La voz del poeta. Jorge L. Borges
I
Toda introducción a la matemática, al estudio de cuanto le concierne y de sus métodos de trabajo, que permita apreciar su contenido, debe comenzar necesariamente por la consideración del número.
El hombre primitivo reconoció rápidamente la misteriosa presencia de una “propiedad numérica” donde quiera que hubiera un conjunto de objetos. El hombre pronto concretó la utilidad de esta propiedad en las ocupaciones diarias de una sociedad aún primitiva. El hombre desarrolló gradualmente el concepto, más elaborado, de numeración, e inventó un lenguaje numérico a la vez oral y escrito. El hombre contempló al número, divorciado de su papel utilitario en vida como un elemento filosófico, místico, hasta religioso. Estas consideraciones, dice Hermann Minkowski, colocan al número en el "origen de la matemática", tanto histórica como filosóficamente.
II
No es fácil explicar exactamente qué propiedad de un conjunto de objetos es expresada por la palabra "cuatro" o "siete" y la diferencia entre estas dos distintas propiedades. Estas palabras forman demasiada parte de nuestra experiencia, y las características que ellas comprenden son demasiado intuitivamente reconocidas por cualquier adulto, para ser susceptibles de una explicación simple. Esas características ya son descubiertas al comienzo de la vida de la raza o del individuo. Conviene entonces tratar de descubrirlas tal como lo pudo hacer el hombre primitivo.
Por cierto que este proceso no comprende el "contar", tal como nosotros sabemos hacerlo: el hombre pudo no tener una palabra para la medida de su rebaño. Este fue, simplemente, un método de señalamiento; a cada oveja le correspondía una piedra y viceversa.
Llamaremos a este apareamiento de entes individuales del conjunto ovejas con los del conjunto representativo de piedras, correspondencia elemento a elemento o correspondencia bi-unívoca de los dos conjuntos. Eventualmente, el hombre pudo admitir que, si el rebaño tenía "diez" ovejas, podía usar sus dedos como conjunto representativo, en lugar de las piedras. Éste hubiera sido un paso natural, desde que los dedos estaban siempre con él, listos para su uso instantáneo. En este caso, el conjunto de ovejas, el conjunto de piedras y el conjunto de dedos hubieran estado, los tres, en correspondencia bi-unívoca. Además, el uso de los dedos en lugar de las piedras como conjunto representativo, pudo ser extendido a rebaños de más de diez ovejas. Imaginemos varios pastores alineados. El primero dobla un dedo por cada oveja que pasa delante de él, en tanto el segundo dobla un dedo cada vez que el primero tiene doblados todos los suyos, registrando así, con cada dedo doblado, decenas de ovejas. Cada vez que el segundo hombre marca un “diez", el primero puede extender sus dedos para volver a comenzar. El tercero doblaría un dedo cada vez que el segundo hubiera usado todos los suyos —centenas de ovejas— y seguir así. Éste es también, por supuesto, un método de señalamiento, el apareamiento de ovejas con dedos del primer hombre. No es necesaria palabra alguna ni noción alguna de numeración. Lo que se debe recordar, como control del rebaño, es el cuadro final de hombres y dedos doblados; si se registra el mismo cuadro a la vuelta del rebaño, por la noche, es que está completo. Todo método para llevar el control de los elementos de un conjunto está basado en el principio anterior de establecer una correspondencia bi-unívoca entre los elementos de este conjunto y los del conjunto representativo. Enunciemos este principio en detalle: Ha quedado establecida una correspondencia bi- unívoca entre dos conjuntos de objetos, si los objetos de los dos conjuntos están apareados de tal modo que a cada uno del primer conjunto corresponde uno y sólo uno del segundo, y viceversa. Hay numerosos ejemplos distintos del anterior: los estudiantes y sus correspondientes asientos; los libros de una biblioteca y las fichas del catálogo, para mencionar sólo dos.
