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Antes de abordar una teoría del aprendizaje matemático es indispensable definir claramente lo que aquí entendemos por matemáticas. Desde luego, no las consideraremos como un conjunto de técnicas, por indispensables que éstas puedan ser para la utilización efectiva de las verdaderas matemáticas, sino que las entenderemos más bien como una estructura de relaciones, cuyo simbolismo formal será solamente un medio de comunicar a otra persona éste o aquel elemento de tal estructura. Una proposición matemática hace siempre referencia a alguna conexión existente en el interior de la estructura, y para expresar tal conexión recurrimos a un simbolismo que, en el fondo, no es sino una especie de lenguaje que se ha inventado especialmente para ello. Por ejemplo, la proposición simbólica
2(a + b) = 2a + 2b
establece una conexión entre dos partes de la estructura, una que se refiere a la adición y otra que se refiere a la multiplicación. Saber que podemos pasar de los símbolos 2(a + b) a los símbolos 2a + 2b y viceversa, es un saber técnico que puede no encerrar conocimiento alguno de la íntima unión simbolizada por la fórmula. Ya he hecho ver que en nuestras escuelas se formulan constantemente proposiciones sobre las estructuras, del estilo de la citada, sin que las estructuras mismas sean bien comprendidas.
Así pues, entenderé por matemáticas las verdaderas conexiones estructurales entre conceptos ligados a la idea de número (matemáticas puras), junto con su aplicación a problemas tal y como aparecen en la realidad (matemáticas aplicadas). Y entenderé por aprendizaje de las matemáticas la captación de tales conexiones y su simbolización, así como la adquisición de cierta aptitud para aplicar los conceptos así formados a las situaciones reales que se presentan en el mundo.
Definido así el aprendizaje, es difícil comprender que pueda serle aplicado una teoría del tipo "estímulo-reacción". Las teorías de esta clase consideran el estudio como un proceso de condicionamiento, gracias al cual ciertas reacciones pueden ser ulteriormente provocadas por determinados estímulos. Observemos ahora una lección de matemáticas "corriente": veremos que lo que opera en ella es, precisamente, un proceso semejante de condicionamiento; se presentan ciertos estímulos y mediante alguna explicación (única parte del proceso que hace alguna referencia a la estructura), se ligan aquellos estímulos a otras ciertas reacciones llamadas "respuestas correctas". Algunas veces se condiciona al sujeto para que dé la "respuesta correcta" mediante un sistema de recompensas, que en ciertos casos se refuerza con otro de penalizaciones o castigos. Por lo general, no se pasa de aquí, al menos mientras los alumnos reaccionen adecuadamente dando "respuestas correctas", porque, como se ha dicho, se trata, sobre todo, de provocar una reacción determinada frente a un estímulo también determinado y las posibles referencias a la estructura son accesorias, recurriéndose a ellas en tanto que puedan facilitar este condicionamiento. También los alumnos que dan habitualmente "respuestas falsas" son, por lo general, aquellos cuya comprensión no ha sido capaz de sostener la cadencia de desarrollo de la estructura, y se ven obligados a aprender sus propios "trucos" para aumentar el número de "respuestas correctas" que, en la situación de condicionamiento en que se hallan, se consideran obligados a dar. Es de notar, ahora, que el hecho de que un alumno dé en la "respuesta correcta" no significa, necesariamente, que haya comprendido las partes de la estructura a que esa respuesta se refiere.
¿A qué se debe que este sistema de "estímulo-reacción" sea menos adecuado para el estudio de la matemática que para el de otra cuestión cualquiera? Seguramente, a que en matemáticas es mucho más importante la estructura que el contenido. En historia, por ejemplo, lo más importante de los hechos históricos es que tales hechos se produjeron; sólo en un estadio más avanzado es cuando puede intentarse una cierta "estructuración" para considerarlos como partes de un esquema más amplio. En cambio, en el dominio de las matemáticas, lo que constituye el elemento fundamental es, precisamente, esta estructuración. Y aún más: los modelos, las estructuras formadas, son muy pronto considerados como objetos matemáticos y se sumergen en nuevas estructuras, las que, a su vez, en cuanto resultan familiares, se consideran también como nuevos objetos matemáticos, y el proceso se repite indefinidamente. Para quien no esté iniciado en matemáticas, esta superposición de modelos o estructuras se produce con una rapidez alarmante y puede dejarlo pronto a la cola del grupo.
