Aprender a leer y a escribir en matemática. Las nociones conjuntistas básicas.

César A.Trejo (*)

2.Las nociones conjuntistas básicas.

2.1 La noción de conjunto

2.1.1 Para definir un determinado conjunto hay que decir con precisión cuáles son los elementos que lo componen. Esto puede hacerse de dos maneras: por comprensión (2.1.2) y por extensión (2.1.5), pero la segunda sólo es aplicable a los conjuntos finitos.

2.1.2 DEFINICIÓN. Se dice que el conjunto C se define por comprensión si se da una propiedad que caracterice a sus elementos.

2.1.3 NOTACIÓN. El conjunto C definido por comprensión mediante la propiedad P se menciona así: C es el conjunto de los x tales que x tiene la propiedad P. Y se anota así:

C = { x/x tiene la propiedad P}, (1)

mediante dos símbolos: llaves{ }, que se lee con la frase "conjunto de los", antepuesta a su contenido, y barra, que se lee "tales que".

2.1.4 EJEMPLOS

A = {x/x es entero mayor que 3 y menor que 7}, (2)

B = {x/x es entero primo mayor que 3 y menor que 7}. (3)

Todos los elementos de A son: 4, 5, 6. El único elemento de B es 5.

2.1.5 DEFINICIÓN. Se dice que el conjunto finito C se define por extensión o enumeración si se da una lista explícita de todos sus elementos.

2.1.6 NOTACIÓN Y EJEMPLOS. Un conjunto definido por extensión se anota colocando entre llaves los nombres de sus elementos, separados por comas. Así, los conjuntos (2) y (3) se anotan respectivamente así:

A = {4, 5, 6}; B = {5},

Un conjunto de un solo elemento se llama conjunto unitario. Ejemplo, B = { 5 }.

2.2 Pertenencia e inclusión

2.2.1 DEFINICIÓN. Si x es elemento del conjunto C se dice que x pertenece a C, y se escribe x ∈ C. Para indicar que x no pertenece a C se escribe x ∉ C.

Por ejemplo, si N es el conjunto de los números naturales, se tiene:

1 ∈ N, -3 ∉ N, 1/2 ∉ N.

2.2.2 DEFINICIÓN. Se dice que el conjunto A está incluido en el conjunto B, y se anota A⊂ B, si todos los elementos que pertenecen a A pertenecen también a B.

Si A ⊂ B, se dice también que A es parte de B o subconjunto de B y que el conjunto B incluye al conjunto A, y se anota B ⊃ A.

Para indicar que A no está incluido en B se escribe A ⊄ B.

2.2.3 Las fórmulas A ⊂ B y B ⊃ A, equivalentes por definición, se ilustran en el diagrama de la figura 4. Si no vale ninguna de las inclusiones

A ⊂ B, B ⊂ A, los conjuntos A y B se llaman incomparables por inclusión; en tal caso, según que tengan elementos comunes o no, se representan respectivamente por los diagramas de las figuras 5 y 6. Los diagramas como los de las figuras 4 a 6 se llaman diagramas de Venn.

2.3 La primera etapa del enfoque conjuntista

2.3.1 Consideremos ahora la primera de las cuatro cuestiones planteadas en 1.4, a saber:

¿Qué significa adoptar el punto de vista conjuntista en la enseñanza de la matemática?

Por de pronto, no quiere decir simplemente "enseñar teoría de conjuntos". Significa más bien, como iremos viendo, guiar la enseñanza según los cauces señalados por la teoría de conjuntos, dando al alumno, en cada etapa, el mínimo de nociones conjuntistas explícitas que le permitan seguir con comodidad esos cauces.

2.3.2 La noción de conjunto puede abordarse en todos los niveles, aun en el primario, como lo han hecho G. Gattegno, L. Félix y otros. Con ello se graban desde muy temprano ideas muy simples, que a la vez tienen fuerte proyección general en el sentido de que impregnan todos los sectores de la matemática.

2.3.3 Suponiendo que el alumno no ha adquirido conocimientos sobre conjuntos en el ciclo primario, podríamos comenzar introduciendo en el primer año del ciclo medio el lenguaje conjuntista básico y las nociones y símbolos referentes a las relaciones conjuntistas fundamentales, que son las de pertenencia e inclusión.

Este primer enfoque debe ser muy llano y simple, con ejemplos sencillos de la vida diaria y de la matemática, y muchos diagramas de Venn. En esta primera etapa se evita toda consideración crítica, y obviamente no podrá pretenderse que el alumno asimile una exposición formalizada, pero sí que adquiera la capacidad de dar cortos enunciados claros y precisos cuyo sentido haya asimilado cabalmente mediante ejemplos sencillos.

