Addenda

Publicado por Laboratorio Matemático Eureka

 
El razonamiento y la enseñanza en la matemática. Germán Fernández
Modelo de clasificación. A.R. Palacios
Bibliografía

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🔸El razonamiento y la enseñanza en la matemática*
GERMÁN FERNÁNDEZ


El eminente matemático George Polya, autor de numerosos trabajos de investigación, ha publicado en la revista francesa L'enseignemente mathématique, 1 un articulo sobre la enseñanza de la matemática, titulado Cómo buscar la solución de un problema de matemáticas, en el que después de dar algunos consejos a los profesores de matemáticas, que en seguida detallaremos, termina con un cuadro de preguntas o "ayuda memoria", a usar en la solución de cualquier problema. 2 

Comienza el profesor Polya diciendo: 

"La contribución más importante de la enseñanza de la matemática a la cultura general del alumno, es la de formarle una independencia de razonamiento en la solución de problemas. 
Esta formación del espíritu de razonamiento es posible. Por eso, la enseñanza debe hacer uso de los tres siguientes medios: dar al alumno modelos a imitar, hacer resaltar aquello que merece ser imitado y afirmar por ejercicios apropiados los hábitos de espíritu útiles."

Estas interesantes ideas de Polya nos han sugerido un comentario aparte. 

La matemática como toda otra actividad técnica, comporta dos aspectos: a) puesta en ecuación del problema, b) solución de la ecuación por los métodos conocidos.

Es solamente el primer aspecto el que revela "independencia de razonamiento". Pero este primer aspecto, de puesta en ecuación, no es privativo de la matemática: Un médico frente a un enfermo debe comenzar por "ponerlo en ecuación"; un industrial frente a una plaza comercial debe "ponerla en ecuación".

En resumen, parece ser que este aspecto de la actividad se podría enunciar en forma esquemática así: 

1) Frente a nosotros tenemos un problema. El percibir el problema es ya un  acto de independencia de razonamiento, pues el problema "está", es común a todos, existe o puede existir en cuanto alguien lo enuncia. Pero el enunciarlo da precisamente el primer síntoma de independencia.

 Una vez el problema enunciado, resulta un conjunto informe de incógnitas y datos. En las ciencias naturales, ese conjunto es siempre infinito; se trata ahora de buscar, con el número finito de armas de que se dispone en un momento dado, qué parte del problema es atacable. 

El arte consiste en discernir el aspecto que es atacable, atacarlo, y juzgar el resultado del ataque.

Por supuesto, todo problema contiene un aspecto atacable con un arma cualquiera.

2) Para el ataque del problema, es fundamental el conocimiento de técnicas de ataque, sólo obtenibles mediante el ejemplo de otros, o mediante la propia experiencia. 

El que ataca un problema grande es porque antes ha atacado problemas chicos y ha aprendido a atacarlos. No hay, en este sentido, "problemas grandes". Muy en especial en matemática, es hecho bien conocido el que todo tema es trivial para el que "está dentro",  y dificilísimo para el que "está fuera".

A resolver una ecuación puede aprenderse mediante libros y reglas. A atacar un problema no. Lo prueba el hecho de que los libros geniales no engendran lectores geniales en igual número que el de ejemplares. Una tirada de tres mil ejemplares de los Elementos puede formar tres mil lectores eruditos, pero ningún Euclides.

Una de las probables razones de este hecho sería que los libros son forzosamente cortos y parcos en palabras. En una conversación de una hora se dicen más de treinta páginas; una estadía de un mes al lado de un maestro, equivale a oírle un número de palabras equivalente a varios tomos. Otra razón puede ser el que esas palabras —las de la conversación— son las que se requieren en el momento preciso, mientras que en el libro hay en general muchas palabras que no nos atañen. Si un problema en manos de un alumno se puede resolver con un cierto teorema de dos líneas, el texto le dará quinientas páginas, entre las cuales tal vez estén las dos líneas, indiscriminadas. El profesor, hablando, dirá solamente las dos líneas necesarias. Es bien conocido que las artes manuales —soplado del vidrio, por ejemplo—, subsisten hoy, como hace siglos, al lado de los maestros artesanos. Es menos evidente el hecho de que  la ciencia se aprende hoy, como hace siglos, al lado de los maestros, y que ninguno de los progresos de la imprenta ni la radio nos permite suplantar una conversación de una hora con "el hombre que sabe".

La importancia del ejemplo —del ejemplo del maestro— proviene también de que un ejemplo cualquiera, por simple que parezca, requeriría volúmenes para ser descrito en minúsculos e importantes detalles; y aun así, aun en volúmenes, faltaría el tono de voz y faltaría el énfasis. Es como querer comparar un paisaje, siquiera visto en un segundo, con la mejor de sus descripciones escritas.