Merece la pena observar este proceso un poco más de cerca y detenernos en él. Para que todo resulte tan claro como sea posible, recurriremos a una terminología gramatical, quizá más familiar, y hablaremos de "sujetos" y "predicados", en vez de utilizar un vocabulario más lógico y hablar de "clases" y "elementos". Para empezar, consideremos el concepto de número natural. El predicado "hay tres" se refiere a una colección de cosas y esta colección es el sujeto de ese predicado, que a su vez nos enuncia que hay tres cosas en la colección. Pasado este punto, si consideramos, por ejemplo, tres manzanas y tres naranjas, podremos decir: "hay tantas manzanas como naranjas"; y utilizamos entonces un nuevo predicado, que es "hay tantas... como...". ¿Cuál es el sujeto de este predicado? Resulta claro que ya no es la colección; ahora el sujeto es el número de cosas de una de las colecciones. Este número, que aquí es el tres, ha sido utilizado hasta el momento como un predicado aplicable a una colección; ahora se le usa como sujeto, al que se le aplica un nuevo predicado, "hay tantas... como...". De modo más preciso, podríamos decir que este predicado tiene en realidad dos sujetos: el número de cosas en la colección de manzanas y el número de cosas en la colección de naranjas. Lo que decimos es que ambos números son uno mismo. Aún resulta más claro todo, si consideramos el predicado "hay menos... que...". Si hay dos naranjas y tres manzanas, podemos aplicar el predicado "hay menos... que..." a las naranjas y a las manzanas y decir: "hay menos naranjas que manzanas". Aquí los sujetos son los números 2 y 3, y el predicado "hay menos que", lo que se escribe simbólicamente
2<3
En un principio, 2 y 3 decían algo referente a las colecciones de objetos, y después los predicados "es igual a" o "es menor que" decían algo con referencia a 2 y 3. Ahora resulta fácil continuar así y decir algo sobre "es la misma cosa que". Por ejemplo, para decir claramente lo que significa añadir, hay que recurrir al concepto "es la misma cosa que".
Cuando contamos hasta 2, y después contamos 3 más, descubrimos que hemos encontrado "el mismo" número que si hubiéramos contado directamente hasta 5. De igual modo, para explicar la multiplicación hemos de recurrir a la adición, y para explicar la expresión 2(a + b) hemos de recurrir a la adición y a la multiplicación. Dicho en otra forma, la expresión anterior nos informa sobre varias cosas, de las que cada una, a su vez, nos informa sobre otras, y así sucesivamente hasta que llegamos a los números, que nos suministran alguna información sobre colecciones de objetos. Por expresarnos en lenguaje gramatical, los predicados se convierten en sujetos de otros predicados y el proceso se repite indefinidamente.
Las personas hábiles para dominar los predicados y convertirlos en sujetos se convierten en buenos matemáticos. Siempre que un matemático crea un predicado, prosigue sus investigaciones intentando saber lo que pueda decir de este nuevo predicado. En cierto modo, aplicar un predicado a una clase de sujetos supone establecer alrededor de ellos una especie de clausura; en estos espacios cerrados, una persona que tenga espíritu matemático experimenta de inmediato una sensación de claustrofobia matemática. No puede estar mucho tiempo encerrado y pronto desea saber lo que hay al otro lado de la frontera; en otras palabras, comienza a buscar las posibles conexiones entre sus predicados. Si la esencia del pensamiento matemático es su constante apertura, un pensamiento abierto sin cesar, resulta claro que es algo radicalmente distinto del pensamiento general. Los psicólogos que han estudiado los problemas de la adquisición mental y del pensamiento, muy raramente han sido matemáticos y ésta puede ser una razón que explique por qué, hasta ahora, no se ha presentado una teoría que explique convincentemente las modalidades del aprendizaje en este dominio particular.
No obstante, se dispone de una pequeña colección de datos experimentales, reunidos por psicólogos orientados hacia la matemática, y de esta colección puede partirse para esbozar las grandes líneas de una teoría del aprendizaje de las matemáticas. Sin embargo, es mucho lo que queda por hacer; se necesitaría que los problemas fueran sometidos a la consideración de cuantos forman el cuerpo de la enseñanza, y así los maestros en ejercicio podrían participar activamente en el suministro de observaciones y contribuirían al establecimiento de bases sólidas para una teoría aceptable.
Las fuentes a las que hemos recurrido para esbozar nuestra teoría son las investigaciones, bien conocidas, de Piaget; los trabajos del Cognition Project de Harvard, dirigidos por Bruner; el notable trabajo realizado por Sir Frederick Bartlett, y algunos resultados de experiencias propias. Para referencias más detalladas, enviamos al lector a la bibliografía del final del libro*.(...)
