¡Interpretando lo que leo y comprendiendo lo que escribo!
Armando Rojo (*)
►1.1
NOCIONES DE CONJUNTO, ELEMENTO Y PERTENENCIA
NOCIONES DE CONJUNTO, ELEMENTO Y PERTENENCIA
Para aprender cualquier lenguaje es preciso conocer cierto número de palabras cuyo significado no esté referido a otros términos del mismo lenguaje.
Por ejemplo, las palabras "mamá", "papá", "yo", del lenguaje cotidiano, son comprendidas en forma intuitiva sin una definición explícita. A estas palabras básicas del lenguaje se las llama "términos primitivos".
En el lenguaje de la Matemática las palabras "elemento" y "conjunto" son términos primitivos. En consecuencia no las definiremos, pero haremos algunas aclaraciones acerca de su uso.
🔴 1° Un conjunto es una colección de objetos que se piensa como unidad. No se identifica al conjunto con ninguno de esos objetos, que son sus elementos.
Ejemplo 1
El conjunto de los Tres Reyes Magos es un conjunto.
Tiene tres elementos: Melchor, Gaspar y Baltasar.
Tiene tres elementos: Melchor, Gaspar y Baltasar.
Ejemplo 2
El conjunto de los presidentes de la Primera Junta de Gobierno de 1810 es un conjunto. Tiene un único elemento: Cornelio Saavedra.
Este conjunto no es "Cornelio Saavedra", "sino el conjunto formado por Cornelio Saavedra."
🔴 2° Todo conjunto está "bien determinado". Esto significa que existe un criterio para decidir si cualquier objeto es o no elemento del conjunto.
Ejemplo 3
El conjunto de las personas altas no existe, ya que puede haber divergencia o duda para decidir si alguien es o no alto. En otros términos, "alto" es una palabra vaga.
Ejemplo 4
El conjunto de las personas vivas que miden más de 1,80 metros sí que existe.
Ejemplo 5
El conjunto de los días lindos no existe. En efecto, un agricultor, un piloto de avión, un escritor y un mero turista seguramente discreparán para determinar si un día de lluvia es elemento o no del supuesto conjunto.
🔴 3º El número de elementos de un conjunto es arbitrario. Hay conjuntos de infinitos elementos; por ejemplo, el conjunto de los números naturales. Otros conjuntos están formados por un único elemento, como lo muestra el ejemplo 2. Existe también un conjunto sin elementos, llamado "conjunto vacío". Por ejemplo, el conjunto de las vacas que vuelan es el conjunto vacío.
🔴 4° No es necesario que los elementos de un conjunto sean de la misma naturaleza. Además, cualquier objeto puede ser elemento de un conjunto. En particular, un conjunto puede ser elemento de otro conjunto.
Ejemplo 6
El conjunto que tiene por elementos la flauta de Bartolo y el conjunto de los números pares tiene derecho a llamarse conjunto. Consta de dos elementos.
🔴 5º No existe ningún conjunto al que pertenecen todos los objetos.
🔴 6° La expresión "es elemento de" es sinónima de "pertenece a".
Ejemplo 7
Melchor pertenece al conjunto de los Tres Reyes Magos. Cornelio Saavedra no es elemento del conjunto de los Tres Reyes Magos.
🔴 7º Retomemos el ejemplo 6. Si llamamos A al conjunto formado por el conjunto de los números pares y la flauta de Bartolo, el número 4 es elemento del conjunto de los números pares, pero no de A. Además, al conjunto A pertenece la flauta de Bartolo y no una parte de la misma. Tampoco el mismo conjunto A es elemento de A. Los únicos elementos del conjunto A son: el conjunto de los números pares y la flauta de Bartolo.
Ejemplo 8
Si llamamos B al conjunto formado por el conjunto de los números impares, el número 3 y el Museo del Prado, entonces observamos lo siguiente:
5 no es elemento de B.
3 pertenece a B.
