Por ÁNGEL RAMOS SOBRINO
lnspector de Enseñanza Primaria Valencia
FUNDAMENTACIÓN PSICOLÓGICA DE LA NECESIDAD DE UN MATERIAL PARA LA
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA MODERNA ELEMENTAL
De los estudios minuciosos de epistemología y psicología genéticas de Piaget, se desprende:
a) Las estructuras de la Matemática moderna y las estructuras mentales guardan una estrecha correspondencia.
b) El pensamiento se apoya en la acción.
b) El pensamiento se apoya en la acción.
c) En el desarrollo de las operaciones mentales se siguen una serie de etapas o estadios.
a) Las estructuras matemáticas y las estructuras mentales guardan una estrecha correspondencia
Inspirándose en las tendencias bourbakistas,la Matemática moderna pone el acento en la teoría de los conjuntos. Piaget, a quien nos vemos obligados a acudir siempre que tratamos de la génesis de los procesos mentales, nos dice que las intersecciones y reuniones de conjuntos, las correspondencias ... , son precisamente operaciones que la inteligencia construye y utiliza de manera espontánea desde los siete u ocho años y aún mucho más, desde los once-doce años, a cuya edad llega a la estructura compleja del conjunto de partes, origen de la combinatoria.
Las Matemáticas, después de la escuela Bourbaki, ya no se nos presentan como un conjunto de capítulos separados, sino como una jerarquía de estructuras que se engendran unas a otras a partir de unas ''estructuras madres". Estas estructuras madres son:
- Las estructuras algebraicas, cuyo prototipo es el grupo.
- Las estructuras de orden, cuyo prototipo es la red.
- Las estructuras topológicas, que se refieren a los conceptos de entorno, límite y continuidad.
- Estructuras algébricas en los "agrupamientos" lógicos de clases.
- Estructuras de orden en los "agrupamientos" de relaciones.
- Estructuras topológicas en la geometría espontánea del niño.
b) El pensamiento se apoya en la acción.
Piaget sostiene que todo pensamiento se apoya en la acción y que los conceptos matemáticos tienen su en los actos que el niño lleva a cabo con los objetos y no en los objetos mismos.
Las operaciones del pensamiento son acciones interiorizadas, reversibles y coordinadas. en sistemas.
"En una expresión matemática cualquiera, tal como ( x² + y = u - z) cada término designa, en definitiva, una acción; el signo (=) expresa la posibilidad de una sustitución; el signo (+) una reunión; el signo (-) una separación; el cuadrado (x² ), la acción de reproducir equis veces x , y cada uno de los valores u, y, z, la acción de reproducir cierto número de veces la unidad" (1).
Cada uno de los símbolos representa, como dice Piaget, una acción que podría ser real, pero que el lenguaje matemático se limita a designar abstractamente, bajo la forma de acciones interiorizadas, es decir, de operaciones del pensamiento.
e) En el desarrollo de las operaciones mentales se siguen una serie de etapas o estadios
El desarrollo de la inteligencia sigue unas etapas, que Piaget resume así :
- Etapa senso-motriz, hasta el año y medio o dos años.
- Etapa preoperatoria, de los dos a los siete años. Dentro de esta etapa cabe distinguir la del pensamiento simbólico, de los dos a los cuatro años, y la del pensamiento intuitivo, de los cuatro a los siete años. El pensamiento antes de los seis-siete años carece de reversibilidad, es decir, de la capacidad de hacer y deshacer mentalmente un camino, de descomponer y recomponer un todo, de percibir que un conjunto de objetos permanece invariable si se le quita y agrega luego la misma cantidad.
- Etapa de las operaciones concretas, de los siete-ocho años a los once-doce años. Es el primer período operativo, puesto que ya se da la reversibilidad, pero las operaciones sólo se logran en situaciones concretas, en donde el niño maneja activamente datos materiales, que puede ver y tocar. Si en esta etapa hacemos razonar al niño con proposiciones verbales. a menudo se encuentra incapaz de llevar a cabo la misma operación que él realiza cuando se aplica a situaciones concretas.
- Etapa de las operaciones formales, de once doce años a catorce-quince años. El niño llega a desprenderse de lo concreto orientándose hacia lo inactual, ha superado el aquí y el ahora, se hace capaz de sacar consecuencias necesarias de verdades simplemente posibles, lo que constituye el principio del pensamiento hipotético-deductivo o formal.
