La aventura de la matemática

 

La aventura de la matemática. E. H. del Busto

  Conceptos aritméticos. Del maese Zoltan Dienes 

La voz del poeta. Jorge L. Borges

Lo que significa contar. Tony Lévy 

Capítulo 3

🔸La aventura de la matemática*

EDUARDO H. del BUSTO

Quizás parezca audaz o, por lo menos, arriesgado, el intento de presentar a la matemática como aventura y, sobre todo, como aventura venturosa. Y esto por dos motivos: para quien la conozca, resultará redundante; para quien no la conozca —y éste es el presupuesto del cual partimos—, difícil de probar. Un porcentaje grande de nuestros forzados oyentes cree o está propenso a creer que nuestra ciencia es una desgracia y, en verdad, cuentan a favor de su creencia con el apoyo de personalidades prominentes que han asegurado que el cultivo de ella es pernicioso. Basta para ello recordar los juicios de Hamilton, Swift, Rousseau, Lamartine, Montaigne y otros.

🔹 El miedo y la costumbre

—Cuando yo uso una palabra —dijo Humpty Dumpty, en tono algo despectivo—, esa palabra significa exactamente lo que yo decidí que signifique... Ni más ni menos.

—El asunto es dijo Alicia si usted puede hacer que las palabras signifiquen tantas cosas distintas.

—El asunto es —replicó Humpty Dumpty— quién es el maestro aquí. Eso es todo.

Lewis Carroll, A través del espejo.

Tengamos un gesto de humilde sinceridad y confesemos públicamente que, por lo común, aquello que nos lleva a odiar a la matemática es, sencillamente, el miedo que le tenemos. Este sentimiento negativo se halla relacionado de manera diversa con la enseñanza. Al joven y al niño se acostumbra a darles más una técnica que una educación, y, a veces, se aprecia más la habilidad de un calculista que el raciocinio de un matemático auténtico. Dice Alfred N. Whitehead, maestro, matemático y lógico: "La razón de esta falla de la ciencia para vivir de acuerdo a su reputación es que no se explican al estudiante sus ideas fundamentales desembarazadas del procedimiento técnico que haya sido inventado para facilitar su presentación exacta en casos particulares. Por tanto, el aprendiz poco afortunado se encuentra luchando para adquirir el conocimiento de una masa de detalles que no están iluminados por una concepción general. Sin duda alguna la facilidad técnica es requisito indispensable para una actividad mental provechosa; no podremos apreciar el ritmo de Milton o la pasión de Shelley mientras tengamos que deletrear las palabras y no estemos completamente seguros acerca de la forma de las letras individuales. En este sentido no hay salvoconducto para el aprendizaje. Pero es igualmente error dedicar la atención a los procesos técnicos sin considerar las ideas reales. Ahí comienza el camino a la pedantería."

La principal tarea del educador consiste en aniquilar el miedo de sus discípulos. La tara del miedo sobrepesa en la escuela primaria, secundaria y superior; viene de la familia, del medio ambiente, de la tradición o es fruto inesperado de la disciplina rígida. El maestro suele ser también una causa del miedo: pruebas, calificaciones, exámenes, premios, estímulos, competencias... todos ellos elementos que perjudican a la comprensión y que, por serle ajenos, acaban por vetarla para siempre. Sin embargo, para que exista comprensión es necesaria una gran dosis de espontaneidad, de ese prístino germen creador del intelecto. Los mayores matemáticos han sido seres primordialmente espontáneos; es decir, no disciplinados desde fuera.

Pues bien, a fin de sentir a matemática como aventura venturosa hay que ponerse en estado de espontaneidad. Sólo de tal modo podremos considerar las cosas a lo nuevo.

