PREFACIO
Este libro se propone hacer una demostración de cómo puede guiarse a los niños en el aprendizaje de la matemática «moderna»; espero convencer así, al menos a algunos educadores, de que la renovación actual en la enseñanza de la matemática debe comenzar ya desde la escuela maternal, pues es a esta edad cuando produce mayor efecto, si se propone a los niños experiencias entretenidas y se les aficiona a las actividades matemáticas. No se trata en modo alguno de trampear, desnaturalizando el pensamiento matemático «moderno», sino de adaptarlo a las capacidades de cada edad en particular.
Este libro hace referencia a William Hull, que fue el pionero del empleo de los bloques lógicos, a Paul Rosenbloom y Patrick Suppes, que fueron los primeros en enseñar los conjuntos a los niños, y por último, a la obra del mismo autor, relativa a la introducción explícita de las potencias y de los diversos sistemas de numeración. Las sugerencias presentadas aquí representan un ensayo de síntesis de todas estas investigaciones; su formulación práctica ha sido elaborada en Adelaida (Australia) en el curso de los años 1962-64, y prosigue todavía actualmente. Después de estos dos años de trabajo se ha visto que se pueden definir algunas aproximaciones y ciertos métodos que son adecuados a la mayoría de los niños normales. Esas aproximaciones y métodos son los que se consignan en este libro.
El fin perseguido no es otro que la comprensión completa de todos los detalles de la actividad matemática por todos los niños de la escuela. Apenas resulta necesario decir que es difícil alcanzar tal fin. La comprensión matemática universal puede obtenerse a condición de ponerle precio. ¿Cuál es el precio? Una gran cantidad de material didáctico. Los materiales descritos en este libro no están concebidos para «demostraciones» hechas por el maestro, sino que se trata de instrumentos de investigación y descubrimiento para ser puestos en manos de los niños. En cada clase debe haber una cantidad suficiente de material a disposición de todos los niños. Favoreciendo el trabajo por grupos y organizando el empleo del tiempo de manera que todas las lecciones de matemática no se den en todas las clases a la vez, se puede reducir notablemente el precio del equipo.
En el costo total del precio que hay que pagar para obtener la plena comprensión matemática, es necesario introducir igualmente la voluntad por parte del maestro de enseñar lo que se podría llamar una nueva matemática o al menos la «antigua» matemática considerada desde un nuevo punto de vista. El antiguo punto de vista consiste en mirar la enseñanza de la matemática como el aprendizaje de procesos mecanizados. El nuevo punto de vista consiste en mirar estos procesos como formando un enlace de estructuras cada vez más complejas; se trata de poner a los niños en situación de descubrir cuáles son estas estructuras, cómo están constituidas y cómo se enlazan unas con otras, y hacerlo colocándolos en situaciones que ilustren concretamente estas estructuras. Para llegar a este modo de enseñanza el maestro ha de cambiar completamente de actitud. La respuestas correcta pasa a segundo plano; la aptitud esencial consiste en saber encontrar el camino a través de situaciones cada vez más complejas; hay que poner el acento en la actividad dinámica del investigador (buscar) más que en el aspecto estático de la «respuesta». La visión de la estructura de los procesos es más importante que el simbolismo formal que los expresa.
La actividad investigadora de los niños, aislados o por pequeños grupos, predomina en adelante sobre la lección magistral dada por el maestro frente a su clase; la discusión colectiva conduce a conclusiones debidamente registradas, a condición de que el maestro sepa respetar el dinamismo constructivo del pensamiento del niño.