2.3.4 Pueden plantearse en esta etapa ejercicios que lleguen como máximo al nivel de los siguientes:

a. Sobre las maneras de definir un conjunto (ver 2.1)

(i) Definir por comprensión la superficie esférica de centro O y radio r.

(ii) Decir qué es el conjunto

{X/X es un punto cuya distancia a una recta e es r},

1°) en geometría del espacio;

2°) en geometría plana.

(iii) Definir por comprensión el conjunto C = {a, b, c} .

(iv) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto{a, b, c}?

[Respuestas:

(i) {X/X es un punto cuya distancia al punto O es r }.

(ii) 1°) La superficie cilíndrica circular de eje e y radio r;

2°) La figura formada por los puntos de un par de rectas paralelas a e, a la distancia r de ella.

(iii) C = {x|x = a ó x = b ó x = c}.

(iv) Tres si a ≠b ≠ c , 2 si hay dos y sólo dos elementos iguales, y 1 si es a = b = c.]

b. Sobre pertenencia e inclusión (ver 2.2)

(i) Con referencia a la figura 7, en la cual r es una recta del plano π, y P es un punto de la recta r, decir cuáles de las fórmulas siguientes son verdaderas:

P ⊂ r, P ∈ r, {P} ∈ {r}, {P} ⊂ {r}, {P},⊂ r, {r} ∈ π, r ∈ π, r ⊂ π

(ii) Sea C={1,2,3). Decir cuáles de las siguientes fórmulas son verdaderas:

C ⊃{1}, 4/2 ∈ C, 1⊂ C, {1}∈ C, 1∈ C.

[Respuestas:

(i) P ∈ r, {P} ⊂ r y г ⊂ π.

(ii) C ⊃ {1}, 4/2 ∈ C y 1∈ C.]

2.3.5 En este primer enfoque ni siquiera conviene hablar al alumno de los riesgos de errar entre pertenencia e inclusión, presentes al comienzo sobre todo al considerar conjuntos cuyos elementos son a su vez conjuntos; simplemente se elude por el momento la consideración de tales conjuntos "complicados".

Por ejemplo es todavía inconveniente un ejercicio como el que sigue:

Sea C = {1, {1, 2}, 3}. Decir cuáles de las siguientes fórmulas son verdaderas:

{1,2} ∈ C, {1,3} ⊂ C, {1,2} ⊂ C, 2 ∈ C, 3 ∈ C, 1∈ C.

[Respuesta: Las dos primeras y las dos últimas.]

El ejercicio precedente no es adecuado para esta etapa debido a que uno de los elementos del conjunto C es a su vez un conjunto, y esto origina un grado de "sofisticación" que el alumno no está aún en condiciones de aceptar.

2.3.6 En el capítulo 3 recordaremos las propiedades fundamentales de las operaciones de Boole con conjuntos: intersección, unión y complementación. Pues bien, también pueden introducirse en esta primera etapa las operaciones de intersección y de unión, preferentemente en este orden porque la intersección se presenta con más frecuencia. La introducción de estas operaciones debe hacerse en forma espaciada para evitar riesgos de confusión, aumentados por la similitud de los símbolos de inclusión ⊂, intersección ∩ y unión U. En cada momento deben usarse los símbolos ya introducidos, en forma frecuente y en fórmulas simples.

2.3.7 En cambio no conviene entrar aún en desarrollos sistemáticos del álgebra de Boole de conjuntos. Por lo tanto es innecesario e inconveniente hablar ahora, por ejemplo, del conjunto vacío. Notemos que el conjunto vacío ∅ se necesita en el álgebra de Boole para enunciar ciertas proposiciones válidas para todo conjunto A, mediante fórmulas como éstas:

A U ∅ = A, Α ∩ ∅ = ∅.

Pero hasta tanto no se entre en el estudio sistemático del álgebra de Boole el conjunto vacío no es necesario en la enseñanza. Por ejemplo para expresar que dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, en lugar de

A ∩ B = ∅

se puede poner

A disj B (A es disjunto con B).

Conviene postergar la introducción del conjunto vacío pues si la idea general de conjunto, tal como la concibe la matemática, es ya una considerable abstracción, la idea de conjunto vacío requiere una abstracción mayor aún, y da lugar a situaciones un tanto extrañas para el alumno. Por ejemplo ∅ es subconjunto de cualquier conjunto y a la vez es disjunto con él, en particular es disjunto consigo mismo, etcétera.

2.4 Inclusión e implicación. Condiciones necesarias y condiciones suficientes

2.4.1 En virtud de 2.2.2, decir que

A ⊂ B, (1)

equivale a decir que

si x ∈ A, entonces x ∈ B (2)

A su vez, (2) significa que de la fórmula x ∈ A se deduce la fórmula x ∈ B. O sea:

x ∈ A implica x ∈ B,

y esto último se escribe, con el símbolo de implicación ⇒ , así:

x ∈ A ⇒ x ∈ B. (3)

Entonces, la inclusión (1) equivale a la implicación (3).

