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Oscar Alberto Varsavsky (*)
RELACIONES
En estas proposiciones:
Esta piedra es es negra
Pablo es inglés
se atribuye una propiedad a un objeto.En estas otras:
Alicia es amiga de Laura
Napoleón murió en 1819
Buenos Aires es la capital de la Argentina
también se dice que un objeto tiene una propiedad.Pero para definir estas últimas propiedades se ha tenido que hacer referencia a otro objeto o ente. En "es amiga de Laura" se menciona a "Laura". Si en vez de "Laura" dijera "Juana" se trataría de otra propiedad de Alicia. La proposición establece un vínculo, una relación entre Alicia y Laura. Esto es lo que, especialmente, nos interesa reconocer en el segundo grupo de oraciones: que la proposición da una relación entre el sujeto y el objeto mencionado en la propiedad. Así:
"es amiga de"
expresa una relación entre dos personas."murió en"
expresa una relación entre una persona y una fecha."es la capital de"
expresa una relación entre una ciudad y un país.Dar otras propiedades en las que se den estas mismas relaciones entre otros objetos.
Todas las proposiciones que se refieren a dos objetos nos dan relaciones. "H es abuelo de R" da la relación "ser abuelo" entre personas; "20 es menor que 25", la relación "menor" entre números. Otra importante relación entre números que se llama "sucesor" es la que existe entre cada número natural y el siguiente:"20 es seguido por 21".
Si a cada relación le ponemos como nombre una letra o cualquier otro símbolo, necesitaremos dos letras más para designar los dos objetos a que se refiere la relación. Así, si a la relación "es abuelo de" la representamos por A escribiremos:
aAp
para simbolizar "a es abuelo de p", donde a y p son los nombres de dos personas.
Si N simboliza "es la capital de",
rNm
se lee "r es la capital de m", donde r es el nombre de una ciudad, y m el nombre de un país.
Si ay b son números y S simboliza la relación de ser el siguiente o sucesor,
aSb
se leerá: " a es seguido por b". La relación "es menor que" entre números se usa tanto que ya tiene su símbolo propio: "< "
a < b
se lee "a es menor que b". Si a es 20 y b 21 la proposición que resulta "20 < 21" es verdadera. Si a es 21 y b es 20, la proposición "a < b" significa 21 < 20 lo cual es falso. Pero 21 < 20 es, lo mismo, una proposición. Cada vez que formemos una de estas proposiciones con una relación y dos objetos, si es verdadera la escribiremos sin hacer ninguna aclaración:
3 < 15 , Napoleón murió en 1819.
En cambio, si es falsa lo diremos explícitamente: 10 < 5 es falsa ; Napoleón murió en 1900 es falsa.
En símbolos, si R es una relación y a y b dos objetos,
aRb a secas, significará que aRb es verdadera.
Si es falsa, lo diremos.
Primero y segundo sujeto de una relación
En todos los ejemplos dados, el orden de los dos objetos es importante; vamos a llamarlos primer sujeto y segundo sujeto de la relación y tiene que estar claro cuál es el primero y cuál el segundo.
Al escribir pondremos siempre el primero a la izquierda y el segundo a la derecha del símbolo de la relación. Los dos sujetos forman un par ordenado.
En 20 < 21, el par ordenado está formado por 20 y 21, ese orden, y se lo escribe así: (20, 21).
En "Miguel es abuelo de Pablo" el par ordenado es (Miguel, Pablo).
Para la Gramática las proposiciones tienen un solo sujeto; por ejemplo, el sujeto gramatical de la oración "Alicia es amiga de Laura" es Alicia. Nosotros llamaremos sujeto tanto al sujeto gramatical como al otro objeto que interviene en la relación (Laura).
Satisfacer una relación
Formemos una proposición con la relación "desembocar en" y el par de sujetos (río Negro, Atlántico):
El río Negro desemboca en el Atlántico.
Ésta es una proposición verdadera. Se dice, entonces, que el par (río Negro, Atlántico) satisface o verifica la relación "desembocar en". Si, en cambio, formamos la proposición con el par (Amazonas, Mediterráneo):
El Amazonas desemboca en el Mediterráneo.
ha resultado una proposición falsa. Este par no satisface la relación "desemboca en". Tampoco el par (Atlántico, río Negro) la satisface: el Atlántico no desemboca en el río Negro.
Cuando se pregunta si un par satisface una relación esto debe venir ordenado. ¿Satisface el par: (Tierra, Luna) la relación "es satélite de"? ¿Y el par (Luna, Tierra)? ¿Algunos de estos pares: (Tierra, Júpiter), (Marte, Neptuno), (Neptuno, Marte), (Venus, Júpiter) satisface la relación "más grande que" ?