La correspondencia bi-unívoca es el origen del concepto de número. Número es la propiedad de un conjunto de objetos, que éste tiene en común con con él. Una propiedad que es ahora una cualidad característica descriptiva de cualquier otro conjunto que puede ser puesto en cada conjunto, justamente como el verdor, o la redondez, o la dulzura son propiedades descriptivas de objetos aislados o agrupados. Está ahora claro que la distinción fundamental entre "cuatro" y "siete" reside en que conjuntos de cuatro y siete objetos no pueden ponerse en correspondencia bi-unívoca.
Esta propiedad numérica, tal como fue descripta y definida, se denomina número cardinal del conjunto. La idea es tan simple que es sofisticada. El número es ahora una creación de la naturaleza, existente aun antes de que el hombre lo conociera. "Dios creó los números naturales, el hombre hizo el resto", escribió Leopold Kronecker. Se los llama, por consiguiente, números naturales. Todavía, a pesar de que los niños aún juegan a aparear, por ejemplo, un conjunto de clavijas con sus correspondientes agujeros, en una tabla, los padres dejan de lado a menudo el principio de equivalencia de los números cardinales de los conjuntos apareados, enseñando a los niños a asociar de memoria el conjunto mismo con la palabra correspondiente al número, sofisticación debida a la posesión racial del lenguaje numérico. En esta forma el camino se aleja tanto de la sencillez que volver a ella resulta a menudo difícil.
III
Es fácil para un adulto, aunque difícil para un niño, reconocer la propiedad numérica de un pequeño conjunto de objetos, por ejemplo diez o menos. Esta habilidad es actualmente una consecuencia de la experiencia. Uno de los primeros resultados del continuo reconocimiento de tales propiedades numéricas es la creación de palabras para diferenciar las distintas propiedades numéricas de conjuntos que no pueden ponerse en correspondencia bi-unívoca entre sí. Las palabras cuatro y cinco expresan este resultado; cuatro, por ejemplo, significa el número de objetos de todo conjunto susceptible de ser puesto en correspondencia bi-unívoca con el conjunto representativo de los dedos de una mano (excluido, por ejemplo, el pulgar); cinco indica que ha sido agregado el pulgar al anterior conjunto representativo de dedos. Tales palabras fueron inventadas probablemente, primero, para conjuntos de diez o menos, siendo diez el límite superior, dada la naturalidad del uso de los dedos como conjunto representativo.
Pero ciertamente, a pesar de que podemos cultivar la habilidad de reconocer (y de dar nombre) a la propiedad numérica de un conjunto simple de objetos, ya cuando el conjunto se vuelve más complejo, la determinación de su propiedad numérica por inspección directa no puede efectuarse exitosamente con la sola ayuda de la experiencia. Nos hemos visto conducidos entonces a intentar la determinación sistemática de la propiedad numérica. Si hay, por ejemplo, 107 libros en una biblioteca, ello no puede afirmarse de entrada; en efecto, nosotros determinamos el número de la colección contando. Contar es una habilidad que pertenece sólo al hombre civilizado. Se sabe que ciertas tribus salvajes tienen palabras para conjuntos de hasta cuatro elementos, después de lo cual cada conjunto constituye un "montón”.
Este hecho indicaría que no eran reconocidas las distinciones entre las propiedades numéricas de conjuntos "más grandes" de objetos. No obstante, es a la evolución de este sutil método de contar que debemos el desarrollo de los sistemas metódicos de llamar y escribir los números, así como el subsiguiente desarrollo de las operaciones aritméticas.
