Juego de abalorios: Quinto relato

NOTA BENE

Para comprender por qué decimos que cualquiera de estos catorce relatos matemáticos que estamos publicando es un juego de abalorios, es condición necesaria leer la introducción inicial que figura en el siguiente enlace:

👉Catorce relatos matemáticos: Un juego de abalorios

De la imposibilidad de dividir por 0

El padre de Mariela es ingeniero aeronáutico y sabe bastante de Matemática. Una tarde, Mariela intentaba resolver un problema que le habían dado en el colegio. Su papá leía el diario muy concentrado.

—Papá, ¿por qué no se puede dividir por 0? —le preguntó Mariela.

—¡La división por 0 no está definida en Matemática!—contestó el papá casi automáticamente—. ¿Dónde está la segunda sección del diario?

Pero Mariela no se daba por vencida:

—Pero, si es como vos decís, ¿por qué no sale alguien y la define de una vez por todas?

—Porque no, Mariela. ¿ Qué preguntas son esas?

—Vos me dijiste una vez que en Matemática no existe la respuesta porque no.

—Está bien, una vez más ganás vos —cedió el papá, mientras dejaba el diario y se acercaba a la mesa donde Mariela estaba haciendo los deberes—. Vamos a analizar bien el asunto. Fijáte: Todo número racional q, siempre que no sea 0, t iene lo que se llama su inverso multiplicativo r, que es otro número racional que cumple

qr = 1

— ¿Está bien? —preguntó el papá, que había escrito todas las fórmulas en una hoja de la carpeta de Mariela.

—Sí, pero no logro entender qué tiene que ver esto con la famosa división por 0.

—Tiene bastante que ver, y ahora te explico por qué. Fijáte que el 0 es el único número racional que no tiene inverso multiplicativo.

Y tampoco se le puede inventar o asignar uno. Y esto es muy interesante. Dividir por 0 significa tomar un número racional p y tratar de ver si tiene algún sentido la expresión

que está prohibidísima en Matemática.

—Eso ya lo sé —lo interrumpió Mariela— . Cuando ingreso 1 dividido por 0 en la calculadora, aparece un mensaje de ERROR (E). No me basta con eso. Yo quiero saber exactamente porqué no se puede dividir por 0.

—Ahora, vamos al nudo del problema —continuó el papá, que tenía mucha paciencia y, además, disfrutaba con las preguntas inteligentes de su hija—.

Tomemos el 0. Sabemos que a cualquier número racional q, el 0 lo "mata" a través de la multiplicación. Es decir,

0 • q = 0

Esto es lo que sucede en las tablas de multiplicar:

Supongamos, entonces, que se pueda definir de alguna manera la división de un número racional q por 0, tratando que la expresión

tenga sentido. Siguiendo las leyes que rigen la Matemática, debería ser cierta la siguiente igualdad:

Ahora bien, ya sabemos que el 0 "mata" a través de la multiplicación a cualquier número racional. Luego, deberá ser:

Mirando con atención las dos últimas igualdades, observamos que resulta:

1 = 0

lo cual es imposible. Es decir, es claramente falso que 1 = 0. Por eso, la división por 0 no se define en Matemática. Cualquier intento por definirla o encararla conduce a contradicciones o a falsedades como esta a la que llegamos. Otra forma de decirlo es esta: no se puede definir la división por 0 sin violar las leyes básicas de la Matemática.

Y una de esas leyes dice, precisamente, que 1 y 0 son números racionales distintos. Para abreviar, las calculadoras dan un mensaje de error cuando alguien, por equivocación, o por no advertirlo, divide por 0. ¿Te quedó más claro,ahora?

— Sí, papá, está bastante claro, pero tengo que repasar los pasos despacio para ver si lo entendí del todo. ¿Ves? ¡Esta sí, es una explicación !

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Tomado de: Miró, R (1999) Catorce Relatos Matemáticos. Obra realizada por el equipo de Ángel Estrada y Cia. bajo la dirección de la Lic. Silvia Jauregui . Buenos Aires, Argentina.