pase a d.
d. El poema de Pablo Neruda "28325674549", de Las manos del día, respeta escrupulosamente todas las etapas necesarias para la construcción del concepto de número:
2 Juntó una piedrecita
3 con otra, un trueno
4 con un trueno,
5 un águila caída
6 con otra águila,
7 una flecha con otra
8 y en la paciencia del granito
9 una mano
10 hizo dos incisiones, dos heridas,
11 dos surcos: nació el
12 número.
14 el cuatro:
15 fueron saliendo todos
16 de una mano,
17 el cinco, el seis,
18 el siete,
19 el ocho, el nueve, el cero
20 como huevos perpetuos
21 de un ave
22 dura
23 como la piedra,
24 que puso tantos números
25 sin gastarse, y adentro
26 del número otro número
27 y otro adentro del otro,
28 prolíferos, fecundos,
29 amargos, antagónicos,
30 numerando,
31 creciendo
32 en las montañas, en los intestinos,
33 en los jardines, en los subterráneos,
34 cayendo de los libros,
35 volando sobre Kansas y Morelia,
36 cubriéndonos, cegándonos, matándonos
37 desde las mesas, desde les bolsillos,
38 los números, los números,
39 los números. (9)
Ensaye distinguir los bloques de versos que corresponderían a las sucesivas etapas en el surgimiento de la noción de número natural, teniendo en cuenta el siguiente cuadro de formulación de relaciones:
Intente, una vez más, una definición de número natural. Luego de establecerla, relaciónela con la solución que elaboró para la propuesta 4. Confronte su definición con la que aparece al finalizar estas propuestas.
7. Relea el siguiente fragmento de La matemática, que Rényi pone en boca de Sócrates:
... en matemática podemos alcanzar el conocimiento que está más allá de toda duda, mientras que en otras ciencias a en la vida cotidiana ello es imposible.
Repare en las dos aseveraciones siguientes:
a. Protágoras: ninguna tangente del mundo de la experiencia toca al círculo en un solo punto, como lo exige su definición; pero resulta que todo conocimiento procede del mundo de la experiencia; por lo tanto, no puede atribuirse validez universal a los principios matemáticos de la tangente.
b. Platón: en realidad, ninguna tangente del mundo de la experiencia toca al círculo en un solo punto; pero los principios que sobre la tangente se deducen de su definición son universalmente válidos; por lo tanto, su definición no procede del mundo empírico.
¿A cuál de las dos aseveraciones entiende usted que se aproxima la de Rényì? ¿A cuál de las dos juzga usted la más acertada? Fundamente sus respuestas.
8. A propósito de la esposa de un carpintero acusada de cometer adulterio y del personaje literario de Clitemnestra, La matemática plantea el problema de la dicotomía persona real/personaje ficticio, es decir, entes reales/entes irreales. Confronte la conclusión que puede extraerse de ese planteamiento en el diálogo, con el que realiza la obra teatral de Luigi Pirandello Seis personajes en busca de un autor y que el propio dramaturgo formula así, en distintos pasajes del prólogo de la pieza:
¿Qué autor podrá decir jamás cómo y por qué un personaje le nació en la fantasía? El misterio de la creación artística es el misterio mismo del nacimiento de la vida. Un mujer, amando, puede ansiar ser madre; pero ese deseo, por intenso que sea, por sí solo, no bastará. De pronto, un día, sin ninguna advertencia, se sentirá madre, sin saber cuándo empezó a serlo. Así es como, viviendo, un artista acoge en sí tantos gérmenes de vida, no pudiendo decir jamás cómo y por qué, en momento dado, uno de esos gérmenes vitales se injerta en su fantasía, para transformarse en una criatura viva, en un plano de vida superior, más allá de la existencia cotidiana. [...] El inmanente conflicto entre la actividad vital y la forma es condición inexorable no sólo del orden espiritual, pero también de aquél de la naturaleza. La vida que se ha apropiado de nuestra forma corporal para ser, poco a poco mata su forma. El llanto de esta naturaleza fijada es el irreparable, continuo envejecer de nuestro cuerpo. [...] Todo lo que vive, por el solo hecho de vivir, tiene forma, y por lo mismo debe morir: menos la obra de arte que, precisamente, vive para siempre, por ser forma. (10)
9. A su juicio, ¿es valedero el paralelismo que establece Hipócrates entre la tarea que realiza el matemático y el quehacer del poeta? ¿Por qué piensa que es así?
