¿Enseñanza de la matemática moderna o moderna enseñanza de la matemática?

Giuseppe Peano, uno de los lógicos y matemáticos cuyos
 trabajos pueden situarse en la base de la nueva matemática.

Un nuevo lenguaje

La nueva matemática como noticia de actualidad

"Un campesino ruso llegó a Moscú por primera vez, y se fue a ver lo más interesante de la ciudad. Fue al zoo y vio las jirafas: «Mirad, dijo, lo que han hecho los bolcheviques con nuestros caballos.» Esto es lo que han hecho las matemáticas modernas a la simple geometría y a la simple aritmética" (E. Kasner y J. R. Newman, Mathematics and Imagination).

La actitud de la mayoría de padres y maestros frente a la matemática moderna está en la línea de la cita anterior. Desde hace algún tiempo, cuando un padre toma al azar uno de los libros de sus hijos se siente vejado: no entiende absolutamente nada. A partir de ahora, ni siquiera es posible ayudar a los hijos a realizar los odiados deberes; se expone uno a caer en el ridículo. De este reproche tiene toda la culpa la "matemática moderna", dos palabras que acostumbran a pronunciarse con parecido temor y reverencia, entreveradas de odio, a como los estadounidenses pronuncian la palabra "impuestos". Pero intentemos concretar: ¿Qué son exactamente y qué tienen de particular las recientes matemáticas modernas?

En primer lugar, adolecen de un nombre singularmente desafortunado; las matemáticas modernas datan, en el mejor de los casos, de la introducción de la terminología simbólica por Giuseppe Peano (1858-1932) o de la sistemática introducción de los conjuntos, obra de Georg F. Cantor (1845-1918); tales novedades se remontan a los albores del 1900, o dicho de otro modo más directo, la matemática moderna lo es tanto como los dirigibles del conde Von Zeppelin. Y eso sin remontar el curso de la historia; la parte más importante del álgebra moderna tiene sus fundamentos arraigados en los escritos de Evariste Galois (1811-1832), un joven matemático que pereció en trágico duelo a los veintiún años.

Georg Cantor es el creador de la célebre teoría de
 conjuntos. Sus ideas estaban claramente muy por delante
de su tiempo y levantaron grandes controversias.

Así pues, no se trata de una matemática excesivamente moderna. Lo que sí es actual es su introducción en la enseñan za elemental. Durante muchos años se ha enseñado en las escuelas una matemática contemporánea de Newton y aun de Euclides; mientras que en los programas de la biología, de la física o de la química se iban introduciendo los grandes descubrimientos del siglo, en tanto que la teoría de la evolución, la estructura del átomo o de los polímeros se introducían en el bagaje de conocimientos del hombre medio, los profesores de matemáticas, anclados en el pasado y utilizando un lenguaje científico inapropiado, seguían enseñando exactamente lo mismo y de la misma manera que lo que Euclides enseñaba a sus discípulos. Y eso no sería tan grave si, por lo menos, la enseñanza impartida fuera correcta; pero es que, además, incurría con bastante frecuencia en errores e imprecisiones.

No obstante, en los centros de estudios superiores, la matemática moderna había adquirido hacía ya mucho tiempo carta de naturaleza: difícilmente un catedrático de universidad, un matemático profesional al tanto del decurso de su ciencia, podía haber explicado otra cosa que matemática moderna. Pero, mientras que las universidades impartían una enseñanza actual, los programas de las escuelas primarias y secundarias permanecían anquilosados. El shock que el estudiante experimentaba al ingresar en un centro superior era considerable. Venía a ser algo así como pasar de leer la Relation de Jean de Mandeville, donde se especula sobre el origen de los corderos a partir de las flores de algodón, a leer Del origen de las especies, de Charles Darwin. Esto ya no ocurre hoy día, lo cual no es pequeño beneficio. Sin embargo, se presentan nuevos problemas que parecen tan graves como los anteriores.

Pro y contra de enseñar la nueva matemática

La nueva matemática es, en principio, la misma matemática de siempre con algunas importantes adquisiciones nuevas: lenguaje en el que está escrita, el método con el que trabaja y las estructuras abstractas entre las cuales se mueve. Por lo demás, un buen matemático de hace cien años seguiría siéndolo hoy; lo único que necesitaría es una buena preparación previa para entender el lenguaje, practicar el método y comprender las estructuras abstractas. Si recibiera esta preparación, nada le impediría trabajar con la nueva matemática como trabajó con la suya propia.