No nos maravillamos del Sol que nos alumbra; ni del mar siempre recomenzado; ni de los árboles que nacen, crecen, se marchitan y mueren; ni de las altas montañas que se desgastan; ni de la gota de agua que deviene vapor y después nieve……; no nos maravillamos frente a esas maravillas, porque se nos dan cotidianamente. Nos acostumbramos a los más estupendos milagros, los aguardamos sólo como hechos y nos perdemos, entonces, la más generosa y barata fuente de goce a que el hombre puede aspirar.

Con las conquistas matemáticas también somos ingratos. A muchas de ellas, a fuer de antiguas, de cotidianas, de anexas a las nimias circunstancias de la vida, no les prestamos ni la menor atención.

¡Cuánta gente reposa y duerme a la sombra de una estatua sin reparar en la grandeza de la obra de arte cumplida! 

Pasemos revista a algunos ejemplos muy elementales de nuestra ciencia.

🔹El número abstracto y el infinito

En primer lugar, convengamos que el arte de contar es una de esas conquistas cuyo valor no recordamos casi nunca.

El hombre primitivo tenía sólo ideas rudimentarias de ese arte. Distinguía entre una, dos, tres cosas y nada más; lo que pasaba de tres era "muchos". Un jabalí, dos jabalíes, tres jabalíes, muchos jabalíes (entonces: peligro de muerte; organización de la defensa, etc.).

Las necesidades de la vida no le exigían una matemática más complicada... En cambio hoy contamos más y de otra manera; podemos decir 1, 2, 3, 4, 5... 500, 501..., 1.024, 1.026... sin término y sin referirnos a cosas concretas. Esto es importante notar: hemos aprendido algo extraordinario, a saber, que después de un número cualquiera viene otro mayor, y después otro y otro... que la sucesión numérica no tiene fin; que es infinita.

Además, sabemos usar los números de dos maneras. Una, para responder a la pregunta cuántos; otra, para responder a la pregunta cuál. Es decir, para saber cuántas páginas tiene el libro y para señalar cuál es la página de donde tomamos la cita. Así, cincuenta, cien, ciento quince páginas; la primera, la no- vena, la vigésima página. Cantidad y orden: número cardinal y número ordinal. Pero (aún hemos de recalcarlo) el cuánto y el cuál son conceptos numéricos que ahora sabemos manejar independientemente de que las cosas sean libros, páginas de libros, piedras, personas, etc.; poseemos, pues, el concepto de número abstracto, de número puro.

Se hallan a nuestra disposición los números puros, cuya propiedad más importante es ésta: después de un número cualquiera viene otro mayor. Y esto ya nos ofrece la posibilidad de un infinito. En virtud de ella podremos concebir un número mayor que los años de nuestra vida, que los días de nuestra vida, que los minutos de nuestra vida... mayor que los segundos de la vida de toda la humanidad, mayor que los segundos de la existencia de la Tierra, mayor que los segundos de la existencia del Universo entero...

Por el número podemos ir conceptualmente más allá de todo lo imaginable y factible. El número es el primer avión de nuestra inteligencia; el primer vuelo del pensamiento. Después de cada número, por grande que sea, hay otro; aunque no haya cosas, hay números. Pensad un instante en esto y no os avergoncéis de sentir vértigo, desazón, inquietud; habéis penetrado en un reino tal de la pura inteligencia que quizás nos diferencie decisivamente del animal: es el infinito, el infinito numérico.

No es fácil depurar al concepto de infinito de algunas reminiscencias terrenales. No cualquiera puede abordar el infinito numérico con absoluta tranquilidad y libre de prejuicios. El gran matemático griego Arquímedes tuvo  que esforzarse mucho para que un rey comprendiese que el número de granos de arena de la ciudad de Siracusa, y aun de toda Sicilia, y aun de la Tierra entera, con ser tan grande, tan desconsoladoramente grande, no es infinito, y que resulta posible pensar un número mayor que el de granos de arena que hay en todo el Universo.

 ¿Qué os parece esta aventura del número puro y del infinito numérico?

 

🔹Numeración oral y numeración escrita

La aventura que contaremos ahora podría llamarse "Inteligencia del Hombre Práctico".

