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(...)Antes que nada, debemos decir algunas palabras sobre estas investigaciones. Piaget fue el primero en ver que el proceso de formación de un concepto es mucho más largo de lo que se había creído y que antes de tener la menor indicación sobre la dirección que el pensamiento va a tomar, debe realizarse un trabajo de gran importancia, aunque aparentemente tenga poco que ver con el concepto en cuestión. Se trata de la etapa del juego, que resulta prácticamente inconsciente del todo, y en la que se juega, efectivamente, con los elementos del concepto, mucho antes de tener la menor idea de que estos elementos podrán ayudarnos un día a clasificar cómodamente los sucesos del mundo. El bebé juega con los sonidos y las sílabas mucho antes de saber que estos sonidos le servirán, más tarde, como medios de comunicación; el niño juega también con cubos de madera o con distintos objetos, y los agrupa según su tamaño, o según su forma, mucho antes de saber que está en camino de familiarizarse con los elementos que le permitirán después formar los conceptos de número y de espacio. Nosotros mismos, vivimos las fluctuaciones de los cambios, de los precios, de las ganancias o pérdidas de los negocios, antes de que intentemos coordinarlas en una teoría económica. Resulta evidente que, en cualquiera de los casos citados, no podríamos formar concepto alguno si previamente no hubiéramos jugado ampliamente con los elementos que constituyen ese concepto.
Viene después una segunda etapa, en la que se entra al ir descubriendo, lentamente, una dirección en la que nuestras experiencias puedan encadenarse en un todo significativo. El bebé empieza a comprobar que ciertos sonidos ocurren cuando ciertos sucesos ocurren: por ejemplo, aparece su hermana en cuanto se pronuncia su nombre. Gradualmente, se va esforzando en producir sonidos en circunstancias que resulten apropiadas; en realidad, intenta orientarse conscientemente hacia comunicaciones que tengan un significado. También el niño, jugando con sus cubos, acaba por descubrir que las colecciones de dos objetos tienen algo en común: por ejemplo, que hay un objeto para él y otro para su madre. Todo esto es la aurora de la experiencia matemática, y esta experiencia no alcanzará su cenit hasta mucho más tarde, cuando se alcance la comprensión del número puro. Incluso nosotros, al reflexionar sobre los precios y salarios, podemos experimentar en un momento dado la necesidad de comprender las conexiones que puede encerrar la vida económica y quizá solicitemos de alguna biblioteca un libro sobre economía. Esta segunda etapa conduce, más pronto o más tarde, a otra tercera, cuando de un modo u otro se nos aparezca en la mente una clara imagen y sintamos que "comprendemos". El ciclo queda cerrado cuando somos capaces de comprobar, de una sola ojeada, que hemos llegado ya al final de un itinerario mental.3 Llega ahora un período de práctica, cuyo objeto no es sino enraizar el nuevo concepto firmemente en nuestra experiencia, e incorporarlo así al arsenal de otros conceptos de que dispongamos para esclarecer las oscuridades de nuestro medio. El bebé que ha aprendido a decir "mamá", lo repite una y otra vez sólo por ver si obtiene el efecto supuesto. El niño que ha descubierto el número, construye incansablemente montones de objetos con el mismo número de cubos y cosas del mismo tipo, e incluso insiste para que los adultos tomen parte en sus repeticiones. Para comprender el punto de vista del niño, nos basta recordar nuestra propia costumbre de fastidiar a nuestros amigos con toda teoría descubierta últimamente y nuestra tendencia a aplicarla en las situaciones menos apropiadas. Hemos llegado así a la etapa práctica que sigue a la realización del concepto; por su parte, esta etapa será a su vez también etapa de juego, dirigida a otra próxima adquisición de conceptos nuevos. De este modo sucesivo se encadenan los ciclos, quedando formado cada uno de ellos sobre el conjunto de los ya formados.
