Pitágoras y sus números figurados

Pitágoras (1926) - J. Augustus Knapp.

PITÁGORAS de SAMOS y sus redonditos de sumota.

(Actúan para números naturales solamente) 

por Alfredo Raúl Palacios.

Podemos observar que para representar números gráficamente no es obligatorio utilizar las cifras con las que usualmente lo hacemos. Con un agrupamiento de signos iguales entre ellos, y tantos como sean las unidades del número en cuestión, podemos satisfacer esa necesidad.

Por ejemplo, en los dados los números están representados mediante puntos.

Y, en los naipes, mediante unidades figurativas (bastos, copas, espadas, oros).

Los arduos alumnos de Pitágoras -en el siglo VI antes de Cristo- construyeron una interesante representación de los números utilizando puntos y desarrollaron una aritmética geométrica o aritmo-geométrica, al estudiar lo numérico sobre la base de los conocimientos que poseían.

Aplicaron un principio humano fundamental:

 RESOLVER LO DESCONOCIDO A PARTIR DE LO CONOCIDO.

Desde su geometría fueron hacia lo aritmético. Y así apareció un nuevo modelo: los números figurados de los pitagóricos.

Representemos números a lo Pitágoras:

Es decir que existen números que admiten ser representados formando un rectángulo. A estos números los llamaron números rectangulares.

►Ejercicio: Estudia a cada uno de los siguientes números y determina cuáles de ellos son números      rectangulares. Represéntalos.

1          6          11

2          7          12

3          8          14

4          9          21

5         10          30

El rectángulo que se puede formar para representar al número ocho, tiene dos filas de cuatro puntos cada una. Observa que 2 x 4 = 8.

Si analizamos los otros números rectangulares vemos que

cada número rectangular es igual al producto

 de dos números más pequeños y distintos de 1

Pero hay números que no admiten una disposición rectangular. Por ejemplo, cinco.

Sin embargo, fue Diofanto de Alejandría quien hizo y presentó, en el siglo III, el estudio más acabado sobre los números poligonales. Comienza diciendo que los números naturales, a partir del 3, son números poligonales, y cada número indica la especie.

En la representación gráfica presenta tantos ángulos como unidades:

Observamos: todos tienen de lado el número dos.

El lado de un número poligonal es el número de puntos 

que tiene por cada "lado" en su prepresentación gráfica.

Una consideración especial merece el número uno. El 1 es el principio de los números; se le da el carácter de número poligonal potencial, no actual. En este sentido, los pitagóricos consideraron que, potencialmente, el 1 tomaba la forma de cualquier polígono.

NÚMEROS TRIANGULARES

Algunos números poligonales, admiten, también, una representación triangular.

Para encontrar los números triangulares, se pueden formar filas, unas debajo de otras, con la condición siguiente: 

y así siguiendo. Van apareciendo entonces, sucesivamente, los números triangulares. Como acabas de ver, los primeros cuatro números triangulares son el 1, el 3, el 6 y el 10.

 Observa que pueden construirse los "triángulos" de manera que sean equiláteros.

►Ejercicio: ¿Cuál es el séptimo número triangular? Constrúyelo.

Terminada la "construcción" del séptimo número triangular y luego de contar uno por uno sus puntos, has encontrado que esa representación corresponde al número 28.

⚫ Avancemos en el análisis "geométrico" de las representaciones numéricas. 

¿Podemos construir números triangulares donde los puntos se dispongan en forma de triángulo rectángulo? Sí.

(Recordemos que lado es el número de puntos que hay en cada "lado gráfico" de la figura).

Ahora bien, tomemos dos triángulos de lado 4 y formemos, con ellos, un rectángulo:

Vemos que tiene 4 filas de 5 puntos cada una; por tanto, representa 

el número rectangular 4 x 5, o sea 20, cuya mitad es 10.

👉IMPORTANTE: Observamos que el número de puntos 

de cada fila (5) es "UNO MÁS" que el número (4).

►Ejercicio: Con dos triángulos rectángulos de lado 7, construye -punto por punto- el respectivo rectángulo, completando la figura.

Observa que el rectángulo que has construido representa a un número

 rectangular. ¿Cuál es ese número?

Vemos que un lado del rectángulo es 7 y que el otro es 8. Es decir que el rectángulo tiene 7 filas de 8 puntos cada una; por tanto representa al número 7 x 8 = 56

Como en el caso anterior (el rectángulo de 4 x 5) , los dos números triangulares utilizados para formar el rectángulo son iguales. Por lo tanto, 56/2 = 28 es el número representado por cada triángulo rectángulo de lado 7.

Observamos, una vez más, que el número de puntos de cada

fila (8) es "uno más" que el número de filas (7).

Lo realizado hasta ahora nos permite suponer que, para encontrar un número triangular, por ejemplo el octavo, podemos hacer así:

 multiplicamos el número de filas, que es 8, por ese mismo 

 número aumentado en uno, o sea 9; al resultado lo dividimos por 2.

 ¿Es realmente 36 el octavo triangular? Compruébalo gráficamente.

 Se verifica, efectivamente, que cada número triangular, de

 lado n, representa el número que se obtiene como resultado 

 del siguiente cálculo:

👉 Los números figurados son una excelente propuesta constructiva para iniciar a nuestros alumnos en la obtención de fórmulas que sean, vivamente, la forma simbólica de una idea comprendida.

Tomado de: Elementos de la Matemática.Vol. IX Nro.36; Junio 1995. 

Publicación Didáctico Científica publicada por la Universidad CAECE. Buenos Aires.