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(1) PIAGET, J.: Psicología de la inteligencia. Ed. Psique, página 51.
ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL, PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA MODERNA
- Manipulable
De lo anteriormente expuesto se desprende que para el logro de las estructuras lógico-matemáticas en el niño, especialmente en el estadio preoperatorio (cuatro-siete años) y concreto (ocho-once años), será muy conveniente la utilización de un material manipulable, a fin de que las acciones que con él realice puedan pasar, mediante un proceso de interiorización, a constituir operaciones mentales.
Hasta edades bastante avanzadas se observa el hecho de que el niño, antes de poder deducir un resultado, se ve obligado a comprobarlo empíricamente para admitir su verdad. En los niveles preoperatorios, es decir, antes de los siete años, ocurre así con todas las verdades lógico-matemáticas descubiertas por el niño, comprendidas incluso las más evidentes, como la transitividad de la igualdad.
Hay que hacer constar, sin embargo, que en la utilización de este material por el niño no es la experiencia física lo que nos interesa, sino la lógico-matemática. No son los objetos. sino las acciones que con ellos se realizan, los que tienen un interés didáctico, porque las nociones matemáticas no se derivan de los materiales, sino de la captación del significado de las operaciones realizadas con distintos materiales.
- A tributos claramente definidos
Este material manipulable, que podrá ser figurativo. como en el caso de las fichas de personas, animales, vehículos, frutos, del método K M L de Touyarot, o no figurativo, como en los bloques lógicos de Dienes, regletas de Cuisenaire o plaquetas de Touyarot, deberá tener los atributos claramente diferenciados para la constitución de los conjuntos, pues no olvidemos que ya en 1872 Georg Cantor, el creador de la teoría de conjuntos, definía un conjunto como "la reunión de un todo de objetos de nuestra
intuición o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables unos de los otros". Desde un principio, por tanto, la definición de Cantor deja fuera de los conjuntos, considerados en el sentido matemático, aquellos cuyos objetos no están bien determinados
- Variabilidad
La variabilidad es una cualidad del material para la enseñanza de la Matemática moderna, señalada por Dienes. El que se logre un concepto matemático dependerá de la habilidad para identificar y definir algo que tengan en común diversas experiencias concretas y distintas. La hipótesis de Dienes es que mientras más variados sean los modelos perceptivos a disposición del niño, más fácil será adquirir los conceptos.
Conforme con este criterio de variabilidad del material, Dienes ofrece numerosas estructuras distintas, sobre las cuales pueden efectuarse tareas matemáticas equivalentes. Así, al diseñar materiales estructurados en forma tal que faciliten el logro del concepto de valor de posición, en vez de usar bloques de base 10 exclusivamente, como otros autores, varía las bases en los llamados bloques multibase, que más tarde describiremos, y los niños, al jugar sucesivamente con los bloques de distintas bases, logran abstraer el concepto del valor de posición.
MATERIAL MÁS UTILIZADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA MODERNA ELEMENTAL
Vamos a limitarnos a la descripción de algunos de los materiales de uso más frecuente para la enseñanza de la Matemática moderna elemental, tales como:
- Bloques lógicos, de Dienes.
- Bloques multibase, de Dienes.
- Números en color, de Cuisenaire.
- Material Discart.
- Material KML, de Touyarot.
- Minicomputador, de Papy.
- Geoplano, de Gattegno.
- Geoespacio, de Puig Adam.
- "Construyamos la geometría", de Emma Castelnuovo.
LOS BLOQUES LÓGICOS, DE DIENES
Tienen como finalidad iniciar a los niños de cinco a siete años en la teoría de los conjuntos y en la lógica. William Hull fue el primero que utilizó estos bloques como auxiliares en el aprendizaje de la lógica. Posteriormente los ha utilizado Dienes en las escuelas de Australia y Canadá.
Los bloques lógicos constan de 48 elementos, que tienen cuatro atributos:
- Forma.
- Color.
- Tamaño.
- Grosor.
Según la forma, existen cuatro variantes: cuadrado, círculo, triángulo y rectángulo.