Numerosos trabajos están actualmente en curso tanto desde el punto de vista de la psicología teórica como desde el punto de vista de la pedagogía práctica sobre los medios de realizar esta comprensión matemática universal. Éste es el fin que intentan alcanzar varios centros de enseñanza situados en distintos puntos del globo y enlazados entre si bastante débilmente por el organismo llamado «Grupo Internacional de Estudio para la Enseñanza de las Matemáticas». El cuerpo docente y la administración entre los que están vinculados a este organismo que se ocupan de adoptar nuevos métodos o nuevos programas son invitados a tomar contacto con el centro más próximo. Constantemente se van creando nuevos centros; aconsejamos, en caso de que interese su conocimiento, la consulta de la lista puesta al día por el Secretariado de Palo Alto. Estos centros aseguran la ejecución de la investigación, la formación del personal y la difusión de las más recientes informaciones. Toda persona aislada puede adherirse al grupo de estudios mediante una cotización anual, recibiendo entonces el boletín trimestral, así como toda información que pida al respecto. Hay que esperar que este Grupo de Estudio continúe desarrollándose y se convierta en un instrumento cada vez más eficaz al servicio de todos los que se interesan por la difusión de la comprensión matemática.
Florence, 8 de enero de 1964.
El proceso para la adquisición de las nociones abstractas en matemáticas se puede descomponer sumariamente en tres fases:
1.ª En una fase preliminar de tanteo, las reacciones en distintas situaciones se ensayan más o menos al azar, como en la actividad exploradora del niño. Esta fase puede llegar a ser una fase de maduración, si se eligen situaciones en las que la actividad lúdica se canalice en la forma de «juegos» con reglas definidas: lo cual puede dar como resultado una conciencia más clara de la dirección en que se preparan los nuevos descubrimientos.
2.ª Después viene generalmente una fase intermedia más estructurada: se captan las reglas que ligan entre sí los procesos, se juega con estas reglas, y el pensamiento aparece más consciente y más dirigido. Se puede así acceder al instante del descubrimiento, instante en el que el esquema director aparece bruscamente en la organización de conjunto.
3.ª Al descubrimiento, una vez logrado, le sigue la necesidad irresistible de explotar el nuevo descubrimiento. Este aprovechamiento puede hacerse en una forma sabia examinando el contenido: ¿hasta qué punto se ha comprendido por completo?, que es el procedimiento de marcha analítica: o bien, de forma más corriente, buscando situaciones en las que el descubrimiento permita dominar: es el procedimiento práctico.
La función psicológica, tanto en el procedimiento analítico como en el práctico, permite consolidar el nuevo descubrimiento clasificándolo en su lugar dentro de la trama de nuestros conceptos, de forma que se pueda encontrar de nuevo el concepto adecuado el momento oportuno. Si el niño pregunta: «¿Hay que hacer una suma o una resta?», se hace evidente que esta puesta en lugar o clasificación no ha sido realizada, muy probablemente por haberse sacrificado las primeras fases del ciclo de que hablábamos.
La descripción anterior no menciona el papel desempeñado por los símbolos en el logro del descubrimiento. Este problema de los símbolos no es simple. Ciertos hechos aconsejan que es mejor introducir los símbolos después de alcanzado el descubrimiento, que en ciertos casos la introducción prematura de los símbolos parece entorpecer el proceso de abstracción. En otros, por el contrario, se ha comprobado que el empleo de los símbolos acelera la aparición de los descubrimientos. No obstante se puede afirmar con seguridad que en nuestras clases abusamos excesivamente de les símbolos. Una serie de experiencias bien concatenadas, seguida de introducción de les símbolos, es ciertamente más eficaz que los esfuerzos continuos por asociar los símbolos a su «significación» mediante «explicaciones». Se aprende mucho más con una serie de experiencias que con una serie de explicaciones.
Los fundamentes de la noción de número han dado lugar recientemente a un gran número de trabajos desde los puntos de vista lógico, matemático , filosófico y psicológico. Por no citar más que algunos recordemos los nombres de Hilbert, Tarski, Church, Russell, Piaget, Inhelder. Los resultados de estos trabajos se introducen progresivamente en los sistemas escolares del mundo entero. A lo largo de esta obra tendremos en cuenta los descubrimientos más recientes, para sugerir posibles mejoras en las técnicas de enseñanza de las matemáticas, sobre todo en lo que concierne a los primeros años de la escuela primaria. Puesto que todo conocimiento se basa, en última instancia, en la experiencia, no es extraño que prefiramos recurrir a nuestra experiencia personal directa, y que encontremos en ella métodos de enseñanza más eficaces, especial mente en el caso de los niños.