3) La propia experiencia previa es también esencial. Cuando hallamos una persona con capacidad para proponerse problemas, invariablemente se trata de alguien ejercitado en tal tarea. Es posible acostumbrar a un alumno a enfrentar y resolver problemas, lo mismo que es posible acostumbrarlo a memorizar fórmulas. Y la resolución de problemas pequeños, es a menudo la única vía para crear la posibilidad de atacar problemas cada vez mayores. 

Veamos otra de las ideas contenidas en el trabajo del profesor Polya:

"Los maestros deberían tener conocimientos claros y precisos sobre los procesos psicológicos y las bases metodológicas de la solución de un problema."

Podemos comentar lo siguiente:
El profesor tiene ante sí la doble tarea de enseñar a razonar y enseñar los métodos para resolver. El primer aspecto se refiere más a la edad de los alumnos que a la materia que estudien; el segundo es lo que define "la materia".

Si la matemática fuera estudiada exclusivamente por hombres ya formados, que tuvieran alguna actividad concreta (comercio, industria, una ciencia cualquiera), probablemente el profesor podría limitarse a desarrollar el "programa", enseñando teoremas, recetas y trucos demostrativos y constructivos. Sus alumnos decidirían por sí solos cuándo usar las diversas artimañas, y cómo juzgar de su éxito. Disponiendo ya de una mente en funcionamiento, les faltaría solamente saber algunos hechos materiales referentes a la matemática; un adulto que aprende a manejar automóviles no necesita que le expliquen ni enseñen que debe manejar con prudencia y evitar accidentes.

La segunda parte de la tarea lectiva es por completo independiente de la anterior; hay que enseñar demostraciones, definiciones, reglas operatorias, etc. Aquí vale en sentido literal: "el profesor habla como un libro abierto". En otras palabras, el profesor puede ser reemplazado por un libro, tanto en extensión como en profundidad. (Es habitual que el profesor "no siga" a un determinado libro, porque ningún libro "tiene todo". Ello equivale a que el profesor escriba —o improvise— un nuevo libro; que tampoco "contendrá todo". por otra parte). Es sobre este aspecto de la enseñanza sobre el que versan, prácticamente, los programas y resoluciones prácticas; mientras las declaraciones teóricas y las discusiones en congresos se refieren al aspecto anterior, del "razonamiento". Nunca se insistirá bastante en que la demostración impecable de un teorema —digamos el de Pitágoras— no enseña ni incita a razonar, ni sugiere nada. Lo único que sugiere es que Euclides fue muy inteligente y que entre un teorema y su demostración deben mediar dos sabios y un siglo.

La forma de razonar en matemática es independiente de tal o cual programa, y también es independiente de la matemática misma. Si tomamos el "ayuda memoria" de Polya, observamos que esos consejos valen también para un director de industria. Ya Bouasse observó que los preceptos que constituyen el Discurso del Método, de Descartes, son casi idénticos a los preceptos que Taylor puso de moda para analizar problemas industriales. (El "ayuda memoria" de Polya es completamente análogo a cualquier "ayuda memoria" para operaciones industriales, que el lector encontrará en casi todos los libros sobre organización industrial). 3

Sobre la enseñanza “a razonar" no caben demasiadas normas. Por lo pronto, dicha enseñanza depende de la edad del alumno y de la capacidad del profesor, y no de la eventual materia en que se enseña. Un buen profesor enseña a razonar mientras calcula quebrados, mientras un profesor que no sepa razonar, hará letales los capítulos más sugestivos. La única norma posible es tratar que un profesor adecuado tenga alumnos adecuados; y los resultados serán los que den índice —y definición— de la palabra "adecuado".

Desde este punto de vista, el contenido de los programas, que se refiere al inventario de cosas que han de exigirse en la aduana final con que concluye el curso, pierde un poco de la importancia con que solemos exornarlos. ¿Conviene enseñar mucha aritmética? ¿La trigonometría esférica se dará en forma rigurosa? ¿Es conveniente introducir el concepto de derivada en escuela secundaria?

Estas preguntas equivalen un poco a inquirir si "conviene" llevar esquíes, lazos o mallas de baño, para emprender un viaje. La respuesta, obvia, es que el equipo depende de la finalidad del viaje.

Si se trata de enseñar a razonar, cualquier material es bueno, si lo es el que lo enseña. Si en cambio se quiere proveer de herramientas al estudiante, parece a priori que lo mejor son pocas y bien manejadas (de paso, digamos que el número que se puede proveer en un curso, o en cinco cursos, es siempre despreciable respecto al número que "hay"). Tenemos en nuestro país gran tendencia al acopio. Nuestros estudiantes secundarios comienzan estudiando teoría de conjuntos y concluyen con rudimentos de análisis, pasando por las cuatro operaciones aritméticas y las semejanzas de triángulos. El resultado es que el estudiante colecciona en su memoria los enunciados, y los olvida alegremente al día siguiente de su promoción. En cierta forma esta costumbre de atiborrar al estudiante contiene la creencia de que cuanto más se le enseña, más sabe; esto es rotundamente falso; en primer lugar no todo lo que se enseña se aprende; en segundo, el saber ocupa lugar, y frecuentemente se aprende mejor cuando se enseña menos. En tercer lugar, un alumno que haya cursado cinco años de matemática, tiene tan poca visión, tan pocos conocimientos de esa ciencia, y tan poco panorama de la misma, como el que ha cursado dos años.