Según el color, tres variantes: rojo, azul. amarillo.
Según el tamaño, dos variantes grande y pequeño.
Según el grosor, dos variantes: grueso y delgado.
Hay, por tanto, 12 bloques de cada una de las cuatro formas.
24 bloques delgados y 24 bloques gruesos,
24 bloques grandes y 24 bloques pequeños.
16 bloques rojos, 16 azules y 16 amarillos.
Para distinguir un bloque de los otros 47 es necesario dar sus cuatro atributos. Estas cuatro categorías de atributos sirven de criterio para reunir los bloques cuando se constituyen los conjuntos.
Permiten adquirir jugando las nociones fundamentales sobre conjuntos. Las primeras experiencias matemáticas de los niños deben ser precisamente a propósito de los conjuntos, el número vendrá después como propiedad de los conjuntos equivalentes.
Los bloques lógicos suministran al niño numerosas situaciones que le obligan a realizar investigaciones lógicas y matemáticas. Juegan con problemas y situaciones que encontrarán más tarde en el plano del pensamiento abstracto.
Los primeros juegos con este material tienen por finalidad conducir a los niños al conocimiento de los bloques. Dentro de estos juegos preliminares tenemos el llamado del "retrato", que consiste en describir cada uno de los bloques. precisando sus cuatro atributos. Así: "éste es un bloque redondo, amarillo, pe-queño, delgado". Sucesivamente, cada niño tomará un bloque y lo describirá.
El juego inverso es la elección de un bloque entre los 48, dando la descripción: "Busca un bloque que sea..." Aquí puede hacerse el juego más divertido no fijando más que dos o tres atributos: "Busca todos los bloques que sean redondos y azules".
Juegos de diferencias y semejanzas, en los que intervienen varios niños. Son juegos sociales. Se trata de hacer, como en los juegos de dominó, una cadena de bloques, poniendo un bloque a continuación del otro, de forma tal que tengan con el precedente una, dos o tres diferencias o semejanzas de atributos. El juego da lugar a discusiones interesantes entre los niños.
Después de bien conocidos los bloques mediante los juegos preliminares, se pasa a la constitución de los conjuntos. Los bloques con sus cuatro atributos permiten la formación de gran variedad de conjuntos. Primero se comenzará con la formación de conjuntos cuya característica esté constituida por un solo atributo: "Formad el conjunto de los bloques redondos o bien el de los bloques azules..."
Después se pasará a los conjuntos cuya característica esté constituida por dos atributos: el conjunto de los bloques rojos y redondos, o por tres atributos rojos, redondos y gruesos...
Otros juegos interesantes son los de dos aros para la búsqueda de las intersecciones. Se dice al niño:
— Forma el conjunto de los bloques rojos metiéndolos dentro de un aro (diagrama de Venn).
— Forma otro conjunto, el de los bloques redondos, por ejemplo.
Los niños descubrirán que existen bloques que son rojos y redondos. ¿Dónde los colocarán? Unos los pondrán con los redondos, otros niños los quitarán de este conjunto y los pondrán en el de los rojos. Se procurará que sean los mismos niños quienes descubran que estos bloques rojos y redondos tienen que colocarse en el espacio en que los dos aros se superponen, porque este sector pertenece tanto al interior del aro rojo como al del aro de los redondos.
Complicando el ejercicio, pueden hacerse juegos con tres aros:
Entre los elementos de un conjunto pueden separarse los que tienen una propiedad no poseída por otros, constituyendo subconjuntos. Así, en el conjunto de los bloques redondos se pueden aislar tres subconjuntos, según el color, o dos subconjuntos, según la magnitud, y otros dos, según el espesor. Dentro del aro mayor, con cuerdas o aros menores, podrán los niños aislar los subconjuntos y adquirirán así la idea de inclusión.
Los juegos de transformaciones, que conducen al niño al descubrimiento de las propiedades de los grupos matemáticos; así:
- Juego de reproducción o copia (i).
- Juego de copia con cambio de colores (c).
- Juego de copia con cambio de forma (f).
- Juego de copia con cambio de color y forma (t)
Este tipo de juegos, al principio, suelen jugarse en dos equipos. Sea, por ejemplo, el de copia con cambio de colores. Cada equipo dispone de los mismos bloques, pero todos ellos son solamente dos colores: rojo y azul. El primer equipo construye una combinación y el segundo copia la construcción, pero con la condición de que si los primeros ponen un bloque azul, los segundos pondrán un bloque de la misma forma, pero rojo e inversamente.
