Juego de abalorios: Octavo relato

NOTA BENE

Para comprender por qué decimos que cualquiera de estos catorce relatos matemáticos que estamos publicando es un juego de abalorios, es condición necesaria leer la introducción inicial que figura en el siguiente enlace:

👉Catorce relatos matemáticos: Un juego de abalorios

De la altura de las pirámides

En la página anterior se comentó que Tales era admirado por muchos de sus contemporáneos, por su sabiduría y por la gran prudencia con la que formulaba sus observaciones.

En su momento, la fama de este antiguo maestro recorrió toda la costa del mar Mediterráneo, y se cuenta que una vez el mismísimo faraón de Egipto (un joven muy interesado en las ciencias) lo invitó a pasar una temporada en su palacio, para que le diera algunas clases particulares.

Tales aceptó la invitación y pasó todo un verano con el faraón hablándole de Matemática, de Geografía, de Historia y de Astronomía.

Una mañana muy temprano, mientras paseaban por las cercanías del palacio, Tales y su alumno pasaron por la famosa e inmensa pirámide de Keops.

― Maestro, ¿ cómo se puede averiguar la altura de esa pirámide? ―preguntó el faraón.

Tales se detuvo por un instante y miró el horizonte. Luego de meditar cuidadosamente su respuesta, contestó:

―Majestad, puedo responder de dos maneras. La primera es inmediata, pero requiere de ciertos razonamientos y de algún pequeño cálculo. La segunda no requiere de cálculo alguno. Debo pedirte, entonces, que me digas de cuál de las dos maneras deseas que te responda.

El faraón respondió:

―Si a través de la segunda manera no se requieren cálculos de ninguna clase, pareciera que no hay

mucho que pensar, por más que tu compañía me obliga a realizarlo a cada instante. Elijo esta última, la

segunda manera. ¿ Cómo puedo averiguar, entonces, la altura de la pirámide?

― Majestad ―dijo Tales, pacientemente― , lamento decirte que la manera que has elegido, si bien no

requiere cálculo alguno, sí exige tiempo y algunas operaciones complementarias. No podré responderte por ahora. Necesito dibujar un círculo sobre la arena.

Y acto seguido, Tales buscó una varilla, dibujó un círculo cuyo radio era igual a la longitud de la varilla y la ubicó en el centro del círculo.

―¿Falta mucho, Tales? ―interrumpió el faraón.

―Un par de horas. Sugiero que instalemos aquí una pequeña tienda durante ese tiempo.

Así se hizo. Al cabo de dos horas, el Sol había subido desde el horizonte y la sombra que proyectaba la varilla comenzaba a tocar el borde del círculo; en ese momento, la varilla proyectaba una sombra igual a su altura.

En ese instante, Tales dijo:

―Majestad, tus ayudantes pueden medir ahora la sombra de la pirámide. Esa medida coincide con la altura cuyo valor te inquietaba.

Para dar su respuesta sin cálculos, Tales tuvo que esperar el momento del día en el cual los objetos proyectan una sombra igual a su altura. Por lo tanto, los ayudantes del faraón, al medir la sombra de la pirámide, pudieron determinar exitosamente su altura.

Tales usó un círculo para precaverse: cubría todas las direcciones posibles que pudiera tomar la sombra de la varilla. Lo único importante, entonces, era el instante en que la sombra tocara la circunferencia, para luego ordenar la medida de la sombra de la pirámide.

La historia termina aquí, pero es fácil deducir cuál era la otra manera que Tales tenía para responder de inmediato a la inquietud de su anfitrión . Si H_v es la altura de la varilla; S_v, su sombra, y Sp, la sombra de la pirámide, se verifica la siguiente relación:

donde x es la altura de la pirámide, que se puede despejar del siguiente modo:

Así, un dato inaccesible o muy difícil de obtener, se consigue a partir de tres mediciones fácilmente realizables sobre el terreno.

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Tomado de: Miró, R (1999) Catorce Relatos Matemáticos. Obra realizada por el equipo de Ángel Estrada y Cia. bajo la dirección de la Lic. Silvia Jauregui . Buenos Aires, Argentina.