Esta última afirmación, es de lejos, la más importante: enseñamos mucho porque creemos que enseñamos una buena parte de la matemática. En cuanto nos apercibamos de que "mucho" no tiene sentido, disminuiremos nuestro afán de incluir tres teoremas más en las listas. La distancia a la matemática total sigue siendo infinita.

Hagamos un contraejemplo: un hombre formado, inteligente, ignorante de la matemática, puede construir su propio panorama en un año, si se lo propone, leyendo, asesorado por un profesor, por ejemplo, el libro de Courant y Robbins ¿Qué es la matemática?4 En un año puede tener más sentido matemático que el mejor bachiller. No es pues cuestión de "cursos", años, ni temas. Es cuestión de madurez mental, razonamiento y ejemplo.
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*Tomado de Revista de Educación, Año 1, N.° 2 (Nueva Serie), La Plata, Ministerio de Educación de la Provincia de Buenos Aires, febrero de 1956.
1 Revue Internationale (Méthodologie et Organization de l'Enseignement-Philosophie et Histoire des Mathématiques-Chronique Scientifique-Mélanges-Bibliographie), Tomo treinta, Paris, 1931, pp. 275-276.
2 Otro trabajo de G. Polya ("How to solve it?", Princeton, 1948), amplia el articulo citado con una "ayuda memoria" más elaborado y contiene, además, multitud de ejemplos y consejos a los profesores sobre la enseñanza de la matemática, que son de indudable valor para toda persona interesada en el proceso de pensar.
3 Por ejemplo, R. M. Barnes, Motion and Time Study, Nueva York, 1940, pp. 37-38.
4 Buenos Aires, Edit. Alda, 1954.
Nota: G. Polya, Cómo plantear y resolver problemas, México, Trillas, 1969. 
R. Courant y H. Robbins, ¿Qué es la matemática?, Madrid, Aguilar, 1967.

🔸Modelo de clasificación
ALFREDO PALACIOS

Los que llevan la vida a la cátedra. 
Los que arrastran la cátedra por la vida.
Los que piensan que el niño es un vaso que hay que llenar.
Los que saben que el niño es un fuego que hay que alentar.
Los que suponen que educar es convencer. 
Los que que saben que educar es vencer.
Los que confunden vocación con profesión. 
Los que profesan su vocación.
Los que vocacionalmente profesan.
Los que confunden cultura con información.
Los que se informan sobre la cultura.
Los que confunden la ingenuidad de los niños con ignorancia.
Los que saben que el niño es el padre del hombre.
Los que creen en la clase auditorio.
Los que creen en la clase museo. 
Los que creen en la clase taller.
Los que suponen que la escuela es una preparación para la vida.
Los que saben que la escuela es la vida misma. 
Los que creen que el aula es un enseñadero.
Los que saben que que el aula es un creatorio.
Los que saben que toda lección debe ser una respuesta.
Los que creen que los niños fracasan en la Matemática porque no les gusta. 
Los que saben que a los niños no les gusta la Matemática porque sienten que en ella están fracasando.
Los que saben que, si todos confunden educación con transmisión de ideas inertes, entonces parece que nadie está confundido.


🔸Bibliografía

Asimov, Isaac, El reino de los números, México, Diana, 1969.

Campiglio A. y otros, De los dedos a la calculadora, Barcelona, Paidós, 1992.

Dienes. Z. P. y otros, Conjuntos, números y potencias, Barcelona, Teide, 1968. 

Gómez Alfonso, Bernardo, Numeración y cálculo, Madrid, Síntesis, 1993.

Guedj, Denis, El imperio de las cifras y los números, Italia, B. S. A. y Gallimard, 1998.

Hogben, Lancelot, El universo de los números, Barcelona, Destino, 1966. 

Karlson, Paul, La magia de los números, Barcelona, Labor, 1960. 

Padilla Domínguez, Yolanda y otros, Cómo enseñar el número natural, Málaga, Ágora, 1996.

Rencoret Bustos, María del Carmen, Iniciación matemática, Santiago de Chile, Andrés Bello, 1994.

Trejo, César, El concepto de número, Washington, Unión Panamericana,1968.

Warusfel, André, Los números y sus misterios, Barcelona, Martínez Roca, 1968.

Wells, David, El curioso mundo de las matemáticas, Barcelona, Gedisa, 2000.

Revistas:

El Correo de la UNESCO, "El nacimiento de los números", noviembre de 1993, año XLVI, Francia, UNESCO.
_________"Viaje al país de las matemáticas", noviembre de 1989, año XLII, Francia, UNESCO.


Tomado de: Palacios, A. y Etcheverry, L. A. (2001). Contar bien es lo que cuenta, que contar cualquiera cuenta. Buenos Aires: Lumen

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