Con estos juegos podrán descubrir los niños las propiedades de:
BLOQUES ARITMÉTICOS MULTIBASE (BAM), DE DIENES
Este material está orientado hacia la comprensión del concepto del valor de posición.
El material se presenta en cajas, una por cada base de numeración. En cada caja se encuentran: unidades, barras, placas y bloques. Así, en la caja para la base 4 encontraremos piezas como éstas:
Antes de llegar a los ejercicios estructurados, los niños jugarán libremente con este material. Siguen después juegos como los siguientes:
Supongamos que dos niños tienen la caja de base 3, por ejemplo. En las caras opuestas de un cubo unidad se ponen, pegando papeles, las cifras 0, 1, 2 y se utiliza como dado. La primera tirada del dado es para sacar bloques. Cada niño coge tantos bloques como el número que ha sacado al tirar. Vuelven a tirar el dado para sacar las placas, después para sacar las barras y, por último, para sacar las unidades. El niño que consigue mayor montón de madera, gana.
Pronto llega a comprender, especialmente el niño que pierde antes, que es la primera tirada de dados la que tiene más importancia y que quien gana en esa tirada ha ganado ya prácticamente la partida. Si los dos sacan cero en la primera tirada, entonces es la segunda la que tiene una importancia vital, y así sucesivamente.
Después de algún tiempo se cambiará el orden del juego, comenzando por las unidades y terminando por los bloques. El juego así es más apasionante, puesto que los niños no saben quién gana hasta el final. Esto enseña al niño, además del valor de posición, que el orden, en realidad, es arbitrario: antes las potencias eran decrecientes, ahora son crecientes.
Harán juegos semejantes con las demás cajas para que no se liguen a la propiedad particular de una determinada base y darles así ocasión de comprender las propiedades comunes a todas las bases.
En una segunda etapa, el maestro puede sugerir juegos más estructurados. En ellos, el niño se dará cuenta que en la caja de base 3, por ejemplo, 3 unidades forman una barra, 3 barras una placa, 3 placas un bloque.
El pensamiento, según Dienes, procede según un camino constructivo y según un camino analítico. En esta primera etapa, constructiva todavía, no es consciente el niño del aspecto analítico de su construcción: la razón 1: 3, pero las construcciones que realiza con materiales son muy importantes en la comprensión ulterior de la razón, de las progresiones geométricas, de las potencias, de la comprensión de los distintos sistemas de numeración.
Cuando el niño ha comprendido la estructura de todas las cajas se plantea el problema de qué hay después de los bloques. Los niños generalizan pronto y ponen tres bloques juntos en la caja de base 3, cuatro en la de base cuatro y así sucesivamente para constituir el orden inmediato superior. A esta construcción se suele llamar barra de bloques, por analogía con las barras, pero Dienes nos dice que muchos niños las llaman torres, porque hacen sus construcciones poniendo los bloques unos encima de otros.
Cuando los niños ya no tienen más madera en la caja pueden continuar el ejercicio imaginativamente y, al menos en teoría, se puede proseguir el proceso indefinidamente. Esta es, tal vez, dice Dienes, la primera puerta que se abre sobre el concepto de "infinito", que todos los niños encuentran extremadamente apasionante.
Asimilada la naturaleza abierta y la estructura del material se puede pasar a otros ejercicios, que conducen a las operaciones aritméticas. Veamos la adición, por ejemplo. Sea la base 3:
Adicionando las piezas semejantes y aplicando las equivalencias, se obtiene:
Los niños se acostumbrarán después a anotar lo que realizan con los bloques multibase. Así:
Es conveniente, igualmente, que en las operaciones los niños utilicen las cajas de las diferentes bases.
NÚMEROS EN COLOR, DE CUISENAIRE
Este material fue creado por Georges Cuisenaire, maestro de Thuin (Bélgica), y dado a conocer internacionalmente en 1954 por C. Gattegno, profesor de la Universidad de Londres.