Por ejemplo, si

(2) = {xlx es múltiplo entero de 2}, (4)

(4) = {xlx es múltiplo entero de 4}, (5)

se tiene

(4) ⊂ (2)

pues vale la implicación

x ∈(4) ⇒ x ∈ (2),

o sea: si x es múltiplo de 4, entonces x es múltiplo de 2.

2.4.2 Supongamos que los conjuntos A y B estén dados por comprensión así:

A = { t/t tiene la propiedad P}, (6)

B = {t/t tiene la propiedad Q}. (7)

Puesto que

x ∈ A equivale a: x tiene la propiedad P,

x ∈ B equivale a: x tiene la propiedad Q,

la implicación (3) equivale a esta otra,

x tiene la propiedad P ⇒ x tiene la propiedad Q,

que se expresa brevemente así:

P ⇒ Q, (8)

o sea: la propiedad P implica la propiedad Q.

2.4.3 Si vale la implicación (8) se dice también que

P es condición suficiente para Q, (9)

pues basta, o es suficiente, que se cumpla P para que entonces se cumpla Q. Se dice también que

Q es condición necesaria para P, (10)

pues si se cumple P es necesario que se cumpla Q.

2.4.4 Son equivalentes las cuatro afirmaciones que siguen (fig. 8):

A⊂ B

x ∈ A ⇒ x ∈ B

x ∈ A es condición suficiente para x ∈ B

x ∈ B es condición necesaria para x ∈ A .

2.5 La idea de demostración

2.5.1 En 2.4 hemos relacionado un concepto conjuntista con uno de lógica: el concepto de implicación. Este último se vincula con la noción intuitiva de demostración que el niño viene adquiriendo paso a paso y debe desarrollar intensamente desde esta etapa.

2.5.2 En la época del primer contacto del niño con la geometría, ésta fue un estudio descriptivo de propiedades obtenidas solamente por la observación la experiencia. Pero ya desde entonces comienza en

el niño un proceso mental de toma de conciencia de que esas se relacionan unas con otras y de que a partir de algunas se obtienen otras. Ahora debemos explicitarle el resultado de esta evolución mediante el concepto de demostración.

2.5.3 Consideremos por ejemplo los siguientes pasos:

1°) Mediante observaciones y adecuadas experiencias se pueden obtener las proposiciones:

Dos puntos distintos A y B pertenecen a una recta y sólo a una; (1)

Si dos puntos distintos A y B pertenecen a un plano, la recta AB

que determinan está incluida en ese plano; (2)

En todo plano hay tres puntos no alineados; (3)

Tres puntos no alineados A, B, C pertenecen a un plano y

sólo a uno .(4)

2º) Después de obtener estas propiedades podemos provocar o formular esta pregunta:

¿Seguiremos así, enunciando propiedades obtenidas solamente

por la observación y la experiencia? (5)

3°) Una respuesta, aunque muy elaborada, podría ser:

No, porque la geometría es una parte de la matemática, y el

método de la matemática consiste en partir de ciertas proposiciones

admitidas para demostrar o probar o deducir con

ellas, otras proposiciones. (6)

Para que el niño comprenda qué quiere decir esta respuesta (6) (y otras más simples que deben precederle; la secuencia anterior es muy esquemática) es necesario aclarar qué significa demostrar o deducir.

Esto último puede hacerse mediante ejemplos sencillos, comenzando con algunos tomados de la vida diaria. Así, de las proposiciones

Juan es hermano de Pedro

Juancito es hijo de Juan (7)

Pedrito es hijo de Pedro

se deducen las proposiciones:

Pedro es hermano de Juan

Juan es el padre de Juancito (8)

Juan es tio de Pedrito.

Si sabemos que las proposiciones (7) son verdaderas, no necesitamos que nos den información alguna para saber que también las proposiciones (8) son verdaderas.

2.5.4 Este es el momento de dar significados precisos a palabras como definición (ilustrada con las definiciones ya enunciadas, y otras) y las de origen griego problema (προβλημα: de προβαλλειν, lanzar hacia adelante) y teorema (θεώρημα; de θεώρειν, examinar). Destaquemos que no importa tanto que el niño sea capaz de explicar el método de la matemática como que lo use; o sea que haga demostraciones y descubra propiedades que no conocía a partir de otras que conoce (véase 6.4).

2.5.5 En esta etapa hará el niño demostraciones matemáticas acaso por primera vez en su vida. No es fácil que comprenda en seguida lo que significa "demostrar", pero es muy importante que llegue a comprenderlo cabalmente. Captar la idea de demostración, y más adelante la más elaborada de sistema deductivo, es una conquista cultural importante y difícil. La maduración gradual de estas ideas es una actividad mental básica del alumno, que se traduce en la progresiva toma de conciencia de ir asimilando un todo, con unidad, lógicamente estructurado.

