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(...) Examinemos ahora las investigaciones de Bruner uno de sus descubrimientos, aplicable al estudio de las matemáticas, es la dificultad de los conceptos disyuntivos. Debemos recordar aquí que el trabajo de Bruner está basado, casi por entero, en la disección lógica de la situación, y que una disyunción lógica, despojada enteramente de su contexto matemático, es mucho más difícil que la misma operación imaginada como parte de una estructura que se intenta construir. Por ejemplo, pasar del enunciado
(x - 2) . (x - 1) = 0
o bien x - 2 = 0
o bien x - 1 = 0
es auténticamente difícil fuera del contexto matemático.
Haremos ver que hay una manera constructiva de llegar a esta conclusión, que la hace mucho más fácil y accesible a los niños. Puesto que el estudio de las matemáticas es principalmente una continua construcción de predicados, sólo después seguida de un examen crítico, es decir, lógico, de lo que ya se ha hecho, no es de esperar que estudios del tipo de los de Bruner hagan luz más que en pequeñas parcelas de la estructura. La construcción de partes extensas de la estructura no es una operación lógica, y por tanto no puede examinarse al estilo analítico de Bruner. Bartlett nos parece más acertado cuando da a entender que el pensamiento es capaz, de vez en cuando, de romper los sistemas lógicos herméticamente cerrados en que algunos quieren confinarlo. La reflexión lógica formal está circunscrita, y la formación del concepto según el modelo de Bruner es de las que permanecen dentro de límites cuidadosamente fijados y determinados. Esto no significa, en modo alguno, que tales estudios sean inútiles; pero parecen insuficientes para dar a conocer el modo de operar de otros modos de pensamiento matemático más constructivos. Podríamos plantearnos el interrogante de qué es lo que ocurriría en caso que la frontera que limita este pensamiento de tipo cerrado se extendiera más y más. Supongamos, por ejemplo, que aumentamos sin cesar el número de variables, así como el número de valores que cada variable puede tomar; ¿qué le ocurriría a las estrategias empleadas? ¿Y qué sucede si la amplitud del análisis necesario para inventariar una situación desde un punto de vista lógico rebasa la aptitud del sujeto para considerar simultáneamente todas las posibilidades que se le ofrecen? En tal caso, o bien abandona su intento o bien lo repite, pero de modo distinto; si insiste, es muy posible que se produzca algo parecido al "pensamiento aventurero" de Bartlett. En este modo de pensar, lo importante es que el sujeto mantenga ante él lo que Bartlett llama un "modelo" al que tender. Un artista vive conforme a su propio modelo, a su ideal, o deja de ser tal artista. Este no podría, en modo alguno, analizar sus problemas lógicamente, porque el número de posibilidades es demasiado grande y por eso no ha de extrañar que recurra a un proceso mental muy distinto. Cuando un artista ha conseguido pintar un cuadro que responde a su ideal, quizá no esté demasiado lejos del matemático que ha formado un nuevo predicado.
Si es así, resulta necesario que las investigaciones que intenten aclarar lo que es la reflexión matemática sean capaces de captar el proceso constructivo durante el desarrollo de éste. El problema consiste en organizar situaciones matemáticas tipos, en las que pueda insertarse este estilo de pensamiento. Así lo ha hecho el autor, en una serie de experiencias que han abierto el camino a un nuevo método de investigación sobre los modos como operan los procesos matemáticos. Algunos de los ejercicios estaban deliberadamente sobrecargados desde el punto de vista constructivo, es decir, que se necesitaba acumular un predicado tras otro; mientras que eran muy simples desde el punto de vista lógico, exigiendo muy poco análisis. Por el contrario, había otros ejercicios que estaban concebidos con una compleja estructura lógica, pero necesitaban, en cambio, muy poca construcción. Observando detenidamente la eficacia con la que sujetos distintos hacían frente a estas situaciones, se esperaba obtener buena información sobre el funcionamiento de los distintos tipos de pensamiento.
Se pudo observar algo, que posteriormente ha sido confirmado con amplitud, al estudiar el modo como los niños en edad escolar abordan sus trabajos matemáticos: que la extensión de lo que una persona es capaz de hacer, o por lo menos de lo que está dispuesta a realizar, por el camino de la reflexión analítica (lógica), varía de unas a otras. También resultó sumamente claro que mucho antes de poder abordar una reflexión analítica, aparece en los niños lo que llamamos reflexión constructiva. Cuando se intente crear situaciones matemáticas con un material cualquiera, habrá que tener en cuenta, por lo tanto, que si bien no siempre los niños pueden formar juicios lógicos, pueden en cambio construir conceptos matemáticos mucho antes de lo que se creía hasta ahora. La exploración lógica de lo que han construido es posterior a la construcción misma y puede tardar incluso años en aparecer.