Por parte del lector, no habrá dificultad alguna para reconocer que esta descripción dinámica del proceso de aprendizaje está mejor adaptada a las condiciones del aprendizaje de las matemáticas que cualquier explicación atomística, a base de "estímulo-reacción". Se ha de entender, no obstante, que se trata solamente de un boceto, de un esquema, que hay que llenar con el contenido de cuanto se ha de aprender. Las situaciones pueden diferir entre sí, por ejemplo, en su estructura lógica; en tal caso deberemos intentar la coordinación de diversos conjuntos de experiencias mediante diferentes conexiones lógicas. Hay situaciones en que asociamos dos sucesos conjuntándolos en un suceso único, es decir, haciendo una conjunción de dos sucesos que anteriormente eran inconexos: así ocurre cuando dos sucesos ocurren siempre simultáneamente, por ejemplo, el sonido de la campana y el comienzo de la clase. La conexión lógica puede ser de otro tipo. Por ejemplo, sabemos que si dos personas concursan a un puesto único, solamente puede ser nombrada una de ellas. Estos sucesos los relacionamos disjuntando las dos posibilidades distintas; hacemos una disjunción, establecemos una disyuntiva entre dos sucesos que, antes de la solicitud de los concursantes, eran inconexos. En el caso de la conjunción decimos: "suena la campana y comienza la lección", mientras que en el caso de la disjunción decimos: "O consigue la plaza el señor Pérez o la consigue el señor González".
Existen muchas otras conexiones lógicas, que se establecen también entre conceptos ya formados. Por ejemplo: Si el señor A es londinense, entonces puedo hablarle en inglés. No es cierto que si puedo hablar en inglés a alguien, este alguien sea necesariamente de Londres; puede haber nacido en Manchester, o en Escocia, o en cualquier otro lugar del mundo. Estamos ahora ante una relación de implicación. Estas relaciones lógicas, que claramente aparecen como distintas, pueden aplicarse a las mismas situaciones, pero aun entonces, las situaciones compuestas que se formen serán diferentes.
Por ejemplo, si a es el conjunto de los enteros naturales primos y b es el conjunto de los enteros naturales que, divididos por 4, dan de resto 1, entonces "a y b" y sólo ellos, significa el conjunto de los números primos que divididos por 4 dan de resto 1, mientras que "a o b" significa el conjunto de todos los números primos, y además cualquier otro número entero, con tal de que al dividirlo por 4 dé como resto 1.
Bruner, Goodnow y Austin (8), en un reciente plan de investigaciones de la Universidad de Harvard, han estudiado las reacciones de los individuos a las diferentes combinaciones lógicas de conceptos ya formados; los materiales de que los conceptos estaban formados eran suficientemente simples para que todos los conocieran y las únicas incógnitas de los problemas eran las conexiones lógicas. La investigación estudiaba la estrategia que los distintos individuos pueden emplear para descubrir estas conexiones lógicas.
En la mayor parte de los casos, el procedimiento consistía en presentar cierto número de tarjetas. Sobre cada una de ellas había dibujados triángulos, círculos o cuadrados, ya fueran uno, dos o tres, y además las había rojas, blancas o verdes. Por tanto, en esa experiencia hay tres parámetros, la forma, el número y el color, cada uno de ellos con tres valores. El experimentador piensa un concepto, por ejemplo "triángulos rojos" y se invita al sujeto a elegir cartas; cada vez que éste toma una, el experimentador dice solamente SI o NO: dice SI cuando la carta es roja y además tiene triángulos, y dice NO en cualquier otro caso. La tarea del sujeto es descubrir el concepto con el mínimo número de ensayos. A veces se utiliza mayor número de variables y en otras ocasiones se limita el número de ensayos posibles. Los problemas son siempre lo bastante sencillos como para poder establecer a priori la estrategia óptima y compararla con las estrategias empleadas en la práctica.
El lector ha comprendido ya que este procedimiento puede adaptarse con facilidad a la observación de la formación de los conceptos de conjunción, disjunción, etc. Por ejemplo, "triángulos rojos" es una conjunción, por cuanto la tarjeta debe ser roja y además tener triángulos; en cambio, "roja o triángulos" es un concepto disyuntivo, y cualquier tarjeta roja o cualquier tarjeta que tenga triángulos, produce una respuesta afirmativa del experimentador.