El material está constituido por 241 regletas de 1 a 10 cm. de longitud y de 1 cm.² de superficie de base:
50 regletas de 1 cm., de color madera natural.
50 regletas de 2 cm., de color rojo.
33 regletas de 3 cm., de color verde claro.
25 regletas de 4 cm., de color rosa.
20 regletas de 5 cm., de color amarillo.
16 regletas de 6 cm., de color verde oscuro.
14 regletas de 7 cm., de color negro.
12 regletas de 8 cm., de color marrón.
11 regletas de 9 cm., de color azul.
10 regletas de 10 cm., de color naranja.
Las regletas están agrupadas en tres familias:
- Familia de los rojos: 2-4-8, que ponen en evidencia los dobles, las mitades y las potencias del 2.
- Familia de los azules: 3-6-9, que ponen en evidencia los triples, tercios y la segunda potencia del 3.
- Familia de los amarillos: 5-10.
- El blanco y el negro están solos.
Es un material muy rico en posibilidades para la actividad creadora del niño, que guiado por el maestro llegará a descubrir por sí mismo las relaciones matemáticas que se deseen.
Los ejercicios primeros, espontáneos, suministran al niño la experiencia de la equivalencia de regletas de igual color y de la equivalencia de cada regleta con alineaciones compuestas de otras dos o más.
La acción de adosar y alinear sugiere al niño las ideas de igualdad y suma.
El niño al buscar la regleta que falta para completar con otra una regleta mayor invierte la operación de suma, es decir, resta complementando.
La formación de trenes de igual color, mediante alineación de regletas iguales, origina simultáneamente los conceptos de múltiplo y divisor, de producto y cociente.
La idea de número primo se pone de manifiesto al comprobar que no todas las regletas se pueden descomponer en otras de igual color.
Puede descubrir las propiedades asociativa y conmutativa de la suma, asociando y permutando las regletas.
Hay niños que empiezan el juego ordenando escaleras. La estructura de orden es ejercitada por este material.
Otros niños clasifican adosando unas al lado de otras las regletas de igual longitud. Forman asa placas que pueden ser cubiertas por otro sistema de regletas en el sentido del ancho. Esta experiencia sugiere la conmutatividad del producto
Puede descubrir manipulando las regletas familias de:
- Sumas equivalentes.
- Diferencias equivalentes.
- Productos equivalentes.
- Cocientes o fracciones equivalentes.
Es interesante el uso que hace Gattegno de este 'material para la enseñanza de las fracciones, consideradas como pares ordenados, comparando dos regletas, con lo que el concepto de fracción como razón que lleva implícito el par ordenado desplaza al concepto tradicional de fracción como operador.
Como complemento del material básico de las regletas existe en el material Cuisenaire-Gattegno una tabla de productos. Estos productos están expresados
por dos lúnulas, coloreadas de acuerdo con los colores y valores de las regletas. Esta tabla se utiliza después que el niño ha descubierto los productos con las regletas.
Este material incluye también un juego de lotería de productos y un juego de naipes con productos, que consta de 37 tarjetas, cada una de las cuales lleva un producto expresado en la misma forma que se ha indicado anteriormente.
EL MÉTODO DISCAT
Este material fue creado en Ginebra por las señoras Audemars y Laffendel, bajo la dirección de Claparède y de Piaget, para la "Maison des Petits". del Instituto J. J. Rousseau. Está compuesto por:
- Las columnas de evaluación, en número de cuatro, formadas por esferas, cubos, paralelepípedos y ovoides, en diez dimensiones crecientes. Todos estos volúmenes están perforados según un eje para que sea posible ensartarlos verticalmente en una varilla de metal. Permiten la clasificación según la forma y la seriación según el tamaño.
- Los bloques, en número de 66, son paralelepipedos con base cuadrada de 1 cm² y alturas que van de 1 a 20 cm. Son precedente de los números en color de Cuisenaire. Los niños utilizan estos bloques como piezas de juego de construcción antes de realizar equivalencias entre dos o más bloques y un bloque suma de éstos. Permiten realizar sumas y diferencias, de 1 a 20, y el estudio de dobles y mitades.