Entremos ahora un poco en el detalle del contenido del aprendizaje matemático. Ya sabemos que, antes de alcanzar por completo la aptitud necesaria para utilizar un predicado o concepto matemático, hay que recorrer las tres etapas citadas anteriormente.
Ahora bien, ofreciendo a los niños experiencias adecuadas, ¿cómo podríamos acelerar el desarrollo de los conceptos? Usualmente, un concepto matemático contiene cierto número de parámetros, y lo que constituye el concepto es la constancia de las conexiones existentes entre tales parámetros, aunque éstos, por sí mismos, varíen.4 Si se quiere proporcionar el mayor número posible de experiencias, estructuradas además de modo que faciliten el desarrollo del concepto, parece deseable a priori que varíen todos los parámetros posibles, siempre y cuando dejen el concepto intacto. Por ejemplo, con el concepto de paralelogramo, se puede cambiar la forma haciendo variar los ángulos y la longitud de los lados opuestos; se puede cambiar la posición a voluntad, con tal que los lados opuestos permanezcan paralelos. Resulta evidente que un conjunto de paralelogramos isométricos, colocados en la misma posición, no forman un conjunto de experiencias apropiado al desarrollo del concepto. Digamos, como resumen, que si queremos disponer de las condiciones de experiencia óptimas para desarrollar el concepto de que se trate, habrá que variar el mayor número posible de parámetros.
Examinemos ahora el problema de cómo elegir la estructura que ha de formar el contenido conceptual real del trabajo. Los resultados que se han obtenido en las experiencias realizadas hasta hoy inducen a pensar que se debe proponer el mínimo de complejidad lógica posible. Si se trata de elegir entre un trabajo manifiestamente constructivo y otro más cargado del lado analítico, es casi seguro que el primero resultará más apropiado, sobre todo para los niños de los primeros grados. La apreciación analítica, el examen crítico de una situación, son modos de pensamiento que exigen un grado de madurez que raramente se consigue antes de los 12 años. Es después de esta edad cuando los niños comienzan a interesarse por las cuestiones que implican alguna demostración, y es entonces cuando se les puede introducir en ellas progresivamente, cuidando de que siempre este presente la construcción
matemática y de que haya siempre algo que analizar.
Ventilada ya la cuestión de la estructura, ¿cómo hemos de actuar para tener en cuenta todas las diferencias individuales que pueden presentarse en el modo de abordar la formación de un mismo concepto? Como ya he dicho antes, en el estado actual de nuestros conocimientos -o, más bien, de nuestra falta de conocimientos- el único modo de conseguirlo es utilizar, por distintos medios, tantas variaciones como podamos sobre el mismo tema conceptual. Lo mejor es proponer trabajos que parezcan muy distintos, pero que, esencialmente, tengan la misma estructura conceptual. En otras palabras: variaremos la representación perceptiva, pero dejaremos invariable la estructura conceptual. Por ejemplo, se puede dibujar paralelogramos en el papel, se los puede construir en madera a partir de dos triángulos isométricos, se los puede determinar mediante clavijas que dispongamos en una tablilla agujereada, o bien descubrirlos en los dibujos del papel que recubre las paredes de la clase, etc. En los capítulos siguientes, se encontrarán muchas aplicaciones de este principio. Los niños captan lo que hay de común en estas diferentes representaciones y este algo común es lo que constituye el concepto matemático.
En resumen:
►1.° Principio dinámico. -Se propondrán a los niños juegos preliminares, juegos estructurados y juegos de práctica, que les sirvan de indispensables experiencias para que, finalmente, puedan formar conceptos matemáticos, en la medida en que cada tipo de juego es introducido en el momento oportuno.
Mientras los niños sean de poca edad, estos juegos deben ser practicados con un material concreto, pero posteriormente se introducirán gradualmente juegos mentales para tratar de que los niños se aficionen al más apasionante de todos los juegos, la investigación matemática.
► 2.° Principio de constructividad. -En la estructuración de los juegos, la construcción precederá siempre al análisis, por cuanto este último se encuentra prácticamente ausente del aprendizaje mientras el niño no tenga doce años.
►3.° Principio de variabilidad matemática. - Los conceptos que encierran mas de una variable deben ser estudiados mediante experiencias que supongan el manejo del mayor número posible de aquellas variables.
►4.° Principio de variabilidad perceptiva.* - Tanto para que puedan manifestarse las diferencias individuales en la formación de los conceptos, como para que los niños vayan adquiriendo el sentido
matemático de una abstracción, la misma estructura conceptual deberá ser presentada en tantas formas perceptivas equivalentes como podamos. (...)