2.5.6 Afirma el célebre lógico-matemático E. W. Beth [11]: "El papel de la formación matemática en la enseñanza secundaria consiste casi exclusivamente, en mi opinión, en familiarizar a los alumnos con el

método deductivo". El problema, que aquí sólo cabe señalar, consiste en determinar cuáles son los medios didácticos idóneos para esa finalidad: familiarizar a los alumnos con el método deductivo.

2.6 Igualdad de conjuntos y equivalencia lógica

2.6.1 DEFINICIÓN. Se dice que el conjunto A es igual al conjunto B, y se anota A = B, si se verifican las dos inclusiones siguientes:

A ⊂ B, B ⊂ A. (1)

Para indicar que A no es igual a B se escribe A ≠ B.

2.6.2 La definición dada en 2.6.1 expresa que A = B si y sólo si A y B tienen los mismos elementos. En otras palabras:

Un conjunto está determinado por sus elementos. (2)

2.6.3 La igualdad de conjuntos se relaciona con la equivalencia lógica. Para dos proposiciones P y Q pondremos:

P ⇔ Q, (3)

que se lee "P es equivalente a Q", si se verifican las dos implicaciones:

P ⇒ Q, Q ⇒ P. (4)

La igualdad de conjuntos A = B equivale a las dos inclusiones (1). Estas inclusiones, en virtud de 2.4.1, son respectivamente equivalentes a las implicaciones

x ∈ A ⇒ x ∈ B, x ∈ B ⇒ x ∈ A . (5)

cuya validez conjunta se expresa por

x ∈ A ⇔ x ∈ B, (6)

Conclusión: La igualdad de conjuntos A = B significa lo mismo que la equivalencia lógica (6).

2.6.4 Con las locuciones de 2.6.3, la equivalencia lógica

P ⇔ Q

significa que valen las afirmaciones (equivalentes a P ⇒ Q):

P es condición suficiente para Q, (7)

Q es condición necesaria para P; (7')

y las afirmaciones (equivalentes a Q ⇒ P):

Q es condición suficiente para P, (8)

P es condición necesaria para Q. (8')

La equivalencia P ⇔ Q se expresa entonces por un enunciado cualquiera del primer grupo, juntamente con uno cualquiera del segundo.

Son usuales estas locuciones:

(8') y (7): P es condición necesaria y suficiente para Q,

(7') y (8): Q es condición necesaria y suficiente para P.

2.7 La implantación del lenguaje conjuntista

2.7.1 Una de las virtudes —aunque no la menor— del enfoque conjuntista es dar al lenguaje matemático una gran sencillez y generalidad, a la vez que una precisión que elimina dudas, oscuridades y equívocos.

Para ver cómo el lenguaje conjuntista revela imprecisiones del lenguaje ordinario consideremos un ejemplo en el cual aquél separa nítidamente tres significados del verbo ser. Llamemos P al conjunto de los números pares, Z al conjunto de los números enteros, y consideremos estos tres enunciados con el verbo ser:

(i) 4 es el resultado de sumar 2 y 2;

(ii) x es un número par;

(iii) Los números pares son enteros.

En lenguaje matemático-conjuntista estos enunciados expresan, respectivamente:

(i) Una igualdad: 4 = 2 + 2; (1)

(ii) Una pertenencia: x ∈ P; (2)

(iii) Una inclusión: P ⊂ Z.

2.7.2 Muchas imprecisiones del lenguaje ordinario se trasladan al lenguaje tradicional no-conjuntista. Mostremos detenidamente, con un ejemplo sencillo, los graves inconvenientes de esta contaminación y cómo ésta se elimina sin esfuerzo con sólo adoptar el lenguaje conjuntista.

a. Una igualdad

x = y (3)

expresa que x e y son dos símbolos diferentes para denotar la misma cosa. Se escribe x = y toda vez que un objeto, al considerárselo de dos maneras diferentes, recibe dos denominaciones, pero luego se advierte que se trata del mismo objeto. Por ejemplo, si se llama x al número 2 + 2 e y al número 2 X 2, al notar que x e y son el mismo número pondremos x = y ó 2 + 2 = 2 X 2.

b. De las igualdades (3) y x' y se deduce la igualdad x = x'.

c. Para expresar que un entero a es múltiplo de un entero se usaba antiguamente la notación

que se lee

(4)

a es igual a un múltiplo de b. (5)