- Las superficies, en número de 576, son figuras de cartón de distintas formas y colores. Cada forma se presenta en cuatro tamaños: la mitad, el cuarto y el octavo de la primera. Los rectángulos y los triángulos guardan una razón constante con los cuadrados. Así, el rectángulo menor es 1/8 del cuadrado mayor; el triángulo menor es 1/2 del rectángulo menor y, por tanto, 1/16 del rectángulo mayor y 1/32 del cuadrado mayor. Este material tiene grandes posibilidades para la comprensión de las áreas, de las fracciones.
- La tabla de las 100 bolas, en la que hay 100 реqueñas varillas de metal, en las que el niño puede fijar 10 decenas de bolas de 10 colores diferentes. Partiendo de simples composiciones de mosaico, el niño llega a descubrir los números cuadrados y triangulares, calcula el aumento del cuadrado.
- Las pilas de discos, que comprende 100 discos de madera, en 10 colores, perforados en el centro; las construcciones, las pirámides, el ábaco de las 55 bolas, son otros materiales de este método.
De acuerdo con las ideas de Piaget, con este material se quiere conducir al niño de la experiencia sensomotriz a la abstracción; llevarle a realizar clasificaciones, ordenaciones; darle el sentido del número, la noción de medida, el sentido de las operaciones...
Este material está destinado especialmente a niños de tres-siete años.
MATERIAL DEL MÉTODO KML, DE TOUYAROT
Tiene como finalidad este material iniciar en la Matemática y en la Lógica, de ahí su designación KML (K es el símbolo internacional que reemplaza a la conjunción y M y L son las iniciales de Matemática y Lógica, respectivamente).
Consta de:
- Seis series de figuras:
— Personas y objetos.
— Animales.
— Vehículos.
— Frutos.
— Cifras.
— Signos y cualidades de las placas.
- Tres series de 10 cubos iguales encajables, en material plástico, en tres colores:
— Azul.
— Rojo.
— Amarillo.
- Seis cordones de color, para limitar los conjuntos.
- Cuarenta y ocho placas en material plástico. Estas placas se caracterizan por cuatro atributos:
— Forma: círculo-triángulo-cuadrado-rectán-gulo.
— Tamaño: grande-pequeño.
— Color: rojo-azul-amarillo.
— Interior: lleno y hueco.
Las 24 placas de cada tamaño tienen superficies equivalentes.
Se completa este material con fichas para la enseñanza individualizada. Estas fichas son material puramente gráfico. Se trata con ellas de que el niño descubra las ideas de:
- Conjunto.
- Pertenencia a un conjunto.
- Correspondencia biyectiva entre los elementos de dos conjuntos.
- Descubrimiento del número a partir de los conjuntos equivalentes.
- Subconjuntos.
- Inclusión.
- Conjunto complementario.
- Intersección de conjuntos.
- Unión de conjuntos.
- Estructura del número y sentido de las operaciones.
Estas fichas proponen a los niños problemas con imágenes. Cada paso del pensamiento es traducido por un trazo conveniente: flecha que señala una relación entre objetos, línea cerrada en torno a los elementos de un conjunto, etiqueta unida a un conjunto...
De aquí los niños pasarán a representar los objetos por medio de signos cruces, puntos.... en lugar de emplear dibujos figurativos, y progresan así hacia la esquematización de las situaciones concretas.
EL MINICOMPUTADOR, DE PAPY
Fue presentado por su autor en el XXI Encuentro Internacional de Profesores de Matemáticas celebrado en Gandía en abril de 1968. Papy lo presentó como una auténtica máquina de calcular que funciona como un pequeño ordenador que realiza de manera mecánica lo que es automático en el cálculo. Está inspirado en los trabajos de monseñor Lemaitre, publicados entre 1954 y 1956. Ha sido utilizado por Mme. Frédérique Papy en clases de niños de seis y siete años a partir de septiembre de 1967.
El minicomputador combina el sistema decimal y el sistema binario. Así como Dienes y otros consideran que es conveniente que los niños conozcan distintos sistemas de numeración. Papy da preferencia al binario, ya que es el sistema de las calculadoras y además nos permite con números pequeños introducirle en la idea del valor de posición. Pero, por otra parte, nuestro contexto es decimal, no podemos prescindir de este sistema.
