Alicia en el Jardín de los Infinitos. Alfredo Raúl Palacios

Peces y escamas (1959), xilografía de M. C. Escher

a José Esteban y Alejandro Ondarçuhu

Un sorbo de té caliente templó su garganta y con firme voz Alicia Liddell comenzó la lectura del amarillento manuscrito.

"Era una mansa y lenta tarde de verano. Entré a la Biblioteca Nacional; a mano derecha del vestíbulo una escalera curva me invitó a descender, en el sótano estaban los periódicos y los mapas. Aproveché un descuido de los empleados para tomar, de uno de los húmedos anaqueles, un extraño libro. Era un volumen, en octavo, encuadernado en tela. Sin duda había pasado por muchas manos. Lo examiné. En el lomo decía Holy Writ y abajo Bombay. Lo abrí al azar y entre las páginas 55 y la siguiente numerada 1073, encontré un curioso mapa que, según referencia expresa, correspondía al Jardín de los Infinitos. Sorprendido traté de analizar la extraña forma registrada por el plano, gastado y de pobre tipografía. Mi atención fue fácil presa de aquel inusual contorno. ¡Era un limes perimetral tan geométricamente bello! Cerré el volumen y busqué mi anotador con intenciones de calcar la forma. Inmediatamente abrí el libro. En vano busqué el mapa del Jardín de los Infinitos. No lo volví a ver.

Absorto en la difusa imagen de su frontera, bajo árboles fatigados, medité en ese mapa perdido; lo imaginé con su armónico borde en la pared secreta de una cabaña montañesa, lo imaginé borrado por tiempos o transitado por teorías, lo imaginé extravagante... Pensé en un laberinto de laberintos, en un sinuoso laberinto creciente. Me sentí por un tiempo inde terminado, perceptor abstracto de una idea..."

Aquí se interrumpe la narración ―dijo Alicia y luego de un silencio agregó― siento profundo interés por ese mapa del Jardín de los Infinitos.

―Toma un poco de vino ―dijo la Liebre de Marzo en tono conciliador.

Alicia miró por toda la mesa, pero no había mas que té.

―Yo no veo vino ―comentó.

―No lo hay ―dijo la Liebre de Marzo.

―Entonces, no es muy cortés de tu parte ofrecérmelo ―dijo Alicia con enfado.

―Tampoco lo es por la tuya sentarte y proponernos mirar un bello mapa ¡sin tener el mapa!

―Yo sé quienes son los que pueden mostrarnos ese mapa ―dijo el Sombrerero, que miraba a Alicia con mucha curiosidad.

―¿Quieres decir que piensas que conoces a quienes nos pueden mostrar el mapa? ―dijo la Liebre de Marzo.

―Exactamente dijo el Sombrerero.

―Entonces debes decir lo que piensas ―prosiguió la Liebre de Marzo.

―Lo hago ―replicó el sombrerero apresuradamente―; al menos... al menos pienso lo que digo... que es lo mismo.

―¡Ni mucho menos! -dijo el Lirón―, que pareció hablar en sueños.

―¡Es como si dijeses que "respiro cuando duermo" es lo mismo que "duermo cuando respiro"!

―¡Es como si dijeses añadió la Liebre de Marzo, que "me gusta lo que tengo" es lo mismo que "tengo lo que me gusta"!

Aquí cesó la conversación y el grupo se quedó en silencio durante unos minutos.

Luego Alicia le preguntó al Sombrerero: ¿Quiénes son los que crees que pueden mostrarnos el mapа?

―Dos entrañables amigos que tienen mucha Matemática e Imaginación ―contestó el Sombrerero.

―¿Y cómo se llaman? ―preguntó la Liebre de Marzo.

―Edward lo llama a James, Newman, y James lo llama a Edward, Kasner ―respondió el Sombrerero.

―¿Edward y James? ―repreguntó la Liebre.

―Sí, sí... Kasner y Newman ―ratificó el Sombrerero. Y agregó 

―Y allí están bajo el frondoso árbol charlando con el Gato de Cheshire.

El grupo fue en busca de los dos amigos y ambos, gentilmente, les enseñaron a construir el buscado mapa del Jardín de los Infinitos.

―Así es la historia ―dijo Kasner. Se comienza con un triángulo equilátero de lado igual a la unidad. Este triángulo es la curva C₁ (fig. 1).

Fig. 1 Curva C₁

―Divídase ahora cada uno de sus lados en tres partes iguales ―dijo Newman― y en cada tercio medio constrúyase un triángulo equilátero dirigido hacia afuera. Bórrense las partes comunes a los triángulos nuevos y viejos. Esta simple curva poligonal, se llama C₂ (fig. 2).

Fig. 2 Curva C₂

Así hemos logrado la segunda etapa de la construcción del borde o frontera del mapa del Jardín de los Infinitos.

―Le toca el turno al tercer paso ―dijo Kasner. Dividimos en tres partes iguales cada lado de C₂  y nuevamente, en cada tercio medio, construimos un triángulo equilátero dirigido hacia afuera. Borrando la parte de las curvas comunes a las figuras nuevas y viejas, logramos completar el tercer paso. Esta curva simple se llama C₃ (Fig. 3).

Fig. 3 Curva C₃

La tercera etapa

―¡Esto se pone lindo! ―exclamó el Sombrerero.

―¿Se animan a continuar solos? ―preguntó Newman.

―¿Hasta cuando? ―dijo la Liebre de Marzo.

―Tanto como deseen respondió Kasner.

Alicia sintió que su pensamiento transitaba por un laberinto matemágico. En profundo silencio vio aparecer ante sus ojos, ―como resultados de un procedimiento análogo iterado, las curvas  C₄, C₅  у C₆

Fig. 4 Curva C₄

La cuarta etapa

Fig 5 Curva C₅

La quinta etapa

Fig 6 Curva C₆

La sexta etapa

―¡Sí, sí,!... ¡Está apareciendo la forma! ―exclamó Alicia comenzando a salir de su asombro.