Busca algunos pares de personas, entre los que conoces, que verifique la relación "es compatriota de" y otros que no la verifiquen. Si "nació en" se toma como una relación entre personas y países dar tres ejemplos que la verifiquen y tres que no la verifiquen.
Se dice siempre que una relación hace corresponder el segundo sujeto al primero. Por ejemplo la relación "desemboca en", al río Negro le corresponde el Atlántico, al Danubio el mar Caspio, al Amazonas también el Atlántico.
Por eso las relaciones se llaman también correspondencias.
Ejemplos de relaciones matemáticas
1 La inclusión de conjuntos es otra relación cuyo símbolo conocemos:
A⊂B
tiene como primer sujeto al conjunto A incluido en el segundo, B.
También ⊂ y ≠ ; ⊃ ; ⊃ y ≠ son relaciones entre conjuntos.
2 La igualdad es una relación de gran importancia en matemática; puede referirse a conjuntos, a números y a muchas otras cosas. En este caso se trata de una relación simétrica:
Si a = b también b = a.
De modo que aquí el orden de los dos sujetos no tiene importancia. Pero la mayoría de las relaciones no son simétricas. Por eso, como ya dijimos, es esencial saber cuál de los dos sujetos es el primero.
3 La perpendicularidad entre rectas es una relación que se simboliza por "⊥". Si a y b son nombres de rectas,
a⊥b
significa "a es perpendicular a b "
¿Es simétrica o no?
4 La pertenencia - símbolo: ∈ - es también una relación entre un objeto, el primer sujeto, y un conjunto, el segundo sujeto.
a ∈ B
es una relación entre a y B.
No es simétrica.
5 Una relación útil y fácil es el producto cartesiano de dos conjuntos:
Si A y B son dos conjuntos, esta relación se simboliza A×B, y un objeto p está en la relación A× B con otro q simplemente si p está en A y q está en B:
p A×B q
significa p ∈A y q ∈ B
Los pares que satisfacen esta relación son todos los formados por un elemento de A y uno de B, en ese orden. Si A tiene n elementos y B tiene m, hay exactamente n×m pares de esos. Por eso la relación se llama producto.
6 Las negaciones de relaciones son también relaciones. "No es abuelo de" es una relación entre personas tan bien definida como "es abuelo de". Si a esta última la simbolizamos con A, es frecuente simbolizar a su negación con
o también ~A
Así, a las negaciones de las relaciones = , ∈, ⊂ , ya las hemos simbolizado:
≠, ∉, ⊄ .
La negación de < entre números puede escribirse
. 
Pero si
es porque a es igual o mayor que c.
La relación "mayor o igual" se simboliza siempre ≥ .
Entonces
es lo mismo que ≥.
<, ≤, >, ≥ son relaciones entre números.
Definir una relación
¿Cuándo diremos que una relación está bien definida? Al hablar de conjuntos se dijo que un conjunto está bien definido cuando se puede decir de un objeto cualquiera si pertenece o no a él.
Las relaciones se refieren a un par ordenado de objetos: dos objetos que llamamos primero y segundo sujeto. Una relación está bien definida si se puede decir de cualquier par ordenado, si satisface la relación o no.
La relación < está bien definida, porque cualquiera sea el par ordenado de números que se elija (3, 8),
(9, 1), etc., siempre puedo decir si ese par satisface la relación < o no. Y si alguno de los objetos no es un número, seguro que no la satisface.
Pero un par como (3, 8) satisface la relación < si la proposición " 3 es menor que 8 " es cierta. Un par ordenado satisface una relación si la proposición que se forma con la relación y ese par, es verdadera.
Por lo tanto:
Una relación R está bien definida si, para cualquier par ordenado de objetos, (v, w) se puede decir si la proposición vRw es verdadera o no.
Veamos qué precauciones hay que tomar para que una relación esté bien definida, para que no haya dudas sobre cuáles son los pares de sujetos que la satisfacen.
La relación "es abuelo de", ¿está bien definida?
Vamos a admitir que siempre es posible averiguar si una persona es abuela de otra. Entonces de cualquier proposición como "Juan es abuelo de Pedro" (formada con un par de personas y la relación) se podrá decir si es verdadera o no. O sea, "es abuelo de" es una relación bien definida.
Sin embargo aparece esta duda: ¿aceptaremos que un animal se llama abuelo de otro o reservaremos esta palabra solo para personas? Cualquiera de las dos cosas se puede hacer; eso dependerá del asunto que se esté tratando. Pero lo que pide la Matemática es que se diga explícitamente en cada caso si la relación se aplicará solo a personas o también a animales; si no, no se podrá decir cuáles son los pares de sujetos que la satisfacen.