No es solamente la estructura lógica de la materia por aprender lo que produce las diferencias entre las situaciones de aprendizaje. En efecto, personas distintas abordan un mismo problema de modo diferente y las investigaciones de Harvard han aclarado suficientemente este punto. Si bien la naturaleza misma del problema estudiado puede influir en la dirección en que se le aborde, lo que decisivamente cuenta es el tipo de pensamiento que usualmente utiliza cada individuo. Sir Frederick Bartlett enumera y examina distintos tipos de pensamiento que, usando su propia terminología, van desde el tipo de pensamiento "cerrado" hasta aquel otro, totalmente distinto, del artista y que llama, muy gráficamente, "pensamiento aventurero" (9).
El problema del aprendizaje consiste, esencialmente, en encontrar un ajuste apropiado entre lo que exige la estructura de la materia por aprender y la estructura del pensamiento del alumno. Para construir una teoría inteligible que explique el proceso del aprendizaje, hay que tener en cuenta ambas estructuras y, a ser posible, conseguir una descripción cuantitativa. Es una labor muy difícil, de la que hasta el momento se sabe muy poco, aparte un fragmentario intento en la reciente monografía del autor Concept formation and personality (10).
El lector que desee conocer el detalle de la teoría y los datos experimentales disponibles, puede encontrar información en las monografías que se indican en el índice bibliográfico al final del libro, por cuanto aquí no pueden tener lugar desarrollos extensos de la cuestión. No daremos sino las conclusiones principales y las hipótesis que se siguen, ya que las sugerencias prácticas que sobre el estudio de las matemáticas se hacen en esta obra se fundan sobre ellas.
Hemos examinado ya las tres etapas de Piaget de la formación de un concepto. A cada una de ellas corresponde un tipo de aprendizaje diferente. A la etapa preliminar o etapa del juego, corresponde una actividad más bien desordenada, sin objeto aparente; el sujeto se lanza a esta actividad y encuentra satisfacción en la actividad misma; es el tipo de comportamiento que se llama generalmente juego. Para que éste sea posible, se necesita que el sujeto tenga la amplia libertad de un experimentador y, por tanto, esta etapa del aprendizaje de los conceptos debe ser tan libre como pueda conseguirse, dejándose como material de juego, a disposición de los alumnos, los componentes del futuro concepto. La segunda etapa es más dirigida, más orientada, pero su característica es aún la ausencia de toda comprensión clara de lo que se busca. En tal etapa es deseable una actividad ya estructurada, aunque tal estructuración no llegue demasiado lejos. En cuanto al modo de conseguirlo, dependerá tanto de la estructura del concepto como de los modos de pensamiento particulares del sujeto. En tanto que no tengamos otros datos sobre estos factores, el método más seguro será acumular muchas experiencias, en las que las distintas estructuras empleadas conduzcan todas al mismo concepto. La tercera etapa debe ya proporcionar la adecuada práctica para aplicar y fijar los conceptos que han sido formados. Los juegos a practicar en estas etapas pueden clasificarse así:
a) Juegos preliminares;
b) juegos estructurados;
c) juegos de práctica.
Quede bien entendido que esta clasificación se refiere a un concepto determinado. Por cierto, un juego que es de práctica para un concepto, puede servir como juego preliminar para otro concepto distinto. Sin embargo, es muy importante no utilizar juegos de práctica como preliminares para el mismo concepto, lo que es un error muy común en las escuelas primarias, donde a veces se intenta que los niños aprendan algo mediante un juego que en realidad no pueden practicar, mientras no conozcan lo que se les quiere enseñar. Igualmente importante resulta saber elegir adecuadamente el momento en que un niño pasa de una etapa a la siguiente, a fin de proporcionarle experiencias que estén adaptadas a la evolución de la situación.(...)
3. (1)-(9) Bartlett, F. (Las cifras entre paréntesis se refieren a la Bibliografía consignada al final del libro)
Bibliografía del final del libro
(1) Piaget, J. (y otros), L'enseignement des mathématiques (Neuchâtel y París, Delachaux & Niestlé, 1955).
(2) Piaget, J., La genèse du nombre chez l'enfant (Neuchâtel, 1941).
(3) Hadamard, J., An essay on the psychology of invention in the mathematical field (Nueva York, 1945).