Es un material distinto de las regletas de Cuisenaire o los bloques de Dienes. Cuando se da al niño regletas o bloques, dice Papy, los niños hacen con este material cierto número de experiencias matemáticas. Cuando se les da el minicomputador los niños no están en condiciones de hacer experiencias válidas por sí solos hasta que los inicia el maestro.
El minicomputador consiste en un ábaco de placas que se alinean de derecha a izquierda según las reglas de la numeración decimal: en la primera placa se colocan las unidades en la segunda, las decenas...
Cada placa está dividida en cuatro casillas, en las que se utiliza el sistema binario.
Estas casillas son de color blanco, rojo, rosa y marrón. Estos colores son los correspondientes a las regletas de Cuisenaire 1, 2, 4 y 8. respectivamente.
Por eso, Papy define el minicomputador como un ábaco bidimensional binario sobre cada placa, decimal lineal de placa a placa.
Los niños a los que anteriormente ya se ha enseñado el manejo de las regletas, cuando ven el minicomputador reconocen los colores y los valores de las casillas.
Los niños saben que:
Dos regletas blancas = una roja.
Dos rojas = una rosa.
Dos rosas =una marrón.
Así, la primera regla del minicomputador se introduce con gran facilidad:
Dos dichas en el casillero blanco = una ficha en el rojo.
Dos fichas en el casillero rojo rosa = una ficha en el rosa.
Dos fichas en el casillero rosa marrón = una ficha en el marrón.
Cuando se pasa de una placa a la otra la regla cambia.
Al principio los niños juegan con dos placas. Después el propio niño siente la necesidad de llegar a las centenas. Mme. Frédérique Papy dice que algunos niños a los quince días de usar el minicomputador manifestaron esta necesidad.
Papy llama formaciones a las disposiciones que permiten leer inmediatamente un número en el minicomputador. Así la formación de 1970 sería:
En una formación:
- Nunca hay más de una ficha por casilla.
- Si una ficha está en la casilla marrón entonces no debe haber ninguna ficha ni en el casillero rojo ni en el rosa.
Con el minicomputador pueden realizarse adiciones. Basta escribir en la máquina cada uno de los
sumandos y después hacer las sustituciones de acuerdo con las reglas anteriores. Así:
Igualmente pueden realizarse multiplicaciones. Para multiplicar por 2 un número, cada ficha de una casilla se reemplaza por dos fichas en esa casilla y después se hacen las sustituciones correspondientes. Así:
Multiplicar por 4 en al minicomputador sería multiplicar por 2 dos veces. Multiplicar por 8 sería multiplicar por 2 tres veces. Multiplicar por 3 un número equivaldría a juntar su doble a esta número. Para multiplicar un número por 10 bastará pasar dicho número a la placa inmediata a la derecha. Así:
Para la sustracción, Papy comienza enseñando a los niños los números negativos. Comienza presentando un ejército constituido por fichas rojas y otro por fichas azules. Las fichas soldados de ambos colores son igualmente valerosas individualmente e igualmente batalladoras. Cada vez que una ficha roja y una ficha azul se encuentran en el campo de batalla, se eliminan mutuamente.
Y en el minicomputador sería:
En el minicomputador, para hallar la mitad se reemplaza cada par de fichas de una casilla por una sola ficha en esa misma casilla.
Al pasar a la mitad de la unidad se llega a la idea de operación con decimales.
El listón verde de madera que se coloca separando la placa que se adjunta a la derecha hace el papel de la coma en la notación decimal. Así puede operar el niño con decimales con las nuevas placas introducidas después del listón verde siguiendo las mismas reglas anteriormente dadas.
El minicomputador puede ser un magnetógrafo grande, del tamaño de un encerado, o también placas pequeñas de madera o metálicas para que los niños sobre la mesa realicen las operaciones individualmente.
EL GEOPLANO
Es un material imaginado por Gattegno para que los niños tomen conciencia de las relaciones geométricas. Se trata de un tablero sobre el que se colocan clavos formando una red. Estos clavos sirven de soporte para tender sobre ellos gomas elásticas de colores.
Los dos tipos más corrientes de geoplano son los que se presentan en las figuras. Las redes que ha utilizado Gattegno son el dodecágono, el decágono y el octógono regulares, y las cuadriculadas de 9, 16, 25, 49 y 121 puntos.
