Y si continuamos leyendo a Dienes en su libro Los primeros pasos en matemática. 1: Lógica y juegos lógicos. Z. P. DIENES /E. W. GOLDING. Barcelona: EDITORIAL TEIDE, encontramos un capítulo absolutamente interesante y necesario como continuación de la anterior entrada publicada 👉 "Zoltan Dienes: matemática y enseñanza primaria"
ADVERTENCIA
En en este punto Dienes desarrolla una de las notaciones utilizadas en diversas partes del mundo: es la notación de Jan Lukasiewicz ( 1878 - 1956) matemático, lógico y filósofo polaco nacido en Leópolis, Galitzia (actual Ucrania). Su trabajo se centró en la lógica. Él pensó innovar en la tradicional lógica proposicional, el principio de no contradicción1 y el principio del tercero excluido.
Desde que los niños se vuelven conscientes de las propiedades de las relaciones lógicas que existen entre los atributos, es decir, de las conexiones como «у», «о», «no», etc. es aconsejable introducir un cierto sistema de notación. Una de las notaciones utilizadas en diversas partes del mundo es la de Lukasiewicz, cuyos símbolos son los siguientes:
N se utiliza para la negación, es decir para la palabra «No» aplicada a un atributo.
K se utiliza para la conjunción de dos atributos expresada por la conjunción «Y»; la K se coloca delante de los dos atributos a los que hace referencia.
Por ejemplo, si empleamos la letra r para rojo, y c para cuadrado, Kcr significará «cuadrado y roјо».
La letra K significa la aplicación simultánea de los atributos rojo y cuadrado.
Nr significa No-rojo, Nc. No-cuadrado, etc.
Se puede negar los atributos compuestos; una negación como NKcr quiere decir «No a la vez cuadrado y rojo», y se aplicaría a todo objeto que no sea un cuadrado rojo, es decir a un objeto que sea no-cuadrado o no-rojo.
Tenemos necesidad de un símbolo que designe la disyunción «o». que habitualmente es la letra A (de alternativa).
Por ejemplo «rojo o cuadrado» se escribe Arc, que puede referirse a cualquier pieza que se halle en un cesto en el que se hayan colocado las piezas que son rojas o cuadradas (o las dos cosas a la vez, evidentemente). Si quisiéramos expresar «no-rojo o no-cuadrado», deberíamos escribir ANrNc. Hay que precisar que la N se refiere solamente al atributo que le sigue inmediatamente. Si la N va colocada delante de un símbolo K, por ejemplo, entonces se aplica a todo el atributo compuesto como si se tratara de un atributo simple. Así NKrc significa la negación del atributo Krc, estando el atributo Krc formado por los atributos rojo y cuadrado.
Se puede jugar a juegos del género de los de dos y tres atributos y los símbolos correspondientes para definir las piezas que encuentran en las diferentes regiones de los diagramas pueden ser colocados por los mismos niños. Por ejemplo, si jugamos con dos aros, uno para las piezas azules, el otro para las piezas cuadradas, la intersección será K cuadrado azul (Kcaz), y las otras del interior de los aros, pero que no están comprendidas en la intersección, serán K cuadrado no-azul (KcNaz) K azul no-cuadrado (KazNc).
Las piezas del exterior de los dos aros tendrán los atributos KN azul N cuadrado.
Se comprende que, por ejemplo, KN azul N cuadrado puede también escribirse KN cuadrado N azul. Hay diferentes maneras de expresar el mismo atributo.
Esto conduce a juegos que se pueden practicar con los mismos símbolos. Sin embargo, tenemos que recomendar que se preste la máxima atención a que, anteriormente, se haya establecido con todo rigor lo que los símbolos representan, mediante experiencias realizadas por los propios niños. Por ejemplo, puede construirse un atributo por medio de los símbolos y luego puede formarse el conjunto de bloques correspondiente. O bien, el conjunto de bloques puede formarse con anterioridad y a continuación construir el atributo con los símbolos. Cuando se haya practicado este juego al extremo de estar seguros de que se ha establecido una relación entre el símbolo y la cosa simbolizada, entonces será posible el juego con los símbolos solos. Puede escribirse el atributo que simbolice un determinado conjunto de bloques, y después puede variarse el orden en el cual los símbolos han sido colocados. Esto puede dar lugar a tres resultados:
— que el símbolo no tenga sentido:
Por ejemplo, la N puede haberse escrito al fin del símbolo del atributo, en cuyo caso N no se refiere a nada, pues, según las reglas, N se refiere al símbolo que le sigue inmediatamente.