Por ejemplo

(6)

d. Entonces,

denota "un múltiplo de 2"; uno cualquiera, no determinado. Por tanto en la "igualdad" (6) el segundo miembro no indica un número determinado, sino uno cualquiera de entre varios (por ejemplo, 2, 4, 8, 24, etcétera); y la "igualdad" denota tan sólo que uno de ellos es el mismo número que está anotado en el primer miembro.

e. Pero entonces la "igualdad" (6) no es una igualdad en el único sentido auténtico, que es el señalado en a. Sólo tiene la apariencia de una igualdad debido a la presencia del signo = ; pero este signo está usado en (6) con un significado diferente del que le hemos asignado en a.

f. Entonces la notación (6) para indicar que 8 es múltiplo de 2 es muy inconveniente, pues induce a considerar a (6) como una igualdad. Si (6) y

(7)

fueran igualdades, se deduciría de ellas, como en b, la igualdad numérica

8 = 4, (8)

que sabemos que es falsa.

g. Con lenguaje conjuntista es muy fácil expresar la proposición (5) por una sencilla fórmula. Indiquemos con (b) el conjunto de los múltiplos enteros de b, o sea, pongamos (*)

(b) = {xlx es múltiplo entero de b}. (9)

Entonces (5) se expresa por la pertenencia

a ∈ (b), (10)

es decir, no por una igualdad ni por algo que pueda confundirse con una igualdad.

(*) En el anillo Z de los enteros, el ideal generado por el entero b, que se indica (b), está formado por los múltiplos de b.

Por ejemplo

(2) = { xlx es múltiplo entero de 2};

algunos elementos de (2) son

2, 4, 8, 24,

es decir, se tiene:

2∈ (2), 4 ∈ (2), 8 ∈ (2), 24 ∈ (2),

y se expresará que 8 es múltiplo de 2, no por la fórmula (6) que podría confundirse con una igualdad, sino por la pertenencia

8 ∈ (2). (6')

Análogamente, en lugar de la "igualdad" (7) tendremos

4 ∈ (2), (7')

y nadie caería en la confusión de deducir de (6') y (7') la igualdad falsa (8), 8 = 4, pues dos elementos de un mismo conjunto no tienen por qué ser iguales, o sea, el mismo elemento.

2.7.3 La situación señalada en 2.7.2 se presenta en otros temas, y requiere un remedio igualmente eficaz dado por el enfoque conjuntista. Veamos un ejemplo más.

Es conocida la conveniencia de introducir tempranamente el valor absoluto de un número, pues es el único recurso elemental para señalar correctamente los signos de algunas expresiones. Por ejemplo, para expresar mediante una fórmula la proposición

2 es la raíz cuadrada positiva de 4, (11)

es correcto escribir

2 = |√4|, (12)

pero es incorrecto escribir

2 = + √4. (13)

En efecto, así como da lo mismo escribir 2 ó +2, y da lo mismo escribir -2 ó + (-2) también

da lo mismo escribir √4 ó + √4.

(En resumen, el signo + antepuesto a un término cualquiera es superfluo.)

Es de uso frecuente la notación

√4 = ± 2, (14)

pero aquí es fundamental establecer claramente qué significa el doble signo. La operación raíz cuadrada aplicada a 4 da como resultado un conjunto de números formado por 2 y -2, es decir, el conjunto (2, -2). Entonces conviene considerar la "igualdad" (14) como una abreviatura o "abuso de notación" para indicar la igualdad conjuntista:

√4 = {2,-2}. (15)

Si en (14) eligiéramos uno y otro signo tendríamos las igualdades

2 = √4, √4 = 2 (16)

y operando sin sentido crítico deduciríamos de ellas, por transitividad, la igualdad falsa:

2 = -2. (17)

En cambio, el significado conjuntista de (14) dado por (15) aclara perfectamente todo. En particular, muestra que en lugar de las igualdades (16) corresponden las pertenencias

2 ∈√4, -2 ∈ √4,

de las cuales no se deduce la igualdad falsa (17)

2.7.4 ¿A qué se debe la eficacia mucho mayor del lenguaje conjuntista? Por de pronto, una virtud que avala el enfoque conjuntista es que reposa sobre bases firmes y concretas. Al respecto afirma M. Dumont en su artículo "La pensée ensembliste, le langage et... la pédagogie" incluido en la recopilación de G. Mialaret [9]: "Pero, ¿para qué sirve un pensamiento conjuntista? Esencialmente para trabajar sobre lo concreto, sobre los objetos que se ven, se tocan. La propiedad 'ser rojo' no se ve. Son los objetos rojos los que se ven. El conjunto de los objetos rojos es concreto. La propiedad misma no lo es". (Véase 4.6.3.)

