Hacia el concepto de número

 

Hacia el concepto de número. T. Dantzig

Los números. Z.P Dienes y E. W. Golding 

La voz del poeta. Pablo Neruda

Capítulo 4

🔸Hacia el concepto de número*

TOBIAS DANTZIG

En todas las épocas de la evolución humana, aun en las más atrasadas, se encuentra en el hombre una facultad que llamaremos, a falta de una mejor denominación, el sentido del número. El sentido del número no debe ser confundido con la facultad de contar, que es probablemente mucho más reciente, y que implica un fenómeno mental bastante más complicado.

La génesis del número está escondida detrás del impenetrable velo de las innumerables edades prehistóricas. ¿Ha nacido de la experiencia ese concepto, o en cambio la experiencia ha servido simplemente para hacer explícito lo que estaba ya latente en la mente del hombre primitivo?

La acción de contar es lo que ha consolidado la concreta y por consiguiente heterogénea noción de pluralidad, tan característica del hombre primitivo, en el concepto abstracto y homogéneo del número, concepto, éste, que ha hecho posible la matemática.

Parecería a primera vista que el procedimiento de correspondencia biunívoca sólo nos puede suministrar un medio de comparar dos conjuntos pero que es incapaz de crear el número en el sentido absoluto de la palabra; sin embargo, la transición del número relativo al absoluto no es difícil; basta crear conjuntos modelos, de los cuales cada uno caracteriza una agrupación posible. La evaluación de cualquier conjunto dado queda entonces reducida a la selección, entre los conjuntos modelos, de aquel que pueda ser puesto en correspondencia biunívoca con el conjunto dado. El hombre primitivo encuentra tales modelos en las cosas que lo rodean: las alas de un pájaro pueden simbolizar el número dos; las hojas del trébol el tres; las patas de un animal el cuatro; los dedos de la mano el cinco. Evidencias de que ése es el origen de los nombres de los números pueden encontrarse en varios idiomas primitivos.

Es claro que, una vez que el NOMBRE del número ha sido creado y adoptado, él se vuelve un MODELO tan útil como el objeto que representaba originariamente. La necesidad de distinguir entre el nombre del objeto de que nos servimos y el propio símbolo numérico (objeto) debe haber conducido naturalmente a producir un cambio en su expresión oral, hasta que finalmente, en el transcurso del tiempo, la conexión entre los dos desapareció completamente de la memoria. A medida que el hombre aprendió a servirse más y más de su lenguaje, los sonidos reemplazaron a las imágenes para las cuales fueron creados, y los modelos concretos originales tomaron la forma abstracta de los nombres de los números.

La memoria y el hábito dieron una forma concreta a estas abstracciones, y es así como simples palabras se transformaron en medidas de pluralidad.

Lo concreto ha precedido a lo abstracto. Bertrand Russell dice: "Deben haberse necesitado muchos siglos para descubrir que un par de faisanes y un par de días son, ambos, ejemplos del número dos." Un ejemplo notable del carácter extremadamente concreto del concepto primitivo de número nos está dado por la lengua Thimshian de una de las tribus de la Columbia Británica. Existen en ella siete conjuntos de términos numéricos diferentes: uno para los objetos chatos y los animales, otro para los objetos redondos y el tiempo, otro para contar personas, otro para los objetos grandes y árboles, otro para las canoas, otro para las medidas, y finalmente otro para contar los objetos distintos de los anteriores. El último es probablemente el resultado de un desarrollo posterior, los otros son reliquias de tiempos antiguos, en los que los indígenas no habían aprendido a contar.

El concepto antes descrito recibe el nombre de número cardinal. El número cardinal está basado sobre el principio de correspondencia, no implica la acción de contar.

Para crear el proceso de contar, no es suficiente disponer de una variada agrupación de modelos, por extensa que sea; es necesario que organicemos un sistema de números, que dispongamos nuestro conjunto de modelos según una sucesión ordenada, la sucesión natural: uno, dos, tres, Una vez creado este sistema, contar una colección significa asignar a cada elemento un término de la sucesión natural en el orden de la misma hasta que la colección se agote. El término de la sucesión natural asignado al último elemento de la colección es llamado el número ordinal de la colección.