La gran ventaja que tiene el geoplano es que el tablero puede girar y el niño se habitúa a percibir las figuras desde distintos ángulos visuales y a reconocerlas independientemente de su posición, lo que
no suele ocurrir ni con el encerado ni con el libro. Este material permite la investigación personal del alumno y puede ser utilizado a lo largo de toda la enseñanza general básica.
EL GEOESPACIO
Ampliando la idea del geoplano al espacio ha surgido el geoespacio. Puig Adam en España, Pescarini en Italia y Chiavone en Uruguay fueron quienes idearon estos modelos didácticos.
Para la construcción de un geoespacio –dice Puig Adam– puede servir una caja de embalar de dimensiones no inferiores a 25 cm. en la que se ha suprimido una de sus caras de mayores dimensiones,
con objeto de poder manipular cómodamente en su interior, atornillándose, en cada una de las otras caras, redes de tornillos con gancho distribuidos uniformemente. Entre estos tornillos podemos tender gomas elásticas o cordeles, que unas veces tendrán la significación de rectas indefinidas y otras representarán aristas de figuras poliédricas transparentes.
También pueden construirse geoespacios conservando únicamente las aristas de madera o de otro
material rígido y poniendo en sustitución de las cinco caras de madera rejas metálicas resistentes.
OTROS MATERIALES
En modo alguno pueden considerarse los materiales citados como únicos en la didáctica de la Matemática Moderna. Muy interesantes son entre otros materiales el de Emma Castelnuovo denominado "Construyamos la geometría", constituido por tiras de plástico de diferente longitud y color, parecidas a las piezas de mecano. Con ellas se puede realizar gran número de sistemas articulados con los que el niño se da cuenta que al modificar un polígono cualquiera el perímetro permanece invariable mientras que el área cambia. Así vemos que un rectángulo construido de este material, al transformarse en romboide, sufre ciertos cambios varía la superficie, la medida de cada ángulo, la longitud de las diagonales, en tanto que otros caracteres permanecen invariables: el perímetro, la medida de cada lado, la suma de los ángulos internos y externos...
Los films para la enseñanza de las matemáticas como los utilizados por el suizo Nicolet, el inglés Fletcher, los franceses Cantegral, Jacquemard y Motard.
Las fichas de Mme. Picard. Las fichas de trabajo individualizado del alumno de Somosaguas para niños de diez, once y doce años. Las placas de ma-dame Herbinière-Lebert para la iniciación al cálculo...
A lo largo de este artículo nos hemos estado refiriendo a materiales más o menos estructurados, pero podemos utilizar en la enseñanza de la Matemática Moderna otros muchos materiales ambientales.
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RECOMENDACIÓN
La palabra recomendación quiere decir aviso o encargo dejado a alguien para que lo tenga presente, no se olvide y pueda ocuparse de lo mismo.
A nuestros estimados lectores nos permitimos recomendar la lectura completa de los números 118 - 119, Abril - Mayo 1970, año XII de VIDA ESCOLAR. Revista editada por el Centro de Documentación y Orientación Didáctica de Enseñanza Primaria. Madrid-España. (Disponible en: https://www.libreria.educacion.gob.es/)
De las siete piezas didácticas que componen el sumario, hemos decidido reproducir: El material para la enseñanza de la Matemática Moderna por ángel Ramos Sobrino.
Addenda
El alcance de la presencia del Profesor Alberto Aizpún como autor de la primera pieza didáctica nos permite ampliar nuestra recomendación para con los siguientes textos:
Aizpún , A.
(1976) Primeras ideas conjuntistas.
(1976) Correspondencias, funciones y aplicaciones.
(1976) Relaciones, equivalencia y orden.
Todos ellos editados por Editorial Magisterio Español. SA. España.
También te sugerimos leer:
👉Cómo utilizar los Bloques Lógicos de Z. P. Dienes (Juegos preparatorios/juegos de orden)
👉Cómo utilizar los Bloques Lógicos de Z. P. Dienes (Juegos de negación/ transformación/ diferenciación/ juegos con aros)
👉El juego y el material didáctico en el aprendizaje de la matemática. Departamentos de Matemática y Ciencia de la Educación del Instituto de Estudios Pedagógicos Somosaguas. Editorial NARCEA. S. A. DE EDICIONES. Madrid, Junio 1979
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