2.7.5 El pensamiento conjuntista da precisión y claridad al lenguaje, pero a la vez exige que el lenguaje ordinario con el cual se lo expresa sea claro y preciso. Un enunciado como éste:

Si las rectas r y s tienen un punto común, son secantes, (18)

es un ejemplo de imprecisión. No basta con ver que las rectas tienen un punto común para concluir que son secantes; por ejemplo, las rectas r y s de la figura 9

tienen el punto común P y no son secantes. La locución imprecisa:

un punto común

admite dos interpretaciones precisas, pero diferentes:

un punto común por lo menos, (19)

un punto común y sólo uno; (20)

con la primera, el enunciado (18) es falso, con la segunda es verdadero. La propiedad válida que ha querido expresarse con (18) es, pues:

si las rectas r y s tienen un punto común (21)

y sólo uno son secantes.

La proposición (21) es consecuencia de la siguiente, de alcance más delimitado:

Las rectas r y s son secantes si y sólo si

tienen un punto común y sólo uno. (22)

Si bien esta proposición (22) es precisa y verdadera, conviene destacar que vale por definición de rectas secantes, mediante un enunciado como este:

Las rectas r y s se llaman secantes si (23)

tienen un punto común y sólo uno.

Este enunciado es lógicamente inobjetable: está exento de imprecisiones y su forma pone en evidencia que se trata de una definición. Sin embargo no es aún el más conveniente desde el punto de vista conjuntista. En 4.5.1 veremos cómo se lo puede transformar para ubicarlo en un contexto de mayor proyección o vigencia general en la matemática, para lo cual se lo debe encuadrar en el concepto conjuntista general de relación.

2.7.6 Al introducir un lenguaje conjuntista sistemático deben traducirse a él ciertas expresiones habituales. Por ejemplo, para significar que

el punto P pertenece a la recta r (24)

(P ∈ r), suelen usarse expresiones cargadas de contenido físico, tales como:

la recta r pasa por el punto P. (25)

Pueden usarse tales expresiones, pero conviene ir desterrándolas poco a poco para familiarizar al alumno con las estrictas locuciones de la teoría de conjuntos, de uso en todos los casos. En efecto, no es nada habitual decir:

el conjunto {a, b} pasa por el elemento a.

2.7.7 LOS ABUSOS DE LENGUAJE

a. En el ejemplo señalado en 2.7.6 el uso de la locución (25) en lugar de la expresión conjuntista (24) o de la fórmula equivalente

P ∈ r, (26)

no origina ningún riesgo de confusión porque tenemos clara conciencia de que (25) no es más que una forma (sugerida por el acto físico de trazar la recta r) de indicar el enunciado conjuntista (24) o la formula conjuntista (26). Al reemplazar (24) o (26) por el enunciado más próximo al lenguaje ordinario (25) cometemos lo que se llama un "abuso de lenguaje". Tales licencias no entrañan riesgos de confusión mientras seamos plenamente conscientes de que son abusos de lenguaje y sepamos a qué enunciados precisos y formalizados corresponden. Con esta salvedad los abusos de lenguaje son útiles para obtener fluidez, y no puede prescindirse de ellos sin que el lenguaje matemático se haga cada vez más pesado y engorroso.

b. Las consideraciones siguientes, referidas a problemas, ilustran este último aserto.

1°) Consideremos este problema:

Construir un triángulo con vértices A, B, C dados. (27)

Es obvio que si se dan los vértices A, B, C (fig. 10) ya está determinado el triángulo. El problema tiene solución única (si los puntos no están alineados), pero además es tan trivial que sólo por extensión de lenguaje puede llamársele "problema".

2°) Consideremos ahora este otro problema:

Construir un triángulo con lados a, b, c dados. (28)

También es obvio que si se dan los lados a, b, c (fig. 11) ya está determinado o construido el triángulo. El "problema" es también trivial y la solución es única.

3°) Pero es habitual expresar en la forma simplificada (28) el problema siguiente (fig. 12):

Construir un triángulo con lados

congruentes a segmentos a, b, c dados.

Aquí el problema, aunque sencillo, no es trivial. Es realmente un problema de geometría elemental. La figura 12 indica la manera de hallar una solución si ésta existe (lo cual exige una discusión sobre los datos). Si hay una solución, triángulo ABC, entonces hay infinitas soluciones, a saber: todos los triángulos congruentes al triángulo ABC, y sólo ellos.

La secuencia 1-2° 3° sugiere estas reflexiones. El enunciado (27) es absolutamente preciso, y como no hay indicios de que pueda considerarse como abreviatura de otro enunciado, es forzoso tomarlo "al pie de la letra" y concluir que plantea un problema trivial. El enunciado (28) es igualmente preciso y tomado al pie de la letra plantea un problema trivial. Precisamente esta última circunstancia, unida a hábitos de lenguaje arraigados, hace que no sea sensato tomar el enunciado (28) al pie de la letra, sino como una cómoda abreviatura lingüística del enunciado (29), el cual plantea un problema no trivial.