El sistema ordinal puede tomar la forma concreta de un rosario, pero por supuesto esto no es indispensable. Un sistema ordinal adquiere existencia cuando la memoria ha registrado los nombres de los primeros números en el orden en que se suceden, cuando se ha imaginado un sistema fonético para para pasar de un número cualquiera,  por grande que sea, al siguiente. Nosotros hemos aprendido a pasar con tal facilidad del número cardinal al número ordinal, que los dos aspectos se nos presentan como uno solo. Cuando queremos determinar la pluralidad de una colección, o sea su número cardinal, no nos molestamos en encontrar una colección modelo con la cual podamos compararla, simplemente la contamos; y al hecho de haber aprendido a identificar los dos aspectos del número se deben nuestros progresos en matemática. En efecto, a pesar de que en la práctica es el número cardinal el que realmente nos interesa, este último es incapaz de servir de base a una aritmética. Las operaciones aritméticas están basadas sobre la hipótesis tácita de que siempre podemos pasar de un número cualquiera al siguiente, y ésta es la esencia del concepto de número ordinal. Y así, el apareamiento por sí solo es incapaz de crear un arte de calcular. Sin nuestra facultad de disponer los objetos en sucesión ordenada, pocos progresos podrían haberse obtenido.

Correspondencia y sucesión, los dos principios que impregnan toda la matemática, mejor dicho todos los dominios del pensamiento exacto, están entretejidos en la verdadera trama de nuestro sistema numérico.

El número cardinal está basado únicamente sobre la comparación.

El número ordinal requiere, a la vez, comparación y ordenación. En sus dedos, el hombre posee un artificio que le permite pasar imperceptiblemente del número cardinal al número ordinal. Cuando él quiere indicar que un conjunto contiene cuatro objetos, levanta o encoge cuatro dedos simultáneamente; pero si quiere contar este mismo conjunto, levanta o encoge los dedos sucesivamente. En el primer caso usa los dedos como un modelo cardinal y en el segundo como un sistema ordinal. El hombre debe sus progresos en el cálculo a sus diez dedos articulados; son estos dedos los que le han enseñado a contar y a extender indefinidamente el alcance del número.

Lo concreto ha precedido a lo abstracto. Y lo concreto ha sido siempre el mayor obstáculo para el desarrollo de la ciencia. La fascinación especial que los números considerados individualmente ejercieron sobre la mente del hombre desde tiempo inmemorial fue el obstáculo principal en el camino del desarrollo de la teoría colectiva de números, esto es, de la aritmética; del mismo modo que el interés concreto por las estrellas en particular dilató la creación de la astronomía científica.

El proceso de contar presupone la capacidad humana para clasificar varias percepciones subordinadas a la misma mente, y dar a cada clase un nombre; presupone la capacidad de aparear dos conjuntos, elemento por elemento, y asociar esos conjuntos con el nombre de un número, el cual no es más que el

modelo de una pluralidad dada. Presupone la capacidad para ordenar esos modelos en una sucesión y elaborar una sintaxis que nos permita una extensión indefinida de esas palabras numéricas. En resumen, el proceso de contar postula la existencia de un lenguaje, el cual es una institución que va más allá de la realidad subjetiva, conjunto de todas las impresiones sensitivas de un individuo.

La noción de pluralidad absoluta no es una facultad inherente a la mente humana. La génesis del número natural, o más bien de los números cardinales, puede hacerse remontar a nuestra facultad de aparear, la cual nos permite establecer correspondencias entre conjuntos. Las nociones de igual, menor y mayor son anteriores al concepto de número. Aprendimos a comparar antes de aprender a evaluar. La aritmética no comienza con números; comienza con criterios. Habiendo aprendido a aplicar estos criterios de mayor, igual y menor, puede franquear la etapa siguiente: la creación de modelos para cada tipo de pluralidad.

Uno, dos, tres, cuatro, cinco, ...; igual podríamos haber conservado: yo, alas, trébol, extremidades, mano, ..., formas que, según todos nuestros conocimientos actuales, precedieron a la denominación de nuestros días. El principio de correspondencia engendra los números naturales y mediante estos números domina toda la aritmética: las reglas según las cuales las pluralidades de conjuntos finitos fueron clasificadas.

El contar, proceso que a la par de frecuente es tan arraigado en el hombre, se presenta en él tan íntimamente vinculado con el pensar y con el hablar, que parece hasta poco concebible que vez alguna haya sido inventado o descubierto.