Volvamos al pastor y a sus amigos, que están señalando las ovejas a medida que éstas pasan por cierto punto. En lugar de considerar simplemente el conjunto total final y su representación por un cuadro de dedos, ellos pudieron haber considerado los sucesivos conjuntos subsidiarios, formados en orden a medida que cada oveja se unía al conjunto que ya había pasado. Además, para facilitar la operación, pudieron haber dado nombre a estos conjuntos sucesivos. Después de haber pasado una sola oveja, ella forma un primer conjunto, con propiedad numérica llamada uno, quedando establecida la correspondencia con un solo dedo doblado. Pasa otra oveja, para formar con la anterior un conjunto con propiedad numérica llamada dos, correspondiente con un par de dedos doblados. El proceso continúa; cada oveja agregada es considerada, no como un conjunto unitario, sino como constituyendo, en unión con el último formado, un nuevo conjunto. Los nombres puestos en orden son los nombres para las propiedades de los sucesivos conjuntos formados de la manera indicada. Es claro que el nombre que ha quedado asignado al pasar la última oveja es el nombre de la propiedad numérica del conjunto total de ovejas: éste fue obtenido sistemáticamente, como una graduación del orden de las propiedades numéricas de los conjuntos sucesivos, partiendo del más simple. Entonces, la esencia de la operación de contar es una imposición de orden en los conjuntos auxiliares utilizados para llegar a la propiedad numérica del conjunto dado. De esta manera, sistematizamos nuestros números cardinales y, puesto que el proceso de ordenación es lo principal en la sistematización, llamamos a la propiedad numérica así obtenida el número ordinal del conjunto. Por su puesto, una misma palabra sirve para designar el número cardinal y el ordinal de un conjunto dado. Pero se los obtiene por procesos diferentes, y estamos tan acostumbrados a utilizar este último, obtenido contando, que perdemos de vista el primero, esencialmente más simple. Toda la discusión puede ser puntualizada con el siguiente ejemplo: para indicar que un conjunto tiene la propiedad numérica tres, una persona debería doblar tres dedos al mismo tiempo (número cardinal), en tanto que para contar los objetos (número ordinal), debería doblar los dedos sucesivamente, dando los nombres de los conjuntos "menores" uno, dos, en orden, antes de llegar al veredicto final.
Parecería una dificultad insalvable inventar nombres para los números de la aparentemente ilimitada sucesión de conjuntos que es posible formar con operación de contar.
Sin embargo, la fila de pastores en el proceso de señalamiento de ovejas (número cardinal) pudo eventualmente haberlo hecho; puesto que ellos iban doblando dedos en sucesión y puesto que nadie tenía nunca más de diez dedos doblados, no necesitaban más de diez palabras básicas, una para cada conjunto sucesivamente mayor de dedos. Combinaciones de éstas, posiblemente con la sola adición de los nombres de las posiciones relativas ocupadas por los hombres (“cientos”, “miles”) serían suficientes para designar todos los números. Así, veintiocho (dos decenas, ocho) es suficiente para designar el resultado de registrar dos conjuntos de diez dedos además de otros ocho dedos adicionales.
La discusión anterior se ha basado en el uso de los dedos de ambas manos como conjunto representativo natural. Esta fue y es, por supuesto, una elección arbitraria. Por cierto que hubieran podido usarse convenientemente los dedos de una mano, y realmente fueron usados como base por algunas tribus (sistema "quinario"). También los dedos de las manos y de los pies forman un posible conjunto representativo siempre a mano.
Es un punto ardientemente debatido, si el reconocimiento de la propiedad numérica es o no un instinto racial poseído por el hombre y algunos animales desde las épocas más antiguas. El sentido primitivo del número ordinal tuvo un temprano desarrollo histórico, como lo tuvo el lenguaje numérico. Aun dentro del sistema ahora existente, altamente complejo, pero sumamente eficaz, estas cosas se desarrollaron y progresaron muy gradualmente. Esta observación se cumple, asimismo, para el sistema escrito que se desarrolla en consecuencia. Es deplorable la indiferencia con que se aceptan y enseñan estos sistemas, sin profundizar en su historia, estructura y belleza.
IV
Consideremos nuestro propio sistema de escritura de los números naturales, para encontrar sus características salientes. Es en realidad una versión escrita simbólica de los pastores alineados contando ovejas, tal como se los presentó anteriormente. Justamente así como el pastor indicaba por su posición en la fila el tipo de conjunto básico de objetos —ovejas, decenas de ovejas, decenas de decenas de ovejas, etc.—, estando representado su número por sus dedos doblados, así uno de los diez símbolos dígitos básicos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, indica por su posición en la fila de dígitos el tipo de conjunto básico, estando representado el número por su forma escrita.
