Juego de abalorios: Undécimo relato

NOTA BENE

Para comprender por qué decimos que cualquiera de estos catorce relatos matemáticos que estamos publicando es un juego de abalorios, es condición necesaria leer la introducción inicial que figura en el siguiente enlace:

👉Catorce relatos matemáticos: Un juego de abalorios

De la raíz digital y la magia del número nueve

Lucas es muy aficionado a la magia. Por eso, muchos amigos lo convocan para animar sus fiestas. En esta oportunidad, Juan cumple 13 años y le pidió a Lucas que se haga cargo de un número de magia.

Llegado el momento, en medio de los aplausos, Lucas se presenta y dice:

―Señoras y señores, realizaré un acto de adivinación. Para eso, me ubicaré en el extremo opuesto de esta sala, lejos de los presentes, con un lápiz y una hoja de papel. Le pediré a Juan que se quede entre ustedes y siga mis instrucciones. Juan, quiero que pidas un billete y que observes su numeración.

Llamaremos N a ese número. Anotálo en silencio sin que yo lo vea.

Juan realiza lo pedido. Lucas continúa:

―Ahora, con los dígitos del billete armá otro número, al que llamaremos M. Observá cuál es el mayor. Al mayor, restále el menor. Anotá el resultado obtenido D, y tachá uno de sus dígitos; yo adivinaré ese dígito.

Juan sigue las instrucciones de su amigo mago, que continúa:

―Para que pueda proceder con éxito, necesito que me digas, en cualquier orden, los dígitos de D, exceptuando, por supuesto, el que tachaste.

Una vez que Juan terminó con la enumeración de los dígitos de D, y ante el asombro de todos, Lucas mencionó el dígito tachado.

Un estruendoso aplauso premió la actuación, que se repitió varias veces con distintos billetes, sin que nadie pudiera explicar tal habilidad.

Para analizar el efecto de la adivinación, recordemos algunos conceptos de Aritmética vinculados con la idea de divisibilidad:

En general, un número natural k divide a otro número natural m cuando se puede encontrar un número p, tal que m = k • p.

Esto equivale a decir que m figura como resultado en la tabla de multiplicar de k, y también que, si se divide el número natural m por el número natural k, el resto que se obtiene es 0.

Ahora bien, existen muchos criterios para saber cuándo un número k divide a otro m, sin hacer la cuenta de división. Uno de ellos es el criterio de divisibilidad por 9, para lo cual se necesita comprender el concepto de raíz digital de un número dado.

Tomemos como ejemplo el número 17.845. La raíz digital se calcula sumando sus dígitos y volviendo a sumar los dígitos del número obtenido, hasta llegar a un número de una cifra. En este caso será:

1 + 7 + 8 + 4 + 5 = 25

2 + 5 = 7

luego, se dice que la raíz digital de 17.845 es igual a 7.

Pero el criterio de divisibilidad que nos permitirá comprender este acto de adivinación dice:

Un número dado m es divisible por 9 si y solo si su raíz digital es igual a nueve.

También nos resultará útil el siguiente criterio que aceptaremos sin demostración:

Si la raíz digital del número m es igual a la raíz digital de otro número n, entonces, ambos números producen el mismo resto cuando son divididos por nueve.

Con estos conceptos, analicemos la prueba realizada por Lucas. Cuando le pide a Juan que elija un billete, aparece el número N, que tiene una raíz digital desconocida.

A continuación, Lucas le pide a su amigo que con los dígitos de N arme otro número cualquiera M. Se podrá observar, sin inconvenientes, que M tendrá la misma raíz digital de N, por estar compuesto con los mismos dígitos de N permutados en cualquier orden. Con seguridad, se sabe, entonces, que tanto M como N tienen la misma raíz digital.

Supongamos que N es mayor que M. Como ambos tienen la misma raíz digital, al dividirlos por 9 producen el mismo resto, tal como lo afirma uno de los criterios explicitados anteriormente. Luego, la diferencia M - N es divisible por 9. Haciendo ambas cuentas, se verá que se obtienen dos cocientes, q y q':

Por lo que se deduce que, restando los cálculos anteriores

M - N = 9 • (k - q); luego, 9 divide exactamente a M - N.

Finalmente, lo que dice el primer criterio explicitado es que la raíz digital de M - N es 9, dato que Lucas conoce perfectamente.

Ahora bien, cuando Juan elige un dígito x de los que conforman al número M - N, Lucas no sabe de qué dígito se trata, pero sí sabe que se verifica esto:

x + raíz digital de los demás dígitos= 9

por lo tanto, la cuenta siguiente dará como resultado el dígito elegido por Juan:

x (dígito tachado por Juan) = 9 - raíz digital de los demás dígitos.

Con lo que Lucas, con el auxilio del lápiz, y la hoja de papel, pudo determinar, sin problemas, ¡el dígito que prometió adivinar!

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Tomado de: Miró, R (1999) Catorce Relatos Matemáticos. Obra realizada por el equipo de Ángel Estrada y Cia. bajo la dirección de la Lic. Silvia Jauregui . Buenos Aires, Argentina.