A la luz de los problemas planteados en el curso de nuestras investigaciones de laboratorio, sugerimos la introducción de una serie de ejercicios ingeniosos susceptibles de guiar a los niños en el desarrollo lógico-matemático de los conceptos relacionados con la idea de número.
En lugar de dejar este desarrollo al azar, debemos ser capaces de construir un acercamiento racional en la adquisición del número, teniendo en cuenta el estado actual de nuestros conocimientos tanto en lo concerniente a la estructura del número como en el desarrollo del pensamiento en los niños. Esto no quiere decir que demos el problema por definitivamente solucionado, ni mucho menos. Las sugerencias que se dan en este libro no representan sino un primer intento por reunir en un todo coherente y rápidamente utilizable nuestros conocimientos sobre lo que los niños pueden aprender en matemáticas, y cómo pueden aprenderlo. Es muy cierto que serán posibles otras formas de aproximación y sin duda mejores. Pero el estado actual de la enseñanza de las matemáticas es hasta tal punto defectuoso, que es urgente dar desde el principio a los profesores un conjunto de sugerencias tan coherentes como sea posible.
El número es una abstracción. Los números no tienen existencia real. Los números son propiedades, pero se trata de propiedades relativas a conjuntos de objetos, no a los objetos mismos. La propiedad designada por el vocablo «dos» no podrá nunca aplicarse a objetos definidos, a sucesos o entidades de cualquier naturaleza, sino solamente a los conjuntos de tales objetos, sucesos o entidades. Por esto existe un mundo intermedio entre el de los objetos y el de los números, a saber el mundo de los conjuntos. Hasta una época reciente este mundo no formaba parte de situaciones vividas en nuestras escuelas, quedaba reservado a los estudiantes de las Universidades. Las páginas que siguen explicarán cómo se pueden introducir los conjuntos en primer lugar, de manera que sirvan inmediatamente para construir los números.
Las relaciones entre conjuntos llevan a consideraciones de orden lógico, mientras que las propiedades de los conjuntos nos conducen a consideraciones de orden matemático. Más adelante se encontrará la descripción de una serie de experiencias que integrarán en un todo orgánico la adquisición de los conceptos de la lógica, de los conjuntos y de los números.
II. LOS CONJUNTOS Y LAS OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS
Los conjuntos están constituidos por elementos. El conjunto de niños de la clase de primer año tiene por elementos los niños de esta clase. Los conjuntos pueden estar formados por no importa qué tipo de elementos: objetos, sucesos, ideas e incluso por otros conjuntos. La idea de «pertenecer a» o de «ser un elemento de» es un concepto muy importante cuando se habla de conjuntos. Antes de poder decir que un conjunto está definido, importa precisar con claridad no sólo de qué elementos está formado, sino también cuáles son todos los objetos (incluso aunque no existan más que en el pensamiento) que podrían ser elementos del conjunto en cuestión. Si consideramos, por ejemplo, el conjunto formado por niños que tienen los ojos azules, suponemos implícitamente que ningún adulto podrá pretender formar parte de este conjunto. Esto lleva consigo el que debamos reconocer con certeza en qué momento un niño deja de serlo para convertirse en adulto. Será necesario del mismo modo precisar si pensamos en los niños de ojos azules que se encuentran en la clase, en la escuela, en el país o en el mundo entero. Será necesario indicar el universo de los objetos susceptibles de entrar en la constitución del conjunto, antes de poder decir que un atributo tal como «niños de ojos azules» define un conjunto.
Esta dificultad no se presenta si definimos nuestro conjunto enumerando todos sus elementos. Reaparece si nos ponemos a hablar de un conjunto formado por entidades que no pertenecen a un conjunto dado. Definamos un conjunto formado por dos niños, por ejemplo, Juan y Alicia; ¿cuáles son entonces los elementos del conjunto al que no pertenecen Juan y Alicia? ¿Qué elementos debemos hacer pertenecer a él? ¿Será necesario hacer pertenecer en él al monte Everest? Si no pertenecen más que a niños, ¿cuáles son los niños que debería pertenecer? Si el universo está definido como todos los niños de la clase, entonces el conjunto en cuestión estará formado por todos los niños de la clase a excepción de Juan y Alicia. Este es el complemento del conjunto que tiene por elementos a Juan y Alicia.