10. Durante el desarrollo dialógico, Sócrates afirma: "Nunca he oído que dos poetas escribieran el mismo poema"; e Hipócrates lo corrobora. Se podría suponer, con Giordano Bruno (filósofo italiano, 1548-1600), que existen infinitos mundos, en los cuales la creación literaria tiene productividad equivalente a la del nuestro. Se podría suponer también, como lo propone Jorge Luis Borges, que existe una Biblioteca Total, con obras compuestas mediante
los universales símbolos ortográficos, no las palabras de un idioma. El número de tales elementos –letras, espacios, llaves, puntos suspensivos, guarismos– es reducido y puede reducirse algo más. El alfabeto puede renunciar a la cu (que es del todo superflua), a la equis (que es una abreviatura) y a todas las letras mayúsculas. Pueden eliminarse los algoritmos del sistema decimal de numeración o reducirse a dos, como en la notación binaria de Leibniz. Puede limitarse la puntuación a la coma y al punto. Puede no haber acentos, como en latín. A fuerza de simplificaciones análogas, llega Kurd Lasuwitz a veinticinco símbolos suficientes (veintidós letras, el espacio, el punto, la coma) cuyas variaciones con repetición abarcan todo lo que es dable expresar en todas las lenguas. El conjunto de tales variaciones integraría una Biblioteca Total, de tamaño astronómico. (11)
En esta vastísima Biblioteca, no habría dos libros idénticos. El cálculo combinatorio permite, entonces, conjeturar con certeza rigurosa el "tamaño astronómico" de la Biblioteca en cuestión, dado que, en las condiciones establecidas, el número de posibles libros distintos, si bien desmesurado, es finito. A propósito del texto borgiano, el matemático François Le Lionnais calculó el número de libros contenido en la Biblioteca: para ello, supuso que se halla compuesta, en su totalidad, por obras de cuatrocientas diez páginas, a razón de cuarenta líneas por página y de ochenta caracteres por línea. Frente a lo expuesto, si atribuimos las obras escritas, cuyo número es finito, a infinitos autores –pues, por hipótesis, los mundos eran infinitos–, por lo menos una de tales obras tendrá que ser necesariamente atribuida a infinitos autores. Así, por ejemplo, Ficciones, de Jorge Luis Borges, reconocería a infinitos escritores de este nombre que, palabra por palabra, signo por signo, hubieran compuesto la misma obra literaria, pero sin ser plagiario ninguno de ellos. Acerca del mismo tema, pregúntese usted ahora a qué conclusión podría llegarse si admitiésemos que nuestro mundo ha existido desde siempre.
11. Rényi hace preguntar a Sócrates:
... ¿el matemático que halla una nueva verdad, la descubre o la inventa? ¿Es un descubridor como el marinero, o un inventor como el pintor?
Pruebe usted responder a ambos interrogantes, mediante la adhesión o el rechazo que le merezca la siguiente observación de Ernesto Sábato:
...que para llegar al ente matemático se necesite un proceso mental no significa que sea inventado por la mente: el hombre no inventa el carácter común a un grupo de pirámides y uno de panteras; descubre algo preexistente. El tres y el triángulo existieron antes de aparecer los hombres y subsistirán, por toda la eternidad, después de que estos seres hayan desaparecido del Universo. (12)
12. Para confrontar el mundo de los objetos matemáticos y el mundo de los objetos empíricos, Rényi apela a la ejemplificación de la imagen de una roca que se refleja en el agua. Teniendo en cuenta ese tramo del diálogo, fundamente usted si coincide o no con la afirmación de Sócrates que responde a la siguiente pregunta de su interlocutor: "¿Quieres decir que el mundo de la matemática es una imagen reflejada del mundo real en el espejo de nuestro pensamiento?"
13. En relación con la propuesta precedente, diga usted con cuál de las siguientes acepciones del sustantivo conocimiento se vincula lo expresado por Rényi:
a) conocimiento como invención creativa; b) conocimiento como visión contemplativa; c) conocimiento como asimilación nutridora.
14. a. Lea la siguiente transcripción de Uno y el universo:
Los niños no saben razonar con números puros necesitan sumar manzanas o libros: mucho más tarde, inconscientemente, prescinden de los objetos físicos y calculan con números puros, abstraídos de la realidad física por un largo proceso mental. Es muy probable que en los pueblos primitivos haya pasado algo semejante... (13)
b. Localice ahora el pasaje de La matemática que, por su contenido y forma, coincide casi puntualmente con la cita del texto de Sábato.
15. a. Hacia el final del diálogo de Rényi, observe qué discurren los interlocutores acerca de un nuevo símil: el mapa.
b. Lea el siguiente fragmento de La caza del Snark. Una agonía en ocho paroxismos, de Lewis Carroll:
Había comprado un gran mapa que representaba el mar, sin los menores vestigios o mención de tierra alguna, y los tripulantes, complacidos, encontraron que era un mapa que por fin todos podían entender.
–¿Para que los Palos, los Trópicos, los Ecuadores, las Zonas y los Meridianos de ese viejo Mercator? – declaraba resueltamente el Hombre de la Campana. Y la tripulación respondía: –¡Son invenciones que no sirven para nada! ¡Los demás mapas son tan complicados, con sus islas y sus promontorios! Pero debemos agradecer a nuestro valiente Capitán –proclamaba la tripulación– el habernos comprado el mejor: ¡uno perfecta y absolutamente en blanco! (14)
Una posible representación para el mapa de Carroll:
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