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* En una obra posterior, titulada "Comprendemos la matemática", el autor da a este principio el nombre de "principio de concretización múltiple". (N. del T.)
4. Ver (12) Castelnuovo y (5) Wertheimer.
Bibliografía del final del libro
(1) Piaget, J. (y otros), L'enseignement des mathématiques (Neuchâtel y París, Delachaux & Niestlé, 1955).
(2) Piaget, J., La genèse du nombre chez l'enfant (Neuchâtel, 1941).
(3) Hadamard, J., An essay on the psychology of invention in the mathematical field (Nueva York, 1945).
(4) Waisman, F., Introduction to mathematical thinking, the formation of concepts in modern mathematics (Londres, 1951).
(5) Wertheimer, M., Productive thinking (Nueva York, 1945).
(6) Rokeach, M., A study in religious and political dogmatism (Psychological Monographs, Nueva York, 1956).
(7) Adorno, T. W. (y otros), The authoritarian personality (Nueva York, 1950).
(8) Bruner, J. S. (y otros), A study of thinking (Nueva York, 1956).
(9) Bartlett, Sir Frederick, Thinking (Londres, 1958).
(10) Dienes, Z. P., Concept formation and personality (Leicester, 1959).
(11) Dienes, Z. P., On the growth of mathematical concepts in children through experience (en Educational Research, vol. II, nº 1, noviembre 1959).
(12) Gattegno, C., Servais, W., Castelnuovo, E., Nicolet, J. L., Fletcher, T. J., Motard, L., Campedelli, L., Biguenet, A., Peskett, J. W. y Puig Adam, P., Le matériel pour l'enseignement des mathématiques (Neuchâtel y París, 1958).
(13) Stern, C., Children discover arithmetic (Londres, 1953).
(14) Gattegno, C. y Cuisenaire, G., Numbers in colour (Londres, 1954).
(15) Dienes, Z. P., Introduction to the use of the multibase arithmetic blocks (M. A. B.) y Introduction to the use of the algebraic experience material (A. E. M.). (National Foundation, 79 Wimpole Street, Londres W. I, 1959.)
Reseñas bibliográficas complementarias para los lectores de lengua francesa:
(16) Dienes, Z, P., La mathématique moderne dans l'enseignement élémentaire (París, 1964).
(17) Dienes, Z, P., Comprendre la mathématique (París, 1965).
(18) Dienes, Z. P., Les premiers pas en mathématique (en preparación).
(19) Revuz, A., Mathématiques moderne, mathématique vivante
(20) Goutard, M., Les mathématiques et les enfants (Neuchâtel y París, 1963).
(21) Dupont, E., Apprentissage mathématique, 1 (París, 1965).
(22) Revuz, A. y G., Le cours de l'A.P.M. (3 vol.) (París, 1962, 1963, 1965).
(23) Papy, G., Géométrie affine plane et nombres réels (Bruselas, 1962).
Initiation aux espaces vectoriels (Bruselas, 1963). Groupoïdes (Bruselas y Paris, 1965)
(24) Papy, G. y F., Mathématique moderne, I (Bruselas y París, 1963).
(25) Bulletin de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseigne ment public (París, 5 números por año).
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA
Bruner, J. S., The process of education (Harvard, 1960).
Churchill, Eileen, Counting and measuring in the infant school (Londres, 1961).
Dienes, Z. P., The power of mathematics (Londres, 1963).
Dienes, Z. P., An experimental study of mathematics-learning (Londres, 1963).
Dienes, Z. P. "On abstraction and generalization" (Harvard Educational Review, vol. 31, nº 3, verano, 1961).
Dienes, Z. P., "On the learning of mathematics" (The Arithmetic Teacher, marzo, 1963).
Dienes, Z. P., Mathematics in the Primary school (Melburne, 1964).
Hale, T. y McRoy, E., "UICSM's decade of experimentation" (The Mathematics Teacher, LIV, diciembre 1961).
Hendrix, Gertrude, "Learning by discovery" (The Mathematics Teacher, LIV, mayo, 1961).
Rasmussen, D. y L., "The Miquon mathematic program" (The Arithmetic Teacher, abril, 1962).
Sealey, L. y Gibbon, V., Communications and learning (Oxford, 1963).
Skemp, R., "The teaching of mathematical concepts" (Mathematics Teaching, núm. 20, otoño, 1962); "Schematic and rote learning", núm. 21 (Invierno, 1962); "Sensorimotor intelligence and reflective intelligence", núm. 22 (Primavera, 1963).
Skemp, R., Understanding mathematics (Londres, 1964).
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Tomado de Dienes, Z. P. (1970). La construcción de las matemáticas. Barcelona: Vicens-Vives.
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