He aquí el problema. Hemos concebido la posibilidad de infinito numérico; pues bien, pongamos nombre a los números que hemos engendrado y pongámoselos de manera que nos sea posible designar a cualquiera de ellos sin equivocarnos nunca.

¿Les pondremos nombres arbitrarios? ¿Los llamaremos, por ejemplo, Juan, Pedro, Diego, etc., según se sucedan en el orden llamado natural; o bien, les pondremos a, b, c, etc.? El menos listo verá que con estos procedimientos no hemos de ir muy lejos; se nos acabarán pronto los nombres propios o las letras del abecedario y, apenas hayamos bautizado a unos pocos números, nos quedará una cantidad aterradora sin designación. Nos hacen falta tantos nombres distintos como números distintos hay, es decir, infinitos. ¡Menudo problemita, con lo endeble que es nuestra memoria, con lo reducido de nuestro vocabulario, resolver la cuestión!

¿Qué hacer? ¿Renunciaremos al bautizo de los números, nuestros hijos? 

No. El hombre busca la aventura, el riesgo, lo difícil; huye de la molicie, ama lo desconocido y gusta explorarlo... Inventa, pues, un sistema de numeración hablada, o sea, inventa un recurso ingenioso para nombrar números, aun los muy grandes, utilizando una cantidad pequeña de palabras y repitiéndolas convenientemente. Así el número que lleva el nombre de doscientos veintidós mil doscientos veintidós se designa oralmente mediante la repetición de la palabra dos combinada con otras palabras simples. No ha sido necesario crear una palabra absolutamente independiente del nombre de otros números para poder designar al 222.222. Si hubiésemos optado por poner nombres fuera de todo sistema, hubiésemos debido inventar 222.222 palabras distintas, y ¿quién las recordaría a todas? 

Tratándose de un idioma regular, sin caprichos ni variaciones aceptados por la costumbre, bastarían

—escuchad bien— trece palabras y un sistema sencillo de combinación para poder designar, sin posibilidad alguna de error, cualquier número comprendido entre uno y un billón.

¿Habíais reparado en esta aventura del hombre práctico; en su agudeza, en su talento, en su habilidad? Nosotros creemos que quienes se ingeniaron de manera tan brillante para nombrar con pocas palabras bien usadas, ordenada y sistemáticamente bien usadas, una cantidad abrumadora de números distintos, no pueden ser personas torpes, con mentes secas o heladas. Reconozcamos que han tenido una idea luminosa: hacer expresables valores numéricos que, de otro modo, nunca hubiésemos sabido denominar. Nombrar los números; he aquí un gran acierto del lenguaje matemático oral.

🔹La tercera aventura que referiremos es la numeración escrita

Varios milenios antes de Cristo los hombres ya se preocupaban por registrar los números mediante signos gráficos. Objetivo tan importante ha originado muchos desvelos. El sistema que nosotros empleamos y que cada uno aprende en la infancia tardó muchos siglos en descubrirse y en implantarse. Los sumerios y caldeos, que fueron astrónomos, no lo conocían; ni los egipcios, constructores de pirámides; ni los griegos, legisladores de la geometría; ni los romanos, ingenieros del mundo latino. Parece que los inventores de nuestras cifras han sido los hindúes, de quienes las adoptaron los árabes. Estos las introdujeron a Europa a través de España, alrededor del año mil de nuestra era.

Debemos notar que el sistema escrito de numeración necesita sólo de diez símbolos. Con ellos basta para representar (dentro del sistema decimal) cualquier número. Estos diez símbolos son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0.