En todo lenguaje matemático se usan con frecuencia abusos de lenguaje sin los cuales -dice Bourbaki- "todo texto matemático corre el riesgo de hacerse pedantesco y aun legible"

2.7.8 LA FORMALIZACIÓN DEL LENGUAJE

Un problema pedagógico delicado es el de conducir al alumno hacia un lenguaje relativamente formalizado, hasta el punto en que dé una razonable seguridad de evitar equívocos. Señalemos la advertencia de Piaget [11] sobre los peligros de caer en un formalismo verbal por demasiado precoz. Un problema grave es la abundancia de formalizaciones aparentes, reveladoras de inmadurez matemática, y que resultan tan pesadas como inútiles o dañinas.

Corregir errores o inconsecuencias de lenguaje requiere tacto y dominio pleno. Es frecuente en los alumnos (con referencia a fig. 7 en 2.3.4) esta expresión:

la recta r pertenece al plano π,

que es no sólo inconveniente sino incorrecta si consideramos -como conviene hacerlo- la recta y el plano como conjuntos de puntos (y no, por ejemplo, el plano reglado). Es esencial conducir al niño a comprender cabalmente que la recta r (que es una figura, o conjunto de puntos) es subconjunto o parte del plano (conjunto de puntos) y a entender y usar con fluidez las expresiones correctas como

la recta r está incluida en el plano π,

o en símbolos

r ⊂ π,

con inclusión ⊂ y no pertenencia ∈.

2.8 Las inconsecuencias habituales

2.8.1 La matemática del siglo XX introdujo no sólo nuevos conceptos sino también un nuevo lenguaje. Este lenguaje creció experimentalmente a impulsos de necesidades internas, y hoy tiene universal aceptación por su probada coherencia y aptitud para expresar los hechos matemáticos en forma concisa y precisa. Pero ha encontrado una tenaz resistencia en la enseñanza, que o bien insiste en aferrarse a un lenguaje obsoleto o, lo que es peor, cae en una caótica mezcla de lenguajes.

2.8.2 Es difícil abandonar hábitos de hondo arraigo, aunque se advierta la conveniencia de hacerlo. Esto tiene especial vigencia para los hábitos mentales. El lenguaje de la vieja teoría euclídea de las magnitudes de innegable alcurnia matemática- está en abierta colisión con el enfoque y el lenguaje conjuntistas, y ha condicionado hasta tal punto nuestros hábitos mentales que una de las mayores dificultades en la implantación de un enfoque conjuntista sistemático es —al menos en el adulto— romper una rutina mental de largo arraigo.

2.8.3 Veamos un ejemplo que por su extrema sencillez puede parecer trivial. En el plano de las generalidades aceptamos sin inconvenientes que la igualdad de dos conjuntos A y B se define (ver 2.6.1) por el par de inclusiones:

A⊂ B, B ⊂ A. (1)

Es decir, los conjuntos A y B son iguales o sea el mismo conjunto, si y sólo si todo elemento de uno cualquiera de ellos pertenece también al otro. Pero entonces, ¿por qué llamar iguales a dos círculos A y B congruentes (fig. 13) de centros diferentes?

¿Acaso no son también conjuntos (de puntos), y acabamos de decir que para ser iguales deberían cumplir las condiciones (1), y no las cumplen? Llamar ahora iguales a estos conjuntos es introducir inútilmente una inconsecuencia y una fuente de confusión. No se trata simplemente de una palabra sino de una concepción, acorde con la teoría euclidea de las magnitudes pero reñida con el pensamiento conjuntista. Lo mismo ocurre con segmentos, ángulos, triángulos, etc.: se suele decir que el segmento AB es "igual" al CD aunque en verdad no sean "el mismo" segmento, como exige la definición general de igualdad de conjuntos. Posiblemente se desee recalcar con este lenguaje no-conjuntista que tales segmentos son "iguales en cierto aspecto", por ejemplo desde un punto de vista operativo: se los puede llevar a coincidir mediante un movimiento físico. Aparte de que se hace gravitar así un elemento de juicio extramatemático, el lenguaje no es sólo abusivo (lo cual, como vimos en 2.7.7 puede no ser inconveniente), sino que además es inconsecuente. En efecto, desde el punto de vista conjuntista es fundamental que el alumno confíe en que siempre la igualdad A = B de dos conjuntos se defina por las inclusiones (1), ¡cualesquiera que sean esos conjuntos!

Volviendo al ejemplo ilustrado en la figura 13, el alumno se ve obligado a admitir que "en este caso especial" es A = B aunque no valgan las inclusiones (1), acaso porque hay que "interpretar" que B es "el mismo" círculo A pero "en otra posición". Pero entonces B no es "en realidad" el "mismo" círculo A: aceptar lo contrario conduce a que un conjunto no vacío puede ser disjunto con "el mismo" conjunto, es decir, ¡disjunto consigo mismo! . ... y ya la confusión es insuperable.