(4) Waisman, F., Introduction to mathematical thinking, the formation of concepts in modern mathematics (Londres, 1951).
(5) Wertheimer, M., Productive thinking (Nueva York, 1945).
(6) Rokeach, M., A study in religious and political dogmatism (Psychological Monographs, Nueva York, 1956).
(7) Adorno, T. W. (y otros), The authoritarian personality (Nueva York, 1950).
(8) Bruner, J. S. (y otros), A study of thinking (Nueva York, 1956).
(9) Bartlett, Sir Frederick, Thinking (Londres, 1958).
(10) Dienes, Z. P., Concept formation and personality (Leicester, 1959).
(11) Dienes, Z. P., On the growth of mathematical concepts in children through experience (en Educational Research, vol. II, nº 1, noviembre 1959).
(12) Gattegno, C., Servais, W., Castelnuovo, E., Nicolet, J. L., Fletcher, T. J., Motard, L., Campedelli, L., Biguenet, A., Peskett, J. W. y Puig Adam, P., Le matériel pour l'enseignement des mathématiques (Neuchâtel y París, 1958).
(13) Stern, C., Children discover arithmetic (Londres, 1953).
(14) Gattegno, C. y Cuisenaire, G., Numbers in colour (Londres, 1954).
(15) Dienes, Z. P., Introduction to the use of the multibase arithmetic blocks (M. A. B.) y Introduction to the use of the algebraic experience material (A. E. M.). (National Foundation, 79 Wimpole Street, Londres W. I, 1959.)
Reseñas bibliográficas complementarias para los lectores de lengua francesa:
(16) Dienes, Z, P., La mathématique moderne dans l'enseignement élémentaire (París, 1964).
(17) Dienes, Z, P., Comprendre la mathématique (París, 1965).
(18) Dienes, Z. P., Les premiers pas en mathématique (en preparación).
(19) Revuz, A., Mathématiques moderne, mathématique vivante
(20) Goutard, M., Les mathématiques et les enfants (Neuchâtel y París, 1963).
(21) Dupont, E., Apprentissage mathématique, 1 (París, 1965).
(22) Revuz, A. y G., Le cours de l'A.P.M. (3 vol.) (París, 1962, 1963, 1965).
(23) Papy, G., Géométrie affine plane et nombres réels (Bruselas, 1962).
Initiation aux espaces vectoriels (Bruselas, 1963). Groupoïdes (Bruselas y Paris, 1965)
(24) Papy, G. y F., Mathématique moderne, I (Bruselas y París, 1963).
(25) Bulletin de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseigne ment public (París, 5 números por año).
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA
Bruner, J. S., The process of education (Harvard, 1960).
Churchill, Eileen, Counting and measuring in the infant school (Londres, 1961).
Dienes, Z. P., The power of mathematics (Londres, 1963).
Dienes, Z. P., An experimental study of mathematics-learning (Londres, 1963).
Dienes, Z. P. "On abstraction and generalization" (Harvard Educational Review, vol. 31, nº 3, verano, 1961).
Dienes, Z. P., "On the learning of mathematics" (The Arithmetic Teacher, marzo, 1963).
Dienes, Z. P., Mathematics in the Primary school (Melburne, 1964).
Hale, T. y McRoy, E., "UICSM's decade of experimentation" (The Mathematics Teacher, LIV, diciembre 1961).
Hendrix, Gertrude, "Learning by discovery" (The Mathematics Teacher, LIV, mayo, 1961).
Rasmussen, D. y L., "The Miquon mathematic program" (The Arithmetic Teacher, abril, 1962).
Sealey, L. y Gibbon, V., Communications and learning (Oxford, 1963).
Skemp, R., "The teaching of mathematical concepts" (Mathematics Teaching, núm. 20, otoño, 1962); "Schematic and rote learning", núm. 21 (Invierno, 1962); "Sensorimotor intelligence and reflective intelligence", núm. 22 (Primavera, 1963).
Skemp, R., Understanding mathematics (Londres, 1964).
_________________________
Tomado de Dienes, Z. P. (1970). La construcción de las matemáticas. Barcelona: Vicens-Vives.
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