El décimo símbolo es el cero; fue inventado por los hindúes y tiene un significado especial, a saber: donde él aparece escrito se halla indicando que, en ese sitio, hay nada. Por ejemplo, sean los números 790, 907, 1.000. El primer número (790) consta de tres cifras distintas: 7; 9; 0 que representan, en virtud de su posición, siete centenas/ nueve decenas/ ninguna unidad simple. El segundo número (907) consta de tres cifras distintas (las mismas que antes pero en otro orden): 9; 0; 7 que representan, en virtud de su posición, nueve centenas/ ninguna decena/ siete unidades simples. El tercer número (1.000) consta de cuatro cifras, tres de las cuales son iguales pero ejercen distinto oficio según su posición; y representan un millar/ ninguna centena/ninguna decena/ninguna unidad simple. 

La receta parece sencilla. Cada cifra adquiere un valor diez veces mayor con sólo correrse un lugar a la izquierda en la notación y adquiere un valor diez veces menor con sólo pasarse un lugar a la derecha. El cero, que no es signo de lo numeroso sino de lo no numeroso, sirve para ocupar lugares vacíos de

unidades, decenas, centenas, etc. 

De manera que el sistema de numeración escrita se vale de dos inventos ingeniosos: el primero, atribuir valor relativo a los signos según su posición, y el segundo, introducir el cero de los hindúes para cubrir vacantes innominables por medio de las cifras significativas.

En fin, diez signos; únicamente diez signos y por esos diez signos todos los hombres civilizados del mundo están habilitados para representar cualquier número grande o pequeño. Y es más: todos los hombres civilizados entienden este lenguaje escrito; único lenguaje verdaderamente universal en el orbe... ¿No hay aquí una conquista notabilísima? Pensad que uno de vosotros fuese el descubridor del sistema decimal de numeración escrita. ¡Cuánta sería su legítima alegría, cuánta gratitud deberíamos demostrarle, cuánto habrían crecido sus merecimientos! Sin embargo, la historia no recuerda ni el nombre del inventor de ese sistema y nosotros, acostumbrados desde la infancia a emplearlo, no estamos ni siquiera predispuestos a darnos cuenta de que su extraordinaria sencillez y precisión son sus más estimables cualidades, dignas de nuestro agradecimiento. Poseemos la numeración escrita como quien posee los bienes de una herencia: hacemos uso de ellos, pero no tenemos idea del sacrificio que costó crearlos.

Provisto del recurso del número, el hombre predice la ruta de las luminarias celestes; pronostica cuándo y cómo se producirán eclipses de sol o de luna; prevé la conducta de las mareas marinas; aprende a medir y pesar la tierra en que vive; calcula la distancia a los planetas y a las estrellas; ubica los mares y los continentes; construye instrumentos de precisión que aumentan fabulosamente el poder y la exactitud de sus sentidos; pesa cosas sutilísimas como los átomos y enormes como el sol; fabrica microscopios y telescopios que lo ayudan a descubrir el mundo de lo muy pequeño y de lo muy grande; construye puentes, automóviles, aviones, submarinos... De este modo se agiganta el poder del hombre sobre la naturaleza y, quizás por eso, él se torna más arrogante. Es capaz de trasmutar átomos y de emitir satélites artificiales; sube a las alturas y vuela más alto que cualquier ave; desciende al hondo silencio de los mares y a las oscuridades profundas de las grutas.

"En las orillas de lo Desconocido —ha dicho Eddington— hemos encontrado huellas de pasos. Hemos establecido profundas teorías para explicar el origen de las huellas y cuando hemos conseguido reconstruir el ser de quien procedían nos hemos encontrado con nosotros mismos."

🔸Del maese Zoltan Dienes

"Conceptos aritméticos"*

(...) Es bien cierto que el concepto de número tiene su origen en nuestras primeras experiencias de manipulación de objetos distintos y en su ulterior reunión en colecciones. Es una larga experiencia en el manejo de dos objetos y en la consideración de que forman parte de un todo más vasto, que no es otra cosa que la colección compuesta por estos dos objetos, la que, gradualmente, da paso a una cierta noción cualitativa de dualidad. Es ésta un predicado que aprendemos a asociar a todas las colecciones de dos objetos. Se puede dar por cierto que, originariamente, no contemplamos este predicado —la propiedad de dualidad— como compuesto de dos objetos separados, sino como una propiedad de la colección en cuanto tal. Así es como formamos las ideas cualitativas de "trialidad" y de pluralidad o multitud cuando las colecciones ya no son inmediatamente reconocibles (...)