2.8.4 La vieja teoría euclídea de las magnitudes, cuyo lenguaje impregna la matemática tradicional, conduce a que rectas r, s como las de la figura 14, que son iguales:

r = s I ⊂ s y s ⊂ r, (2)

no se llamen iguales (se usan palabras como "coincidentes", "superpuestas", etc.), y para "estos" conjuntos no se escribe r = s (aunque es r ⊂ s y s ⊂ r), sino r ≡ s. Por otra parte, dos segmentos AB y CD lados opuestos de un paralelogramo (fig. 15), que no son iguales AB ≠ CD, pues ni AB ⊂ CD ni CD ⊂ AB, se llaman "iguales". lo mismo que dos segmentos congruentes cualesquiera.

La mezcla de lenguajes obliga a recordar mil reglas misteriosas, como ésta, válida para segmentos y rectas: Dos segmentos congruentes AB y CD se llaman iguales (aunque no sea sea AB ⊂ CD ni CD ⊂ AB), y dos rectas r, s (que son siempre congruentes) nunca se llaman iguales (ni siquiera cuando r ⊂ s y s ⊂ r, fig. 14). Véase también 6.3.3.

2.9 La consecuencia en el enfoque conjuntista

2.9.1 Graduar las dificultades por etapas no significa en modo alguno adoptar un enfoque conjuntista a medias, o un enfoque "cada vez más conjuntista" por emparche progresivo de lo nuevo en lo viejo. Precisamente muchas dificultades y desconciertos que se observan en los procesos de modernización de la enseñanza se deben a que obviamente el enfoque conjuntista no puede adoptarse a medias. Ello lleva a mezclar dos concepciones, e incluso dos lenguajes, incongruentes, y conduce a la imprecisión y al caos. Por ahora solo nos referimos al lenguaje. En el lenguaje mezclado, la definición de igualdad de conjuntos A = B por las inclusiones A⊂ B y B ⊂A vale para conjuntos "cuales quiera" siempre que no sean ni segmentos, triángulos, circulos, esferas... (que se llamarán iguales con sólo ser congruentes), ni rectas, planos... (que nunca se llamarán iguales, aunque cumplan A⊂ B y B ⊂A).

En el lenguaje euclídeo, al que estábamos acostumbrados, se llaman iguales las figuras a la vez congruentes y ligadas a alguna "medida" por ejemplo segmentos congruentes, pero no dos rectas (que son siempre congruentes), ni aun en el caso en que sean la misma recta. Por eso, en la enseñanza con enfoque mezclado (o simplemente sin enfoque consecuente alguno), si después de señalar que la función que asigna a cada triángulo su área no tiene inversa, preguntamos por la función que asigna a cada triángulo equilátero su área, muchos dirán que ésta si tiene inversa, lo cual es obviamente falso. Indagando el origen del error se verá que proviene de considerar a dos triángulos congruentes como "el mismo" triángulo "en dos posiciones" diferentes.

Dice Dieudonné en su informe al Seminario de Royaumont [4]: "Pienso en el día en que este emparchamiento esté superado, y seamos impulsados a una reforma mucho más profunda —salvo que dejemos que la situación se deteriore hasta un punto tal que impida todo progreso ulterior—"

2.9.2 Un enfoque conjuntista consecuente obliga a un contexto expositivo cuidadosamente decantado. Lo que aquí llamamos "contexto expositivo" se obtiene por decantación y ordenamiento del lenguaje intuitivo, lleno de licencias e imprecisiones, con el cual se aborda y explora un concepto nuevo. Es obvio señalar que este lenguaje, impreciso pero maleable y sugestivo, es de fundamental importancia en el trabajo en la clase y preliminar obligado del contexto expositivo.

Tomado de: Trejo, C, A.(1973). El enfoque conjuntista en la enseñanza de la matemática. Buenos Aires: Kapeluz.

(*) César Anselmo Trejo: Profesor titular de Análisis Matemático. Departamento de Matemática. Universidad Nacional de La Plata. Colaboró con Julio Rey Pastor y Pedro Pí Calleja en la edición de una obra monumental en tres tomos, Análisis Matemático I, II, y III, que fue y es utilizado por los estudiantes de matemática e ingeniería, como texto y enciclopedia.

Director del Seminario de Matemática "Dr. Claro.C. Dassen" sobre actualización de la enseñanza de la matemática en el ciclo medio. Sociedad Científica Argentina. Av. Santa Fe 1145. Buenos Aires.
Presidente de la UMA, Unión Matemática Argentina, (1953- 1955).
Decano de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de Buenos Aires (1976-1982).

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