—o que el símbolo tenga sentido, pero difiera del atributo, es decir, que describa un conjunto diferente de bloques.
—la tercera y última posibilidad es que el símbolo modificado sea otra manera de expresar el mismo atributo. Por ejemplo «K rojo cuadrado» expresa realmente el mismo atributo que K cuadrado rojo. Si una pieza es roja y cuadrada, también es cuadrada y roja.
Resulta muy interesante en una combinación de tres aros, pedir a los niños que llenen los espacios vacíos con los símbolos apropiados, sin colocar las piezas. Otro juego que se podría proponer es el siguiente: una determinada región de un juego con tres aros contiene unos bloques, y en ella hay un letrero, colocado boca abajo, teniendo que adivinar los niños del grupo lo que hay escrito en dicho letrero. Naturalmente, en él estará escrito el símbolo del conjunto colocado en esta región del diagrama. No hay una solución única al problema de encontrar los símbolos para las otras regiones, incluso en el caso de que todos los aros tengan que llevar nombres «positivos». Por ejemplo, consideremos el diagrama siguiente con tres aros:
Según los símbolos, la región marcada KKrNc delgado se ha llenado con las piezas rojas no-cuadradas y delgadas. La parte superior izquierda del aro podría ser roja, y la parte superior derecha, delgada o círculo, siendo cuadrada la parte inferior. Pero existirán otras posibilidades, tales como que la parte superior izquierda siga siendo roja, la superior derecha sea «no-cuadrada». la inferior sea «no-delgada».
Se podría jugar también entre dos jugadores A y B. A llenaría una región y escribiría los símbolos en una tarjeta que colocaría boca abajo, B continuaría llenando otra región de manera diferente a la de A, pero siguiendo la forma lógica como éste lo ha hecho. A llenaría entonces una tercera región que podría llevarnos a una re-interpretación de los nombres de los aros, etc.
Cada vez que se va llenando una región, se coloca el símbolo correspondiente, pero, como siempre, cara abajo. Se pueden conceder puntos para las regiones que se llenen correctamente, para los símbolos bien formulados o para las contestaciones exactas. En este último caso se trata de un jugador que pretende que otro ha llenado una región de una forma que no está en armonía con las demás ya llenas.
Tenemos como ejemplo un juego con dos aros y supongamos que un jugador A empieza a llenar la región izquierda como sigue:
En este momento tenemos dos interpretaciones posibles:
(1) el aro de la izquierda es «rojo»; el de la derecha, «cuadrado».
(2) el aro de la izquierda es «no-cuadrado», el aro de la derecha es «no-rojo».
Por lo cual, en este ejemplo hay dos maneras de llenar la región central común:
a) con los cuadrados rojos, según la interpretación (1);
b) con las piezas no-cuadradas no-rojas, según la interpretación (2).
Cualquiera que sea la interpretación elegida, no hay más alternativa para el resto del juego. Dicho en otras palabras, cuando se ha llenado la segunda región, los jugadores no pueden ya hacer otra elección en lo que queda de juego.
Si, por otra parte, el segundo jugador llena la parte común con KcNr, es decir, con los cuadrados no-rojos, el primer jugador podría pretender con éxito que el otro se ha equivocado. El argumento que emplearía sería el siguiente:
«Has colocado piezas rojas y piezas no-rojas en el aro de la izquierda. Esto significa que el aro de la izquierda no puede tener un nombre que haga referencia a "rojo". Además, has colocado piezas cuadradas y no-cuadradas en el aro de la izquierda, con lo que este aro tampoco puede tener un nombre que haga referencia a "cuadrado". Sólo hay cuatro nombres posibles para el aro: rojo, no-rojo, cuadrado y no-cuadrado. Al círculo de la izquierda no se le puede aplicar ninguno de estos nombres. No puede tener nombre. Has cometido un error.»