Por supuesto, ambas representaciones se completan agregando el número de partes componentes simples. Por ejemplo, podríamos tener tres pastores parados, cada uno con un dedo doblado. El hombre de la izquierda representaría entonces un conjunto básico de diez decenas de ovejas (un centenar); el segundo representaría una decena; el tercero, una oveja adicional. Y este cuadro se traduciría inmediatamente en el símbolo 111, representando estos "unos" cantidades diferentes enteramente. Podría parecer a primera vista que el uso del símbolo cero como décimo símbolo más bien que como símbolo simple (no compuesto, como lo es 10) para representar "diez", es un procedimiento extraño. Es éste un hecho extremadamente civilizado y elaborado, que apareció primero en nuestra civilización entre los hindúes, recién hacia el año 800 de nuestra era. Algunas reflexiones inmediatas puntualizan el fin perseguido. En primer lugar, en el cuadro final ningún pastor podía tener doblados todos sus dedos, desde que un total de diez unidades de cualquier conjunto básico es representado por un dedo del pastor que le sigue en fila. Traducido, esto significa una representación de diez unidades de cada conjunto básico por una del conjunto básico siguiente, de rango más elevado, y ninguno del que le precede. Entonces, no puede ser útil en nuestro sistema un dígito aparte para el diez. Segundo, es necesario un símbolo para el cero. Supongamos que los pastores estuvieran contando un rebaño de ciento una ovejas. El proceso terminaría al tener doblado un dedo el primero y el tercer pastor, en tanto que el del medio no tendría doblado dedo alguno. ¿Debe entonces desaparecer del cuadro el pastor central? Todo lo contrario, pues él es justamente tan importante como antes, siendo ahora su papel determinar la posición de las decenas, aunque haya ninguna registrada en el cuadro. Si él abandonara su posición entre los otros dos, se podría tener la idea incorrecta de que aquéllos marcan decenas y unidades, en lugar de centenas y unidades. Simbólicamente escribiendo el número 101, el símbolo 0 es necesario para mantener la fortaleza de las decenas, aun cuando esa fortaleza estuviera vacía. Además, los dos unos podrían hacernos naufragar en la tosca inexactitud del 11.
Por cierto que este problema de guardar un lugar vacío resultó difícil para el hombre. Fueron necesarios siglos para descubrir la necesidad y la utilidad de un símbolo para lo no numeroso. La introducción de un vacío simbolizado, uno de los descubrimientos de más vastos alcances que se hayan hecho, era una noción tan herética que la mayoría de los pueblos antiguos fueron completamente incapaces de concebirla.
Las características esenciales de un sistema de numeración posicional han sido puntualizadas por los pastores. Se llama posicional porque el lugar ocupado por el símbolo dígito es tan importante como el símbolo mismo.
La creación del sistema de numeración posicional es una verdadera hazaña. Un simple trazo, una unidad estratégicamente colocada, puede representar millones. Al ser movido puede, como un camaleón, cambiar de naturaleza.
V
La discusión precedente es un remoto eco del pastor primitivo, quien primero señaló y luego contó sus ovejas; de los antiguos pueblos que imaginaron, cada uno, su simbolismo oral y escrito para la propiedad numérica; de los hindúes, que inventaron un símbolo para el vacío, y de los griegos, que no lo hicieron.
Cifra: significa 'vacío', 'hueco'. Proviene del árabe sifr, traducción del hindú sunya ('vacío").
La palabra cifra, en el lenguaje específico de los matemáticos, fue en el principio el nombre elegido para el cero.
Sin embargo, debido a la amplia difusión del arte del cálculo, y por la notable importancia de la presencia del cero en el sistema de numeración decimal, la palabra cifra se popularizó tomando el significado de signo numérico que tiene actualmente.
Cifra presentaba entonces un doble significado: la cifra popular para indicar el signo numérico; la cifra de los matemáticos para representar al cero.