―¡Parece un copo de nieve! ―dijo el Sombrerero.

―¿Y ya está terminado el mapa? ―preguntó la Liebre de Marzo.

―Si así lo deseas, ... sí ―contestó Newman―; pero si no lo deseas, ... no.

―Es buena respuesta ―murmuró el Gato de Cheshire mirando desde la rama del árbol en la que estaba sentado.

―En realidad... ―pensó en voz alta Kasner, el mapa del Jardín de los Infinitos estará completo si repetimos el mismo procedimiento hasta ahora utilizado, indefinidamente y obtenemos así la curva límite.

¿Indefinidamente? ―preguntó desconsolado el Lirón. ¡Eso es mucho!

―Cada nueva etapa nos acercará más a la curva límite ―continuó diciendo Kasner― y la curva límite de esta sucesión de curvas (C_1,  C_2,  C₃...) es algo verdaderamente notable.

―¿Por qué dice Ud. "notable"? ―inquirió Alicia.

―Mi querida Alicia ―contestó Newman―; sencillamente notable porque: su longitud es infinita, pero la superficie que limita es finita!

El silencio de Alicia se escuchaba por todo el jardín y podía leerse el asombro en los rostros de sus compañeros de búsqueda.

―De acuerdo se escuchó decir al Gato de Cheshire.

―¡Es increíble! ―fue el decir del Sombrerero―. Estamos ante un hecho sorprendente: una curva de longitud infinita que puede dibujarse en una pequeña hoja de papel.

―Sin embargo... ―completó la Liebre de Marzo― ¿dice Ud. que su perímetro es infinito?

―Así es ―afirmó Newman―. En cada etapa de la construcción el perímetro aumenta. Veámoslo. Comenzamos suponiendo que cada lado del triángulo equilátero tiene una unidad de longitud. Entonces, el perímetro de C₁, es 3 unidades. Luego, para construir C₂ añadimos 6 segmentos, siendo cada uno de ellos de longitud 1/3, y restamos al borrarlas 3 líneas, siendo cada una de ellas de longitud 1/3. Es decir, que en definitiva añadimos una unidad de longitud al perímetro anterior. Por tanto, la longitud de la curva C₂ es 3 + 1. ¿Vamos bien? ―preguntó Newman.

―De acuerdo ―afirmó el Gato de Cheshire.

―Bien, entonces continuamos―dijo Newman―. Para construir C₃ añadimos 24 segmentos, siendo cada uno de ellos de longitud 1/9, y restamos al borrarlas 12 líneas, siendo cada una de ellas también de longitud 1/9. En definitiva el perímetro de la curva C₃ será igual a la suma de 3 + 1 + (4/3)

Por el mismo procedimiento, y cambiando lo que hay que cambiar, se obtiene la longitud de C₄, que es igual a la suma de  3 + 1 + (4/3) + (4/3)².

Continuando así estamos en condiciones de afirmar que el perímetro de la curva límite estará dado por la suma de la serie  3 + 1 + (4/3) + (4/3)² + (4/3)³ + (4/3)⁴ + …

Los términos de esta serie aumentan en magnitud y la suma se puede hacer "tan grande como se quiera" sin más que tomar un número "suficientemente grande" de términos. Por consiguiente, la longitud de la curva límite es infinita.

¡Una curva de longitud infinita que encierra una superficie finita!...

¡Esta es una idea muy grande! ―exclamó Alicia.

¡Es una ideota! ―proclamó el Sombrerero.

¡Es una re-idea! ―gritó la Liebre de Marzo.

¡Es un sueño! ―postuló el Lirón.

―De acuerdo ―dijo el Gato; y esta vez se desvaneció muy despacio, empezando por el extremo de la cola y terminando por la sonrisa, que permaneció un rato después de que el resto hubiese desaparecido.

―Bueno! He visto muchas veces a un Gato sin sonrisa ―pensó Alicia― pero ¡una sonrisa sin Gato! ¡Es otra cosa rara que me ha ocurrido en mi vida!

Bebiendo su té, en un extremo de la larga mesa, el bueno del maestro Bertrand Russell murmuró en voz baja para ser bien escuchado por todos: "abstracciones que pertenecen a otro reino, alejado de las pasiones humanas, alejadas incluso de la despreciable realidad de la Naturaleza... Un cosmos, donde el pensamiento puro puede habitar como en su hogar natural, y donde uno de nuestros más nobles impulsos puede, al menos, escapar del exilio monótono del mundo real."

Alicia lo besó en la mejilla y partió con la idea que, finalmente, era el buscado mapa del Jardín de los Infinitos.

El Sombrerero recitaba en el Jardín los versitos apócrifos de Benoît Mandelbrot:

Por reglas de un arte 

muchos mapas hay 

de borde infinito 

¡Por fractalidad!

La tarde del tiempo caía lentamente sobre el Jardín de los Infinitos.

Bibliografía

• Borges, Jorge Luis, El libro de arena, Buenos Aires, EMECÉ, 1975.
• Lewis Carroll, Alicia en el País de las Maravillas, en Alicia anotada, edición de Martín Gardner, Madrid, Akal, 1984.
• Kasner, E. y Newman, J., Matemáticas e Imaginación, Buenos Aires, Hachette, 1951.
• Ernst, Bruno, El espejo mágico de M. C. Escher, Alemania, Taschen, 1994.

Tomado de: Palacios, A. R. y otros. (1977). La matemagia del laberinto.  (Hacia la integración del saber). Buenos Aires: Magisterio del Río de la Plata.