Esta es poco más o menos la situación actual de la enseñanza de las matemáticas. A todos los niveles se producen quejas, a menudo justificadas, acerca de los discutibles resultados que está alcanzando la nueva matemática con los alumnos a los que se le enseña; objetivamente, puede decirse que en gran parte de los casos los muchachos calculan mucho peor y más lentamente que antes, asimilan un contenido menor de conocimientos y se retrasan los programas. Nos encontramos con la paradójica situación de que el maestro explica abstracciones como "f(x) = sen x no es inyectiva" y los alumnos, mientras tanto, efectúan insensatos cálculos, bien concretos, como     

Se ha escrito mucho denunciando estos hechos, pero raramente proponiendo soluciones. La nueva matemática tiene ahora una fama dudosa y se la critica desde muy variados frentes acusándola de exceso de abstracción, de falta de utilidad, de capricho pedagógico, de error filosófico, de insania psicológica, y de muchas cosas que sería prolijo enumerar. Además, plantea problemas sociológicos nada despreciables, como el derivado de la animadversión casi unánime de aquellos que no la dominan, pero se ven obligados a enseñarla. Los "viejos" profesores de matemáticas hicieron frente a la recién llegada como a una imposición desagradable y molesta que les obligaba a abandonar su habitual método de trabajo y cambiarlo por otro totalmente nuevo e incómodo y que apenas conocían. El resultado del ataque a sus esquemas mentales "matemáticos" no fue precisamente una actitud de simpatía hacia lo nuevo.

Las innovaciones científicas y técnicas no han sido siempre bien acogidas, y han dado origen a situaciones tales como la de los clérigos que tronaban contra el pararrayos o la de los miembros de la Liga de la Pureza que pretendían prohibir los rayos X. Pero en el caso de la matemática la situación es más grave; al fin y al cabo, si alguien prefería no interferirse en los supuestos designios de la voluntad divina, le bastaba con no instalar un pararrayos en su casa; pero al veterano profesor de matemáticas no le quedaba el recurso de negarse a enseñarlas, puesto que de ello dependía su sustento. La situación empeoró más tarde con la intervención de otros estamentos; por ejemplo, ciertos insignes físicos y hombres de ciencia manifestaron muy claramente que no veían la necesidad de cambiar de matemáticas; incluso podía ganarse un premio Nobel ignorando la nueva. Ello es evidentemente cierto, como cierto es el que puede obtenerse un premio Nobel postulando que la teoría de la relatividad, obra del judío Einstein es indigna de ser aceptada por la "física aria" (caso del premio Nobel Philipp Lénard). Pero el que pueda obtenerse un Nobel ignorando un determinado cuerpo de doctrinas no es razón suficiente para negar la utilidad de éstas. En realidad, la polémica está mal enfocada; no parece que deba ser siquiera objeto de discusión la pertinencia de enseñar nueva matemática. Esto es un hecho incontrovertible y obedece a la pura dinámica innovadora y siempre cambiante de la ciencia misma. En el mundo quedan todavía enemigos irreconciliables de Darwin, partidarios feroces de que la Tierra es plana..., sin embargo, su porvenir es oscuro y nadie se preocupa excesivamente por su existencia. No se trata, pues, de discutir ahora si es lícito o no enseñar la matemática del siglo XX en el curso del propio siglo XX. Lo que se cuestiona es el modo de enseñar esta matemática. 

Algunos jóvenes recién salidos de la universidad o de las escuelas superiores emprenden la enseñanza de la matemática con un ejemplar, pero algo peligroso, espíritu de cruzada. Su principal empeño parece ser el conseguir explicar a los niños lo mismo que la universidad les ha enseñado a ellos, lo cual es manifiesta mente erróneo, puesto que la mente del niño no funciona del mismo modo. La reacción general de los profesores no vicios a este tipo de crítica acostumbra ser muy negativa, pues para ellos la palabra pedagogía no significa gran cosa. Están convencidos de saberlo todo, y ese todo, mejor que nadie. El espíritu de cruzada les lleva también a olvidar —olvido común a más de un matemático profesional— que la matemática es algo más que una torre de marfil aislada del mundo exterior: aunque es cierto que la matemática es algo abstracto por naturaleza, su vinculación al mundo real es directísima e inmediata. Es absurdo, por ejemplo, saber que los números racionales forman un cuerpo conmutativo e ignorar paralelamente cómo dividir un capital entre varios socios. La matemática la física, la matemática y la economía, la matemática y las ciencias sociales no son tan independientes una de otra como algunos pretenden.

Por otra parte, numerosos maestros y profesores obligados a enseñar una nueva matemática en cuyos métodos no han sido educados, agravan el problema, pues al no conocer su oficio con la suficiente profundidad, la enseñanza que imparten es defectuosa.

Si, como parece, el principal problema de la nueva matemática es el inadecuado funcionamiento de los canales de transmisión que van del profesor al alumno, la solución será sólo mejorarlos; pero optar como solución por la supresión pura y simple de la nueva matemática no es una postura defendible. Ello equivale a condenar un cuerpo de creencias simplemente porque algún acólito no las practique o las practique mal.

Tomado de: La nueva matemática . Barcelona: Salvat Editores.1973.

Lecturas recomendadas: 

• Leyendo a Dienes de la mano de Nicole Picard
• Ideas sobre metodología didáctica para la enseñanza de la matemática
• Acerca de la actividad matemática