Cuanto precede puede ser motivo de discusiones apasionantes en una clase de niños. Haciendo que los niños participen en tales discusiones ponemos los fundamentos de un pensamiento lógico.
El segundo punto a discutir se refiere sin duda a la distinción entre el símbolo y lo que está simbolizado. Tomemos un conjunto, por ejemplo, Juan y Alicia, y situemos las dos imágenes en un paréntesis (mejor entre dos corchetes) para indicar que se trata de los elementos de un conjunto. ¿Pero de qué se trata? No son las imágenes, sino los mismos niños los que constituyen los elementos del conjunto. No se puede ofrecer un bombón al Juan de la imagen, ni dar un deber a hacer a la imagen de Alicia. Nunca insistiremos demasiado en cuanto acabamos de decir. Si los niños se habitúan a esta distinción, no se extrañarán al aprender que los signos 1, 2, 3, etc., no son realmente lo que se entiende por «uno», «dos», «tres». En efecto, «uno», «dos», «tres», no existen en la realidad: son abstracciones. Los signos son las imágenes destinadas a evocar las abstracciones en cuestión. El signo 2 no es realmente «dos» de la misma forma que la palabra «verde» no es realmente verde.
Otro punto muy importante a discutir es la significación de las palabras «lo mismo» e «igual». Está claro que se da a estas palabras sentidos muy distintos, según el género de cosas de que se hable. Tomemos dos ejemplares del mismo libro. Se les puede situar sobre una mesa y decir: «Dame ése; no el que está al lado de la lámpara, sino el que está más cerca de ti»; lo que implica que estos dos libros no son idénticos. Otra vez se dirá que se trata del mismo libro, para expresar que su contenido es idéntico. En el primer caso se trata de la identidad individual de los libros: los dos libros son diferentes, puesto que son objetos diferentes. En el segundo caso el término «el mismo» no se aplica a los libros, sino a su contenido impreso, dicho de otra forma a una cierta propiedad de estos libros. Cuando se dice viendo dos piezas de color verde que son «la misma cosa», significa que tienen el mismo color, aunque su forma sea diferente. Del mismo modo dos piezas cuadradas pueden ser consideradas como «la misma cosa», incluso aunque tengan colores diferentes, porque en este caso es la forma la que es idéntica. En cada uno de estos casos se aísla una cierta propiedad tal como el contenido, el color o la forma, y la expresión «lo mismo» se refiere a esta propiedad, no a los objetos en sí mismos. Un objeto no es idéntico más que a sí mismo, pero la propiedad de un objeto puede ser idéntica a la propiedad de otro objeto.
La definición de conjuntos por sus atributos llevará rápidamente a los niños a concebir conjuntos desprovistos de elementos. Por ejemplo el conjunto de todos los objetos verdes situados sobre la mesa del profesor no tendrá elementos, si no se encuentra ningún objeto verde sobre la mesa. Se dirá de tales conjuntos que son vacíos. Los niños se habituarán rápidamente a hablar de conjuntos vacíos, lo que es una condición esencial para llegar a la noción de cero.