(...) Así como hace dos mil años, un niño romano debía aprender que I escrito antes de X, como ocurre en IX, significa uno menos de diez, y que I después de X, como en XI, significa uno más que diez, así también un niño de nuestra cultura ha de aprender que 15 significa quince y 51 significa cincuenta y uno. En esos "hechos" no hay cosa alguna que tenga nada que ver, intrínsecamente, con los números en cuestión; están inevitablemente ligados a las notaciones utilizadas. Diversos factores, biológicos y culturales, han acabado por imponer una notación del número que utiliza el valor de posición, con base diez, como método para la comunicación de números; por eso resulta esencial que los niños aprendan la significación de tal modo de comunicación tan eficazmente como sea posible. Aprender a contar hasta 50 o hasta 100 no significa, en modo alguno, que se haya aprendido la significación completa de la notación. Para un niño, 17 está asociado simplemente al número-palabra "diecisiete" o a su sonido, pero no le aparece como descompuesto en un diez y un siete. Las mismas observaciones pueden hacerse respecto a los conceptos de adición y de otras operaciones que supongan conceptos de orden más elevado. Un niño puede haber captado el concepto de que para sumar dos números le basta contar, a partir del primero, tantos "puntos" como exprese el segundo y, sin embargo, puede que no sepa comprender, ni de lejos, la estructura complicada de la operación 27 + 35, en la que ha de hacer agrupamientos y reagrupamientos de decenas para realizar la operación económicamente. Hablando en otros términos, los conceptos matemáticos y los procesos deben adquirirse, ante todo, en su forma pura, y después de conseguirlo será cuando los mismos conceptos y procesos serán adquiridos en forma de notación, es decir, con la estructura del sistema decimal sobreimpuesta. Por eso haremos una cuidadosa distinción entre conceptos puros y conceptos asociados a las notaciones o, como algunos prefieren decir, entre conceptos matemáticos y conceptos aritméticos.

Examinemos ahora en detalle el principio fundamental de la notación aritmética, es decir, el de valor de posición, y veamos qué conclusiones podemos obtener, en cuanto a los métodos para aprender tal concepto.

Cuando escribimos un número grande tal como 24 759, lo que realmente queremos decir es:

2 x 10⁴ + 4 x 10³ + 7 x 10² + 5 x 10¹ + 9 x 10⁰

Si consideramos este desarrollo a la luz del principio de variabilidad matemática, vemos que aparecen aquí tres variables 1) las cifras; 2) las potencias; 3) la base. Podemos modificar una de las variables, o todas ellas, sin destruir el carácter esencial de valor de posición. Este concepto de valor de posición es independiente del valor de las cifras, excepción hecha de que su número depende de la base elegida. Es también independiente del número de potencias utilizado, y este hecho suministra al concepto su naturaleza matemática, característicamente abierta —se abre hacia el infinito—. Además, es independiente de la base. Por ejemplo:

1 x 10² + 2 x 10¹ +6 x 10⁰

puede también escribirse así:

1 x 3⁴ + 1 x 3³ + 2 x 3² + 0 x 3¹ +0 x 3⁰

Hablando de otro modo, diremos que el número 126 puede escribirse en sistema ternario mediante el símbolo 11 200. Lo que es común a todas estas maneras de expresar los números, es el concepto de valor de posición. (Así también, la propiedad común de todos los cuadrados, rectángulos, rombos,