La relación < , o sea 'es menor que", se usa en general entre números, pero también es usual decir "Juan es menor que Pedro", refiriéndonos a la edad.
¿ Escribiremos eso: "Juan < Pedro"? Si nos resulta útil, sí, pero entonces tenemos que aclarar que vamos a usar < para relacionar personas según sus edades.
Aun si nos limitamos a los números, como hay distintas clases de números (naturales, enteros, fracciones, etc.), hay que decir si la relación < se va a usar para cualquiera de ellas o solo para números naturales o fracciones, etc., únicamente.
Con la relación = sucede lo mismo. Hay que decir si se refiere a números, a conjuntos o a objetos en general. Los pares que satisfacen la igualdad entre números son pares de números y los que satisfacen la igualdad entre conjuntos, son pares de conjuntos.
Se ve, entonces, que una de las precauciones que debe tomarse para que una relación esté bien definida es aclarar con qué extensión o alcance se va a usar.
Ejercicio
Definir bien las relaciones:
a) "ser primo de"
b) "desembocar en"
c) "amar a"
d) "ser múltiplo de"
e) "ser paralelo a"
f) "ser profesor de"
g) "ser más lento que"
h) "ser semejante a"
Para definir bien estas relaciones falta solo decir cuál es su alcance y rango. Por ejemplo: a) persona-personas; b) ríos-mares; c) personas-animales; d) N-N; e) rectas- rectas o planos; f) personas-materia;
g)aviones -aviones; h) triángulos-triángulos.
Alcance y rango de una relación
Nos dan una relación, como "p es la capital de q", y nos interesa averiguar qué pares de objetos satisfacen esa relación. Para eso no hace falta probar con todos los pares de objetos. Si p es un perro o si q es un número, es evidente que la proposición "p es la capital de q" es falsa (y además ridícula).Solo vale la pena probar con ciudades y países.
Es muy común que en una relación los posibles primeros sujetos no sean todos los objetos del universo sino que sea suficiente considerar un conjunto especial (como las ciudades), que llamaremos el alcance de la relación. Para los segundos sujetos el conjunto análogo se llama el rango de la relación.
Al dar el alcance y el rango, aclaramos y simplificamos la tarea de averiguar cuáles son los pares que satisfacen la relación, pero atención, lo importante es conocer estos pares.
El alcance es, pues, un conjunto en el que ponemos todos los posibles primeros sujetos de la relación.
El rango está formado por todos los segundos sujetos que nos interesa considerar.
Si en "abuelo de" reunimos los dos géneros, (abuelo o abuela), el alcance y también el rango de "ser abuelo", es el conjunto de todas las personas. Si hacemos la diferencia de géneros, "ser abuelo" tiene por alcance {todos los varones} y por rango {todas las personas}
En "a es el marido de b " el alcance es {varones} y el rango {mujeres}.
En la relación "a es la capital de b" el alcance es el conjunto {ciudades} y el rango es {países}. Podríamos también limitar el alcance a {ciudades importantes}
∈ es una relación entre un elemento y un conjunto. El alcance de ∈ comprende a todos los elementos y el rango a todos los conjuntos.
⊂ tiene por alcance todos los conjuntos y por rango, también.
Si aSb significa "el número siguiente de a es b" entonces el alcance y el rango de S podrían coincidir con N .
También podemos tomar N como alcance y rango de las relaciones:
"a es el triple de b"
"a es la mitad de b "
Pero entonces no sería cierto que " 3/2 es la mitad de 3" pues 3/2 ∉ N. Por lo tanto, si necesitamos hablar de la mitad de 3, hay que darle a la relación "mitad", un alcance más amplio que N.[...]
Tomado de: Varsavsky , O. (1964). Álgebra para escuelas secundarias.Tomo 1. Buenos Aires: EUDEBA. (Existe también el tomo 2 de esta obra)
(*)Oscar Alberto Varsavsky
Uno de los primeros y más destacados especialistas mundiales en la elaboración de modelos matemáticos aplicados a las ciencias sociales, y en sus últimos años profundizó en el estudio de la Historia y la Epistemología.
Se graduó como doctor en Química en la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad de Buenos Aires. En esta Facultad se desempeñaría luego en forma sucesiva como auxiliar de laboratorio de Fisicoquímica, jefe de trabajos prácticos de Análisis Matemático, profesor adjunto de Álgebra y Topología y profesor con dedicación exclusiva del Departamento de Matemática.
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