Epítome

Quede claro, entonces, el hilo vertebral de nuestro tema. Cuando los elementos de dos conjuntos pueden ser puestos en una correspondencia biunívoca, decimos que esos conjuntos tiene el mismo número de objetos, o que tienen el mismo número cardinal. Es posible establecer correspondencias biunívocas entre todos los conjuntos que tienen el mismo número cardinal. Estos conjuntos forman una familia de conjuntos asociados a ese número cardinal. Cada número cardinal tiene su propia familia de conjuntos. Por ejemplo, los conjuntos que constan de un único objeto pertenecen a la familia de conjuntos asociados con el número que llamamos uno. Los conjuntos de pares de objetos pertenecen a la familia de conjuntos asociados con el número que llamamos dos, etc. Cualquier conjunto que consideremos pertenece a una de esas familias. Cuando formulamos la pregunta: "¿Cuántos objetos hay en el conjunto?", en realidad equivale a preguntar: "¿A cuál familia de conjuntos pertenece?" Para contestar la pregunta seguimos este procedimiento: escogemos un conjunto de cada familia y lo utilizamos como un conjunto patrón para efectuar comparaciones. Comparamos el conjunto en el que estamos interesados, con estos conjuntos patrones, hasta que encontramos un conjunto con el cual puede ser puesto en correspondencia biunívoca. El método utilizado para contar es más complicado. Cuando contamos, establecemos una correspondencia biunívoca entre los objetos que estamos contando y los conjuntos de nombres de números que mencionamos. El primer objeto es comparado con el conjunto que consiste en la única palabra: uno. Los primeros dos son comparados con el conjunto que consiste en las palabras: uno, dos. Los tres primeros son comparados con el conjunto que consiste de las palabras: uno, dos, tres. Y así sucesivamente.

Utilizando los conjuntos patrones formados por los nombres de los números dispuestos en un cierto orden, introducimos una serie completa de operaciones de comparación y finalizamos con la respuesta a la pregunta: ¿Cuántos?

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*El número, lenguaje de la Ciencia, Buenos Aires, Hobbs-Sudamericana, 1971.

El intento educativo de aproximación al concepto de número debe contemplar las vertientes fundadas en los distintos criterios para el enfoque del problema. Si consideramos el trabajo de G. Frege, encontraremos en sus Fundamentos de la Aritmética que él comienza diciendo lo que los números no son: los números no son cosas materiales, ni conjuntos, montones o configuraciones de cosas materiales; y no son propiedades de cosas materiales. Pero tampoco son algo subjetivo. Y no se confunden con los signos que se refieren a ellos. ¿Qué son, pues, los números? Siguiendo su propio principio de no preguntar por el significado de las palabras aisladamente, sino en el contexto de los enunciados en que aparecen, Frege constata que los enunciados en que aparecen números dicen algo no acerca de objetos, sino acerca de conceptos.

Dicen Z.P. DIENES y E. W. GOLDING en CONJUNTOS, NÚMEROS Y POTENCIAS *

🔸2. LOS NÚMEROS

     2.1. Los números como propiedades de los conjuntos. Conjuntos equivalentes.

No se repetirá jamás bastante que el número no es una cosa. Es una propiedad, como el sonrosado de las mejillas o la oscuridad de la noche o la redondez de las curvas. Estas propiedades no son ni objetos reales, ni sucesos.

La redondez de una curva no es la misma curva. La oscuridad de la noche no es la misma noche. Son propiedades y no existen «concretamente»: del mismo modo los números, como dos, tres, etc., son propiedades de conjuntos de elementos a los cuales se refieren; «dos» es la propiedad de todo conjunto de dos objetos, «tres» es la propiedad de todo conjunto de tres objetos.

Para descubrir esta noción de propiedad numérica, es preciso que los niños jueguen con juegos de correspondencia uno a uno. Deben aprender a clasificar los conjuntos en conjuntos equivalentes. Por ejemplo, traigamos sombreros de papel a la clase y preguntemos a los niños si hay bastantes para que cada uno tenga uno. ¿Hay demasiados sombreros, o niños, o los precisos? Una vez terminada la distribución, habrá quizá niños sin sombrero, o demasiados sombreros y quedarán algunos en el suelo. O bien, si se ha calculado con precisión, habrá quizás exactamente tantos sombreros como niños. En este caso habremos establecido una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los sombreros y el conjunto de los niños de la clase.