Cero: advierta el lector que esta palabra todavía no había nacido. El doble significado de la palabra cifra era fuente de confusión, de allí que los matemáticos resolvieran la cuestión adoptando —para designar al número cero— la palabra italiana zero como sustituto de la palabra original cifra. El nacimiento de la palabra cero se puede ubicar en el s. XIII, cuando el matemático italiano Leonardo de Pisa buscó una palabra latina que sonara de un modo parecido al árabe sifr y escribió zéphyrus (que es el nombre de un viento), que luego evolucionó a zévero y finalmente a zero. En latín no existe un término equivalente a cero. Los romanos utilizaban el término nihil o la expresión núllus númerus, que significan, respectivamente, 'nada' y 'ningún numero'.
Es interesante observar cuán importante puede ser un símbolo, por modesto que parezca, para el progreso de la ciencia. Puede servir para la presentación enfática de una idea, muchas veces muy sutil, y gracias a este símbolo es fácil destacar la relación de esa idea con el complejo tren de ideas en que se encuentra. Por ejemplo, tomemos el más modesto de todos los símbolos, el 0 que representa al número cero. La numeración romana no tenía símbolo para el cero, y probablemente todos los matemáticos de aquella era se hubieran sentido horriblemente perplejos ante la idea del número cero. Porque después de todo, es una idea sutil no del todo obvia. En los trabajos filosóficos se encontrará gran número de discusiones acerca del significado de la cantidad cero. El cero no es, en verdad, una idea más difícil ni más sutil que los otros números cardinales. ¿Qué queremos significar con 1, o con 2, o con 3? Estamos familiarizados con el empleo de estas ideas, aunque la mayor parte de nosotros nos veríamos en aprietos para hacer un análisis claro de las ideas más simples que contribuyen a formar esas nociones. El caso del cero es que no lo necesitamos para las operaciones de la vida diaria. Nadie sale a comprar cero de pescado. Es, en cierto modo, el más civilizado de todos los cardinales y lo empleamos solamente obligados porque así lo requieren las modalidades cultivadas del pensamiento. Muchos servicios presta el símbolo 0, que representa al número cero.
El símbolo 0 se desarrolló en relación con la numeración arábiga de la que es parte esencial, pues en esa numeración, el valor de un dígito depende de la posición en que se encuentra. Consideremos, por ejemplo, el dígito 5, tal como se presenta en los números 25, 51, 3.512, 5.213. En el primer número el 5 representa cinco, en el segundo número el 5 significa cincuenta, en el tercer número quinientos, y en el cuarto cinco mil. Así, cuando escribimos el número cincuenta y uno, en la forma simbólica 51, el dígito 1 desplaza al dígito 5 al segundo lugar (contando de derecha a izquierda), y le da entonces el valor de cincuenta. Pero cuando queremos expresar cincuenta con símbolos, no podemos apelar al dígito 1 para esta tarea; necesitamos poner en el lugar de las unidades un dígito que añada nada al total, y que asimismo desplace al 5 al segundo lugar. Esto lo realiza el 0, símbolo del cero. Es verdaderamente muy probable que los que introdujeron el 0 con ese fin no tuvieran en la mente una concepción definida del número cero; simplemente querían un signo que simbolizara el hecho de que nada se agregaba en el lugar en que se le colocaba. Es probable que la idea del cero haya cobrado forma gradualmente a raíz del deseo de asimilar el significado de este signo al de los signos 1, 2, ..., 9, que representan los números cardinales. No sería éste el único caso en que se ha introducido en Matemáticas una idea sutil por medio de un símbolo que en su origen fue dictado por razones de conveniencia práctica. Así, pues, la razón primitiva del 0 fue hacer posible la numeración arábiga, tarea no poco importante. Podemos imaginar que cuando fue introducido con ese fin, los hombres positivos, aquellos que no gustan de las ideas fantásticas imaginativas, desaprobaban la necia costumbre de identificarlo con el número cero. Pero tales hombres se equivocaban, como lo hacen siempre que abandonan su función natural de masticar los alimentos que otros han preparado, puesto que la otra función que cumple el símbolo 0 depende esencialmente de que le asignemos el papel de representar al número cero.
- Capítulo 1: Contar bien es lo que cuenta
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