Después de este estudio de la pertenencia a un conjunto, de igualdad de conjuntos y finalmente de conjuntos vacíos, se pueden abordar las operaciones sobre conjuntos. Vamos a ver las más importantes.
a) Reunión de conjuntos ( frecuentemente conocida por: unión de conjuntos).La reunión de dos conjuntos está formada por todos los elementos que pertenezcan bien sea a un conjunto, bien sea al otro, o a los dos a la vez. La reunión de « los chicos de la clase con el pelo de color castaño» con «los niños que tienen los ojos azules» es el conjunto formado por todos los niños que tengan al menos una de las propiedades enunciadas: pelo de color castaño u ojos azules. Se encontrará, pues, en esta reunión a todos los niños con ojos azules, así como a todos los niños que tienen el pelo de color castaño, comprendiendo también, por supuesto, a los que tienen a la vez los ojos azules y el pelo castaño. Es necesario poner múltiples ejemplos para ejercitar esta noción de reunión y estudiar ejemplos de conjuntos que se superpongan oponiéndolos a otros ejemplos de conjuntos distintos (o «disjuntos»). Hay que multiplicar estos ejemplos, antes de que el proceso de reunir quede totalmente claro. Se podrán utilizar cualesquiera de los objetos presentes en la clase, o de objetos fabricados por los mismos niños. Por ejemplo, se puede formar un universo por medio de trozos de cartón sobre los cuales se dibujen imágenes de niños gruesos y de niños delgados, pero entonces algunos serán de niños y otros de niñas; cada cartón no llevará más que la imagen de un niño. Se podrá hablar también del conjunto de niños gruesos, del conjunto de niños delgados, del conjunto de niños y del conjunto de niñas. Será instructivo formar todas las agrupaciones posibles: hay seis si se asocian los conjuntos por pares.
La reunión de {niños gruesos} y de {niños} contendrá a todos los niños gruesos, tanto a los niños como a las niñas, y naturalmente a todos los niños, es decir, a los niños gruesos y a los niños delgados. Así la reunión comprenderá a todas las niñas gruesas, a todos los niños gruesos y a todos los niños delgados; todas las niñas delgadas estarán excluidas. Ellas forman entonces el conjunto complementario del precedente, puesto que representan los elementos de nuestro universo que no pertenecen a la reunión. Si se forma la reunión de {niños} y de {niñas}, se obtendrá la totalidad de los niños; más aún, en esta operación no se constata ya la superposición o recubrimiento parcial como en el caso de la reunión {niños gruesos} y {niños}. Se llega así a la operación siguiente, es decir, la que consiste precisamente en encontrar la zona de recubrimiento.
b) Intersección de conjuntos. La intersección de dos conjuntos está constituida por todos los elementos que pertenecen a la vez a los dos conjuntos. En el caso de los niños de ojos azules y niños de pelo castaño la intersección está formada por niños de ojos azules que tienen a la vez el pelo castaño. En el caso de conjuntos distintos (o disjuntos) la intersección será vacía.
Por ejemplo, no hay superposición entre las niñas y los niños. Un niño o es niña o niño, nunca las dos cosas a la vez. De suerte. que la intersección de conjuntos {niños} y {niñas} es vacía. En el caso de {niños gruesos} y {niños} está claro que la intersección es (niños gruesos). Naturalmente, si no existen niños gruesos en la clase que se toma por universo, esta intersección se encontrará vacía igualmente.
c) Conjuntos complementarios. El conjunto complementario de un conjunto dado está formado de todos los elementos del universo de que se habla que no pertenecen a este conjunto. Por ejemplo, si el universo está formado por los niños de la clase y si el conjunto dado es el de los niños de ojos azules, entonces el conjunto complementario está formado por todos los niños de la clase que no tienen los ojos azules.
El complemento del conjunto{niños} es el conjunto {niñas}; el complemento del conjunto {niños gruesos} es {niños delgados}. El complemento del universo es naturalmente vacío y el complemento de un conjunto vacío no es otro que el universo.
Una noción importante a introducir es la de subconjunto. Por ejemplo, el conjunto de niños de ojos azules forma un subconjunto del conjunto de los niños de ojos azules y es también un subconunto del conjunto de los niños, si se toma por universo a todos los niños de la clase. Hay que distinguir cuidadosamente los «subconjuntos» de los elementos. El subconjunto de los niños de ojos azules no puede ser un elemento del conjunto de los niños de ojos azules, porque el universo considerado está formado por niños tomados individualmente y no por conjuntos de niños. Es necesario distinguir bien las nociones «ser un subconjunto de» y «ser un elemento de». La confusión entre estas nociones conduciría más tarde a otras confusiones relativas a la multiplicación, los factores, etcétera.