Cuando una tal correspondencia se ha establecido entre dos conjuntos se dice que estos dos conjuntos son equivalentes. Decimos también que tienen la misma propiedad numérica. Por ejemplo, si hay cinco niños en grupo y les damos cinco sombreros, hay correspondencia uno a uno en el sentido que cada niño no tendrá más que un sombrero y que a todo sombrero corresponderá un niño y uno sólo. No habrá ningún niño sin sombrero ni ningún sombrero sin niño. La propiedad común a estos dos conjuntos, que los hace equivalentes por la posibilidad de establecer una correspondencia elemento a elemento, se llama propiedad cinco, antes de que los niños empiecen a escribir las cifras que simbolizan las propiedades numéricas, es indispensable que jueguen con juegos de correspondencias de este género, aunque sólo sea tomándose como elementos de un conjunto y utilizando los objetos de la clase para hacer conjuntos equivalentes, y así sucesivamente.

No es necesario que los conjuntos equivalentes pertenezcan a un mismo universo. Por ejemplo, se puede formar un conjunto de mesas de la clase y un conjunto de conjuntos de cuatro niños de la clase. Supongamos que haya veinticuatro niños y seis mesas. En este caso se pueden poner los conjuntos de cuatro niños en correspondencia uno a uno con el conjunto de mesas, colocando un conjunto de cuatro niños alrededor de cada mesa. Se notará que cada conjunto de cuatro niños tiene una mesa donde colocarse y que cada mesa tiene sus cuatro niños alrededor. No hay ninguna mesa sin conjunto de niños, ningún conjunto de niños sin mesa. En este caso, no hemos establecido una correspondencia entre el conjunto de niños y el conjunto de mesas, sino entre un conjunto de conjuntos de cuatro niños y el conjunto de las mesas. La propiedad común de estos dos conjuntos es, naturalmente, el número seis. El número cuatro no penetra más que de refilón.

Se puede jugar a tales juegos con los bloques lógicos. Por ejemplo, se notará que hay tantas piezas gruesas como delgadas y que es fácil establecer una correspondencia una a una entre cada pieza gruesa y la pieza delgada correspondiente. La mayor parte de los niños establecerán una correspondencia entre los otros atributos de una pieza gruesa que no sea el grosor, que unirán a una pieza delgada. De este modo, colocarán un círculo grande amarillo grueso con un círculo amarillo delgado, y así sucesivamente. No es necesario prohibírselo, pero si un niño sugiere proceder de otra forma, se le dejará hacer; aún más, ¡se le animará! No hay una única correspondencia uno a uno entre dos conjuntos, sino que hay muchas. No es obligatorio que cierto sombrero vaya sobre una cierta persona y sólo sobre ella. Todo sombrero de papel puede ir sobre cualquier niño, desde el momento en que no queda ningún sombrero sin niño ni ningún niño sin sombrero. Se pueden hacer corresponder uno a uno todos los bloques azules con todos los bloques amarillos y se verá, también aquí, que la propiedad numérica del conjunto de bloques azules es la misma que la propiedad numérica del conjunto de bloques amarillos, y que también es la misma que la de los bloques rojos. Se puede todavía hacer corresponder a los círculos azules los cuadrados amarillos. Hay tantos azules redondos como cuadrados amarillos, puesto que se pueden hacer corresponder término a término.

Se podrá, naturalmente, pedir a los niños que construyan conjuntos que no puedan ponerse de este modo en correspondencia. Por ejemplo, supongamos que se les dice: «tomemos los cuadrados azules y tomemos los rojos grandes». Hay, naturalmente, más elementos en el conjunto de los rojos grandes que en el conjunto de los cuadrados azules. Los elementos de estos dos conjuntos no pueden ponerse en correspondencia término a término. En el nivel de los números, decimos que el número de elementos del conjunto de los rojos grandes es mayor que el número de elementos del conjunto de los cuadrados azules. La posibilidad de establecer conjuntos en correspondencia conduce a la igualdad de sus pro- piedades numéricas y la imposibilidad a la desigualdad de estas propiedades.

Hay tres modos posibles de expresar la desigualdad. Se puede decir, por ejemplo, que el número de elementos del conjunto de los grandes azules no es el mismo que el número de elementos del conjunto de los cuadrados rojos. «Distinto» puede simbolizarse por un signo de igualdad, pero barrado (diferente de):

N {azules grandes} ≠ N {cuadrados rojos}

Se puede precisar la información diciendo que hay más elementos en el conjunto de los grandes azules que en el de los cuadrados rojos.