*Bibliografía del final del libro
(1) Piaget, J. (y otros), L'enseignement des mathématiques (Neuchâtel y París, Delachaux & Niestlé, 1955).
(2) Piaget, J., La genèse du nombre chez l'enfant (Neuchâtel, 1941).
(3) Hadamard, J., An essay on the psychology of invention in the mathematical field (Nueva York, 1945).
(4) Waisman, F., Introduction to mathematical thinking, the formation of concepts in modern mathematics (Londres, 1951).
(5) Wertheimer, M., Productive thinking (Nueva York, 1945).
(6) Rokeach, M., A study in religious and political dogmatism (Psychological Monographs, Nueva York, 1956).
(7) Adorno, T. W. (y otros), The authoritarian personality (Nueva York, 1950).
(8) Bruner, J. S. (y otros), A study of thinking (Nueva York, 1956).
(9) Bartlett, Sir Frederick, Thinking (Londres, 1958).
(10) Dienes, Z. P., Concept formation and personality (Leicester, 1959).
(11) Dienes, Z. P., On the growth of mathematical concepts in children through experience (en Educational Research, vol. II, nº 1, noviembre 1959).
(12) Gattegno, C., Servais, W., Castelnuovo, E., Nicolet, J. L., Fletcher, T. J., Motard, L., Campedelli, L., Biguenet, A., Peskett, J. W. y Puig Adam, P., Le matériel pour l'enseignement des mathématiques (Neuchâtel y París, 1958).
(13) Stern, C., Children discover arithmetic (Londres, 1953).
(14) Gattegno, C. y Cuisenaire, G., Numbers in colour (Londres, 1954).
(15) Dienes, Z. P., Introduction to the use of the multibase arithmetic blocks (M. A. B.) y Introduction to the use of the algebraic experience material (A. E. M.). (National Foundation, 79 Wimpole Street, Londres W. I, 1959.)
Reseñas bibliográficas complementarias para los lectores de lengua francesa:
(16) Dienes, Z, P., La mathématique moderne dans l'enseignement élémentaire (París, 1964).
(17) Dienes, Z, P., Comprendre la mathématique (París, 1965).
(18) Dienes, Z. P., Les premiers pas en mathématique (en preparación).
(19) Revuz, A., Mathématiques moderne, mathématique vivante
(20) Goutard, M., Les mathématiques et les enfants (Neuchâtel y París, 1963).
(21) Dupont, E., Apprentissage mathématique, 1 (París, 1965).
(22) Revuz, A. y G., Le cours de l'A.P.M. (3 vol.) (París, 1962, 1963, 1965).
(23) Papy, G., Géométrie affine plane et nombres réels (Bruselas, 1962).
Initiation aux espaces vectoriels (Bruselas, 1963). Groupoïdes (Bruselas y Paris, 1965)
(24) Papy, G. y F., Mathématique moderne, I (Bruselas y París, 1963).
(25) Bulletin de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseigne ment public (París, 5 números por año).
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA
Bruner, J. S., The process of education (Harvard, 1960).
Churchill, Eileen, Counting and measuring in the infant school (Londres, 1961).
Dienes, Z. P., The power of mathematics (Londres, 1963).
Dienes, Z. P., An experimental study of mathematics-learning (Londres, 1963).
Dienes, Z. P. "On abstraction and generalization" (Harvard Educational Review, vol. 31, nº 3, verano, 1961).
Dienes, Z. P., "On the learning of mathematics" (The Arithmetic Teacher, marzo, 1963).
Dienes, Z. P., Mathematics in the Primary school (Melburne, 1964).
Hale, T. y McRoy, E., "UICSM's decade of experimentation" (The Mathematics Teacher, LIV, diciembre 1961).
Hendrix, Gertrude, "Learning by discovery" (The Mathematics Teacher, LIV, mayo, 1961).
Rasmussen, D. y L., "The Miquon mathematic program" (The Arithmetic Teacher, abril, 1962).
Sealey, L. y Gibbon, V., Communications and learning (Oxford, 1963).
Skemp, R., "The teaching of mathematical concepts" (Mathematics Teaching, núm. 20, otoño, 1962); "Schematic and rote learning", núm. 21 (Invierno, 1962); "Sensorimotor intelligence and reflective intelligence", núm. 22 (Primavera, 1963).
Skemp, R., Understanding mathematics (Londres, 1964).
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Tomado de Dienes, Z. P. (1970). La construcción de las matemáticas. Barcelona: Vicens-Vives.
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