Para aportar la prueba de una contestación, en el caso de un juego con tres aros, sería preciso establecer que un determinado aro no puede tener nombre al ser imposible aplicarle uno de los seis nombres posibles, lo cual ha sido debido a la acción del jugador precedente.
Se observará que para la conjunción de tres atributos con «y» es preciso utilizar dos símbolos K o dos conectivas «y». Cada K se refiere a los dos símbolos de atributos que siguen inmediatamente a esta K. Por ejemplo, en
KKr Nc delgado, la primera K se refiere a Kr Nc y delgado
la segunda K se refiere a r y Nc.
Por lo que el mismo atributo podría estar simbolizado por K delgado Kr Nc o K delgado K Nc o KKNc r delgado.
La misma regla se puede aplicar a la conectiva «o», es decir, a los símbolos A.
Otras conectivas lógicas de uso corriente, son:
C para «si... entonces»
E para «si y solamente si»
Por ejemplo, si llenamos un cesto con piezas que son amarillas o no-cuadradas, si cogemos un cuadrado, éste será amarillo. Así, el conjunto de las piezas del cesto tiene el atributo« si cuadrado, entonces amarillo». Simbólicamente, se expresa así: Ccam.
Si, solamente, los cuadrados amarillos y los no-cuadrados no- amarillos se han metido en el cesto, entonces los cuatro siguientes atributos serán ciertos para el conjunto del cesto:
a) «Si amarillo, entonces cuadrado»
b) «si no-cuadrado, entonces no-amarillo»
c) «si cuadrado, entonces amarillo»
d) «si no-amarillo, entonces no-cuadrado».
Observemos que lo que sigue será igualmente verdadero:
«amarillo o no-cuadrado y cuadrado o no-amarillo.»
Lo que podemos escribir simbólicamente de esta forma:
(a) Camc, (b) CNcNam, (c) Ccam, (d) CNam Nc, (e) KAam Nc Ac Nam.
En esta última fórmula K (es decir «y») se refiere a dos atributos Aam Nc y Ac Nam. La primera A (es decir el primer «o») se refiere a am y a Nc, la segunda A se refiere a c y Nam.
Una manera de expresar que los atributos «si... entonces» son ciertos en los dos sentidos será decir que en nuestro cesto «el atributo amarillo es equivalente al atributo cuadrado», lo cual escribiríamos simbólicamente: «Eamc» o «Ecam».
Hemos visto, por ejemplo, que NK rc es equivalente a A Nr Nc, que podemos expresar por ENK rc A Nr Nc.
Se aconseja desarrollar sólo muy progresivamente esta manera de notación lógica. No tendría razón de ser emprender el aprendizaje de las técnicas de manipulación de este sistema de símbolos si, con anterioridad, no se tuviera plena consciencia de lo que estos símbolos representan.
En realidad, hay otros símbolos utilizados en lógica. Los hay que utilizan «&» poг «у» у «v» por «о» у «—» por «No».
Por ejemplo «no-rojo y cuadrado» se escribiría en los dos sistemas de la manera siguiente:
—r & c, K Nr c
y no- (rojo y cuadrado) se escribiría así:
— (r & c), NK rc.
Puede observarse que en este primer sistema de símbolos se hace necesario el empleo de paréntesis para distinguir ciertos atributos de otros atributos. En la notación de Lukasiewicz los paréntesis son nunca necesarios.