paralelogramos, con relación de lados contiguos muy distinta, cuyos ángulos pueden tener medidas muy diferentes y que pueden colocarse en muy variadas posiciones, nos llevará al concepto matemático del paralelogramo.) Una vez que hayamos hecho variar las cifras, las potencias y la base, ¿qué es lo que permanece? ¿En qué consiste esta abstracción matemática de valor de posición? Cada vez que escribimos un número, ordenamos según las potencias decrecientes de la base y el valor de cada cifra debe ser siempre inferior al valor de la base: un paso hacia la derecha nos lleva a la potencia inmediatamente inferior, mientras que un paso a la izquierda nos lleva a la potencia inmediatamente superior. Si una cifra alcanza o supera el valor de la base, es signo de que disponemos por lo menos de una unidad de sobra, que pertenece a la potencia inmediatamente superior.

Tal es el "esqueleto" del concepto de valor de posición y, a la luz del principio de variabilidad matemática, es a toda esa generalidad hacia donde debemos apuntar. Si además, como parece verosímil, la extensión del campo de aplicabilidad de un concepto está en razón directa de su generalidad, no debe desilusionarnos el resultado, una vez que lo hemos alcanzado. Es absolutamente cierto que un niño que haya adquirido el dominio de cualquier concepto en forma más general que otro, es capaz de aplicarlo en un dominio más vasto, porque todo concepto general se aplica ipso facto de modo más general que un concepto particular.

El Principio de constructibilidad nos advertirá que no debemos presentar a los niños estos hechos tal como se acaba de hacer para el lector. Lo que corresponde a éste es darse cuenta claramente de la estructura interna del trabajo de aprendizaje que puede llegar a tener que supervisar un día, mientras que el niño debe ser colocado ante el problema de tal modo que, partiendo de conceptos conocidos, pueda elaborar su nuevo concepto tal como si fuera una auténtica construcción; las conexiones lógicas entre una cosa y otra las percibirá más tarde. ¿Cómo debemos presentar a los niños una estructura matemática tan complicada? Es aquí donde nos puede ayudar el Principio dinámico. En la actual etapa, en la que suponemos que el niño tiene unos siete años, ya es capaz de operar algunos conceptos matemáticos, es decir, se han completado algunos ciclos y el niño sabe manipularlos. Podemos dar como establecido el número natural en su forma cuantitativa, es decir, podemos considerar el número cardinal como un concepto operante. Desde que se dispone de éste, quedan al alcance del niño los valores de las variables implicadas por el concepto en estudio; pero no ocurre lo mismo con el concepto de cifra (que tendrá diferentes significados según su posición), ni con los de potencia o de base de numeración. Por tanto, habrá que atender ampliamente al ciclo de maduración, manejando experiencias reales que lleven a esos conceptos y a su integración definitiva. Es de notar que muy raras veces, por no decir nunca, encontraremos esas experiencias en la vida real y habremos de crearlas artificialmente en la clase. Debemos suministrar al niño un material estructurado que lo conduzca por las direcciones indicadas; primero, al estadio inicial del juego, después a otro más estructurado que lo lleve hasta una penetración final, y ésa deberá ser continuada por juegos prácticos, a fin de que el nuevo concepto quede firmemente anclado en la vida cotidiana del niño.

Por otra parte, no debemos olvidar que es imposible realizar abstracción alguna a partir de un conjunto único de experiencias, y que hace falta variedad de éstas. Queremos aludir con ello al Principio de la variabilidad de la percepción. Con el objeto de desligar al niño del material y de conseguir que alcance el concepto abstracto —y no únicamente una asociación de ideas— introduciremos otro material, que pueda parecer tan distinto como nos sea posible del anterior, pero que conserve, sin embargo, la misma estructura matemática esencial. Manejando estos variados materiales podremos conseguir que nuestro niño acabe por darse cuenta de qué es lo permanente en la estructura, y esta "misma cosa", siempre presente, es la estructura matemática misma. Cuando el niño expresa tal estructura por un simbolismo matemático, utiliza este simbolismo para comunicar alguna información que él mismo ha descubierto, y no sólo como un conjunto de reglas que le habrán sido enseñadas, pero sobre las que nada habrá aprendido (...).