Esta noción de subconjunto y su distinción de la noción de elementos exige una gran cantidad de ejercicios prácticos. Los niños deberán entrenarse en cambiar de universo, de manera que sepan siempre exactamente sobre qué trata el juego. El juego se hace sobre los elementos del universo. Si se modifica el universo se cambia de juego, nos ponemos a hablar de otra cosa. Por ejemplo, supongamos que hay en una habitación tres perros, dos gatos y cuatro niños. Si se toma por universo el conjunto de los seres presentes en la habitación, entonces los niños forman un subconjunto del universo. Pero si se cambia de idea decidiendo hablar de grupos de criaturas de la misma especie, entonces los elementos del universo serán: a) los grupos de niños; b) los grupos de perros; c) los grupos de gatos. Anteriormente, al hablar de criatura, se podían formar conjuntos de criaturas; por ejemplo el conjunto de los niños, o el conjunto de niños y perros, o el conjunto de perros salvajes y de gatos moteados, o el conjunto formado por María, Juan, el perro más feroz y el gato negro. Cuando se define que el conjunto está formado por seres de la misma especie, sólo el conjunto de niños pertenecen a este universo. He aquí otros elementos posibles que pertenecen a este universo:
A. {María, Juan y Susana}
B. {María, Susana}
C. {Los perros feroces}
D. {Todos los perros}
E. {Todos los gatos}
F. {El gato negro}
G. {Juan} etc.
Los elementos F y G son conjuntos que comprenden un solo elemento. Importa no confundir el caso en que Juan es un elemento del universo con el caso del conjunto que comprende a Juan solamente, que pertenece a otro universo. Esto puede dar la impresión de que se trata de hilar demasiado fino, pero si se abandonan estas distinciones se desemboca en confusiones y contradicciones. Por ejemplo, tomemos el universo formado por todos los conjuntos posibles de que se acaba de hablar y extraigamos de este universo los conjuntos que comprenden un solo elemento, o los conjuntos que comprenden dos elementos. Para más claridad demos un nombre a cada ser:
Niños: Juan, María, Susana, Miguel.
Perros: Pluto (es dulce). Tarzán (es feroz). Tigre (es muy feroz).
Gatos: Negro, Moteado.
Éste es el universo de los seres. El universo de los conjuntos de seres de la misma especie es mucho más numeroso. A continuación se halla clasificado según el número de seres que figuran en cada conjunto.
1 criatura por conjunto (conjunto E, de conjuntos):
{Juan) {María} {Susana} {Miguel} {Pluto}
{Tarzán} {Tigre} {Negro} {Moteado}
2 criaturas por conjunto (conjunto E, de conjuntos):
{Juan, María} {Juan, Susana} {Juan, Miguel)
{María, Miguel} {María, Susana)
{Susana, Miguel}
{Pluto, Tarzán} {Pluto, Tigre} {Tarzán, Tigre}
{Negro, Moteado}
3 criaturas por conjunto (conjunto E, de conjuntos):
{Juan, María, Susana} {Juan, María, Miguel}
{Juan, Susana, Miguel} {María, Susana, Miguel}
{Pluto, Tarzán, Tigre}
4 criaturas por conjunto (conjunto E, de conjuntos):
{Juan, María. Susana. Miguel}
Naturalmente no hay ninguna razón para restringir el universo al conjunto de los conjuntos de criaturas de la misma especie. Si se admiten otros conjuntos de criaturas, se obtendrá un universo todavía más numeroso.
El universo estudiado acaba de ser descompuesto en cuatro partes. La primera parte contiene los elementos que pertenecen a conjuntos de una criatura cada uno, el segundo contiene elementos que pertenecen a conjuntos de dos criaturas, etc. El «número 1» es una propiedad común a todos los elementos que pertenecen a la primera parte, el «número 2» es una propiedad común a todos los elementos que pertenecen a la segunda parte, y así sucesivamente.