Los juegos lógicos que hemos presentado no deben considerarse agotados. Hay una gran cantidad de otros juegos posibles, con los bloques lógicos o sin ellos. Por otra parte, no vamos a pensar que estos juegos lógicos que aquí hemos presentado, serán propuestos a los niños en una serie de ejercicios dogmáticos como las series sin fin de «sumas» monótonas, afortunadamente pasadas de moda en la actualidad. Los que son responsables de la creación del ambiente matemático de los niños, es decir, en última instancia los maestros experimentados, tienen que tomar finalmente la responsabilidad de crear un clima tal que el proceso del aprendizaje de las matemáticas continuará teniendo lugar de una forma creadora.
Las sugerencias que aquí hemos formulado están destinadas a guiar a los maestros en el establecimiento de este «ambiente» matemático, en donde los problemas matemáticos abundan y en donde existe la posibilidad de hallar la solución a tales problemas, formulando las preguntas pertinentes. Las preguntas tendrían que dirigirse, siempre que fuera posible, al propio ambiente (1), del mismo modo que el sabio interroga a la naturaleza. El papel del maestro es el de conducir a los niños en la adquisición de la habilidad necesaria para hacer esta clase de preguntas, de modo que las respuestas parezcan brotar de este ambiente. La manera de formular un problema tiene tanta importancia en el aprendizaje como la de encontrar la solución a los problemas ya planteados. A menudo es debido a que no somos capaces de formular nuestras propias dificultades, que somos incapaces de resolverlas.
El primer capítulo del libro II estará consagrado al estudio de los conjuntos y a la relación que hay que establecer entre el estudio de los conjuntos y el de los números. Naturalmente, la mayor parte de lo que se describe en ese capítulo tendrá que estudiarse a la luz de lo que se ha hecho en éste, ya que el estudio de los conjuntos no es más que un aspecto del estudio de la lógica.
(1)Por ambiente o contorno hay que entender el conjunto de estructuras matemáticas que el material didáctico, el laboratorio matemático, ofrece a los niños de una manera concreta. (Nota de la traducción francesa.)
Nota
Informamos a nuestros estimados lectores que la notación Lukasiewicz ha sido utilizada como nombre para un material didáctico que se denomina Material KML cuyo autor es María Antonieta Touyarot; editado por Fernand Nathan, de París.
Este material tiene como finalidad iniciar en la Matemática y en la Lógica. de ahí su designación KML
(K es el símbolo internacional que reemplaza a la conjunción y M y L son las iniciales de Matemática y Lógica, respectivamente).
Consta de:
- Seis series de figuras:
-Personas y objetos.
-Animales.
-Vehículos.
-Frutos.
-Cifras.
-Signos y cualidades de las placas.
- Tres series de 10 cubos iguales encajables, en material plástico, en tres colores: Azul. Rojo. Amarillo.
- Seis cordones de color, para limitar los conjuntos.
- Cuarenta y ocho placas en material plástico. Estas placas se caracterizan por cuatro atributos:
-Forma: circulo-triángulo-cuadrado-rectángulo.
-Tamaño: grande-pequeño.
-Color rojo-azul-amarillo.
-Interior: lleno y hueco.
Se trata con este material que el niño descubra las ideas de:
- Conjunto.
- Pertenencia a un conjunto.
- Correspondencia biyectiva entre los elementos de dos conjuntos.
- Descubrimiento del número a partir de los conjuntos equivalentes.
- Subconjuntos
- Inclusión.
- Conjunto complementario.
- Intersección de conjuntos.
- Unión de conjuntos.
- Estructura del número y sentido de las operaciones.
Nos permitimos recomendar el excelente trabajo de la profesora María Dolores de Prada (1979). El juego y el material didáctico en el aprendizaje de la matemática. Apuntes I.E.P.S. Madrid: Narcea .
Estudia las vertientes psicológica y educativa del juego, de este modo presenta una programación y descripción de juegos en relación con el desarrollo psicoevolutivo, los objetivos y contenidos de la matemática en Preescolar y Primaria.
En este trabajo está detallado el importante aporte de Zoltan P. Dienes.
Consideramos que la calidad de la obra está presente en toda la colección dedicada a la investigación y experiencias educativas realizadas en los apuntes y I. E. P. S. del Instituto de Estudios Pedagógicos Somosaguas.
Por todo esto
¡Gracias Dienes!
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