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 * Dienes, Zoltan, La construcción de las matemáticas, Barcelona, Vicens -Vives, 1970.

🔸La voz del poeta

La voz de Funes, desde la oscuridad, seguía hablando.

Me dijo que hacia 1886 había discurrido un sistema original de numeración y que en muy pocos días había rebasado el veinticuatro mil. No lo había escrito, porque lo pensado una sola vez ya no podía borrársele. Su primer estímulo, creo, fue el desagrado de que los treinta y tres orientales requirieran dos signos y tres palabras, en lugar de una sola palabra y un solo signo. Aplicó luego ese disparatado principio a los otros números. En lugar de siete mil trece, decía (por ejemplo) Máximo Pérez; en lugar de siete mil catorce, El Ferrocarril; otros números eran Luis Melián Lafinur, Olimar, azufre, los bastos, la ballena, el gas, la caldera, Napoleón, Agustín de Vedia. En lugar de quinientos, decía nueve. Cada palabra tenía un signo particular, una especie de marca; las últimas eran muy complicadas... Yo traté de explicarle que esa rapsodia de voces inconexas era precisamente lo contrario de un sistema de numeración. Le dije que decir 365 era decir tres centenas, seis decenas, cinco unidades; análisis que no existe en los 'números' El Negro Timoteo o manta de carne. Funes no me entendió o no quiso entenderme.

Jorge Luis Borges, "Funes el memorioso", en Ficciones, Buenos Aires, Emecé, 1956, pp. 124-125.

🔸Correría*

Lo que significa contar

TONY LÉVY

De e todos los poderes de la palabra, el de designar los números parece ser uno de los más arcaicos . ¿La "enumeración"  no consiste acaso en un ordenamiento, una organización de lo real y de las representaciones que de él se tienen? Las lenguas, en su diversidad, dan testimonio de ello.

Observemos, por ejemplo, el parentesco de la pareja de verbos que en algunas lenguas europeas designan la enumeración y el relato: compter/raconter (francés); contare/raccontare (italiano); contar/contar (español y portugués), comptar/contar (catalán); zählen/erzählen (alemán), y si bien el inglés utiliza hoy la palabra tale para designar un relato, el término teller se aplica tanto al narrador como a un cajero de banco. No es sorprendente, pues, encontrar esta proximidad en lenguas indoeuropeas más antiguas. Así, en sánscrito, número, sankhya, significa etimológicamente una manera de decir las cosas. La palabra griega logos, que se aplica tanto a la cuenta como a la palabra o relato, ha tomado sus diversas acepciones del antiguo significado del verbo lego: reunir, elegir, coger y, a partir de allí, contar, enumerar, numerar y, luego, relatar, decir. Asimismo, el término griego arithmos designa tanto el número, en sentido aritmético, como orden, el arreglo. Esta ambivalencia persistirá en el término latino numerus y sus derivados: el adjetivo numerosus significa numeroso y armonioso.

Si nos alejamos de las lenguas indoeuropeas, encontraremos en el árabe y el hebreo (lenguas semíticas) características similares. En árabe el cálculo se dice hisab, término construido a partir de la raíz de tres consonantes h.s.b.; el verbo contar se dice hasaba, que con un simple cambio de vocal se transforma en hasiba, imaginar, creer. El hebreo, por su parte, construye en torno a la misma raíz s.p.r. las palabras que designan el libro: sepher; el número: mispar; y el relato; sippur.

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*De El Correo de la Unesco, París, noviembre de 1993, año XLVI, p. 9.

Tomado de: Palacios, A. y Etcheverry, L. A. (2001). Contar bien es lo que cuenta, que contar cualquiera cuenta. Buenos Aires: Lumen

Te recomendamos leer: 

• Capítulo 1: Contar bien es lo que cuenta 
• Capítulo 2:  Magia del pensamiento