El conjunto de los conjuntos del primer grupo, designado E1, tiene elementos que son por sí mismos conjuntos, y cada uno de estos conjuntos tiene la propiedad de no comprender por sí mismos más que un elemento, es decir, un solo ser. El conjunto de los conjuntos del segundo grupo, designado E2, tiene también elementos que son conjuntos, cada uno de estos conjuntos comprende dos elementos, es decir, dos seres. El conjunto de los conjuntos del tercer grupo, designado E3, tiene también elementos que son conjuntos, y cada uno de estos conjuntos posee la propiedad de tener tres elementos.
«Tener tres elementos» es una propiedad de los conjuntos que permite aislar un cierto conjunto de conjuntos a partir del universo de los conjuntos, a saber, el conjunto de los conjuntos en los que cada conjunto-elemento posee precisamente tres elementos. Es importante apercibirse de que «tener tres elementos», o «tres» para abreviar, es una propiedad que concierne a los conjuntos y no a los elementos de los conjuntos. Las propiedades tales como «ser un muchacho», «ser gruesos» o «tener el pelo negros» se aplican a los elementos del universo de los seres, no al universo de cualesquiera conjunto de criaturas.
Un conjunto de muchachos no puede ser un muchacho; por consiguiente «ser un muchacho» no puede aplicarse a ningún conjunto de criaturas, sino solamente a una criatura. Inversamente el «tener tres elementos» no puede aplicarse a una criatura aislada, sino solamente a un conjunto de criaturas aisladas. No se facilitan las adquisiciones del niño cuando se escribe en los libros de texto del alumno cosas como esta:
El primer miembro de la «ecuación» es un conjunto o mejor todavía el símbolo de un conjunto; el segundo miembro es una propiedad del conjunto. No se puede decir que una propiedad es idéntica a aquello que posee la propiedad. La rojez no es idéntica al objeto que es rojo, de la misma forma que «tres» no es idéntico a un conjunto de tres objetos.
d) Diferencia de dos conjuntos. Extrayendo un subconjunto de un conjunto se forma la diferencia entre dos conjuntos. Si partiendo del conjunto de niños de ojos azules de la clase, se quita el conjunto de niños de ojos azules, queda el conjunto de niñas de ojos azules de la clase. El conjunto de niñas de ojos azules es la diferencia entre el conjunto de niños de ojos azules y el conjunto de muchachos de ojos azules. Sobre esta operación entre conjuntos reposa la noción de sustracción.
Es posible que el subconjunto sea idéntico al conjunto, por ejemplo, es posible que no exista en la clase niña alguna de ojos azules. En este caso la diferencia es un conjunto vacío. Hay en esto una dificultad que no es preciso introducir desde el principio. Los subconjuntos que no son idénticos a los conjuntos de que forman parte se llaman subconjuntos en sentido estricto. Por ejemplo, el conjunto de los muchachos de una clase es un subconjunto en sentido estricto del conjunto formado por todos los niños de la clase, si existen niñas en la clase, pero no en el caso de que la clase no comprenda más que a muchachos.
Las operaciones que acabamos de estudiar sobre conjuntos son los preliminares necesarios para el estudio de las operaciones sobre los números. Como ya hemos dicho los números son propiedades de los conjuntos. Cuando se habla de números, se habla de propiedades. El universo en que se aplican estas propiedades está formado por conjuntos; los elementos de estos conjuntos son generalmente objetos o sucesos. A partir del universo de todos los conjuntos posibles, se pueden extraer aquellos que tienen la propiedad de comprender precisamente dos elementos. En efecto, «dos» es la propiedad común a todos los conjuntos posibles que comprenden dos elementos. De la misma forma que «creando» conjuntos a partir de sus elementos creamos esta vez un nuevo universo, el de los números. No es necesario añadir que este proceso es ilimitado. El arte del matemático consiste en la creación continua de nuevos universos y en la investigación de las propiedades en torno a los elementos de estos universos. Los niños pueden desde la escuela maternal entrar en el juego de estas creaciones, así como en el juego del examen de cada nueva especie de criaturas.
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