Esto se indica con el signo >

N {azules grandes} > N {cuadrados rojos}

Del mismo modo, si queremos indicar que hay menos elementos en el conjunto de los cuadrados rojos que en el de los azules grandes, empleamos el signo <.*

N {cuadrados rojos} < N {azules grandes}

En cuanto a la propiedad numérica en sí misma, se expresa, según acabamos de ver, colocando la letra N delante del signo del conjunto. Por ejemplo, escribimos la igualdad:

N  {cuadrados rojos} = N  {azules redondos}

y esta igualdad, es la de las propiedades numéricas de estos dos conjuntos. Sería, naturalmente, inexacto decir que el conjunto de los cuadrados rojos es el mismo que el conjunto de los círculos azules, mientras que no es inexacto decir que el número de elementos de estos conjuntos es el mismo. Así, acabamos de mostrar que nos podemos colocar en dos niveles diferentes cuando se habla de igualdad. Cuando dos conjuntos son iguales, el significado es muy diferente del que tiene cuando el número de elementos de estos conjuntos es el mismo. Además de esto, si queremos decir algo de la desigualdad, podemos escribir:

N {rojos grandes} > N {triángulos amarillos}

Esta notación traduce el hecho de que si queremos establecer una correspondencia entre el conjunto de rojos grandes y el conjunto de triángulos amarillos, va a quedar en el primer conjunto un cierto número de elementos a los cuales no corresponderá ningún elemento en el referido conjunto. En presencia de una tal situación, decimos que la propiedad numérica del primer conjunto es mayor que la propiedad numérica del segundo, és tan importante descubrir imposibilidades como el descubrir posibilidades. El hecho de que sea imposible establecer una correspondencia uno a uno conduce a la idea de desigualdad, es decir, a la negación de la propiedad de igualdad; la posibilidad de establecer una correspondencia uno a uno, conduce a la idea de igualdad entre las propiedades numéricas corrientes. (...)

__________

*Tomado de DIENES, Z. P. Y GOLDING, E.W. CONJUNTOS, NÚMEROS Y POTENCIAS (1968), Editorial TEIDE, BARCELONA.

🔸La voz del poeta 

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                                                          PABLO NERUDA*

Una mano hizo el número.

Juntó una piedrecita

con otra, un trueno

con un trueno,

un águila caída

con otra águila,

una flecha con otra 

y en la paciencia del granito

una mano

hizo dos incisiones, dos heridas,

dos surcos; nació el

número.

Creció el número dos y luego

el cuatro;

fueron saliendo todos

de una mano

el cinco, el seis,

el siete,

el ocho, el nueve, el cero

como huevos perpetuos

de un ave

dura

como la piedra,

que puso tantos números

sin gastarse, y adentro

del número otro número

y otro adentro del otro,

prolíferos, fecundos,

amargos, antagónicos,

numerando,

creciendo

en las montañas, en los intestinos,

en los jardines, en los subterráneos,

cayendo de los libros,

volando sobre Kansas y Morelia,

cubriéndonos, cegándonos, matándonos

desde las mesas, desde los bolsillos,

los números, los números,

los números.

__________

*Las manos del día, Buenos Aires, Losada,1975, p.49.

🔸Nos permitimos sugerirles a nuestros lectores conseguir y leer el excelente trabajo de María del Carmen Rencoret Bustos: Iniciación Matemática. Un modelo de jerarquía de enseñanza.(1994). Editorial Andrés Bello. Avenida Ricardo Lyon 946. Santiago de Chile.

La autora, de larga y destacada trayectoria académica, propone un modelo de jerarquía de enseñanza para la iniciación matemática que secuencia las habilidades cognitivas involucradas en el concepto de número, junto con las habilidades psicomotoras que posibilitan la escritura del numeral asociado. A continuación estudia, desde una perspectiva adulta, el concepto de número y su representación gráfica; luego define, explicita, analiza y ejemplifica cada una de las nociones o destrezas básicas comprometidas; y finalmente, sugiere una secuencia de objetivos específicos para el desarrollo de cada una de ellas.

Tomado de: Palacios, A. y Etcheverry, L. A. (2001). Contar bien es lo que cuenta, que contar cualquiera cuenta. Buenos Aires: Lumen

Te recomendamos leer: 

• Capítulo 1: Contar bien es lo que cuenta 
• Capítulo 2:  Magia del pensamiento
• Capítulo 3: La aventura de la matemática