►1.2
NOTACIONES
🔴 1° Para indicar que C es el conjunto formado por el número 1, don Quijote, la Argentina y la letra "a", escribiremos:
C = {1, don Quijote, la Argentina, "a"}
Se lee: C es el conjunto cuyos elementos son el número 1, don Quijote, la Argentina y la letra "a".
Diremos que C está denotado por extensión. Esta forma de detallar un conjunto consiste en explicitarlo citando a cada uno de sus elementos.
🔴 2° Para expresar simbólicamente que el número 1 es elemento de C, escribiremos:
1 ∈ C
que se lee: 1 pertenece a C o bien 1 es elemento de C.
El número 2 no es elemento de C, lo cual se expresa
2 ∉ C
que se lee: 2 no pertenece a C o 2 no es elemento de C.
🔴 3° El conjunto de los números naturales menores que 10, denotado por extensión, es
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
También se lo puede escribir así:
{ x / x es un número natural menor que 10}
y se lee: el conjunto formado por todos los x, tales que x es un número natural menor que 10.
En este caso el conjunto queda denotado por comprensión. Esta forma de escribir o citar un conjunto consiste en enunciar la propiedad que poseen todos los elementos del conjunto y sólo ellos.
Ejemplo 1
El conjunto cuyos elementos son los seis primeros meses del año, denotado por extensión, es
{enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio}
y por comprensión
{x / x es uno de los seis primeros meses del año}
🔴 4°El conjunto vacío se denota mediante el símbolo ∅.
{∅} no es el conjunto vacío, ya que a él pertenece un elemento: el conjunto vacío.
Ejemplo 2
Si llamamos P al conjunto de los números naturales pares, es
P = { x / x es un número natural par }
P no puede ser denotado por extensión porque tiene infinitos elementos, y aunque no es correcto, suele indicarse así:
P = { 0, 2, 4, 6, ... }
Se verifica:
2 ∈ P 4 ∈ P
5 ∉ P ∅ ∉ P
{ 2,4 }∉ P, ya que los elementos de P son números y no conjuntos.
Ejemplo 3
Sean
A= { 1, 2, 3 } y B = { 1 , A, 4 }
donde el elemento A, de B es { 1, 2, 3 }.
O sea B = {1, {1, 2, 3}, 4}.
Se verifica que
1 ∈ A y l ∈ B
2 ∈ A pero 2 ∉ B
4 ∉ A pero 4 ∈ B
A ∈ B
{ 1,2 } ∉ A y { 1,2 }∉ B
A ∉ A y B ∉ B.
►1.3
RELACIÓN DE INCLUSIÓN
Al expresar que el conjunto de las hormigas es una parte del conjunto de los insectos se está afirmando que toda hormiga es un insecto. Llamando H al conjunto de las hormigas e I al conjunto de los insectos, la afirmación anterior se simboliza:
H ⊂ I
que se lee: H es parte de I, o H es un subconjunto de I, o H está incluido en I, o bien I incluye a H.
Decir que un conjunto A está incluido en un conjunto B equivale a afirmar que todo elemento de A pertenece a B. O, lo que es lo mismo, cualquiera que sea x, si x pertenece a A, entonces pertenece a B.
La expresión simbólica de cualquiera que sea x es:
∀ x
que se lee también: para todo x.
La expresión simbólica de si x pertenece a A, entonces x pertenece a B es:
x ∈ A ⇒ x ∈ B
Teniendo en cuenta estas notaciones afirmamos que
A ⊂ B equivale a ∀ x : x ∈ A ⇒ ∈ B
Asumiremos esta afirmación como definición de inclusión entre conjuntos.
Ejemplo 1
Si P denota el conjunto de los números naturales pares, y N es el conjunto de los números naturales, entonces P ⊂ N porque
∀ x : x ∈ P ⇒ ∈ N
Ejemplo 2
Sean los conjuntos
A = { 1, 3 , 5 } y B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
Como todo elemento de A pertenece a B, se verifica que
A ⊂ B
De la definición de inclusión se infiere que un conjunto A no está incluido en un conjunto B, si existe algún elemento de A que no pertenece a B.
Ejemplo 3
Consideremos el conjunto de los números naturales menores que 6 y el conjunto de los números naturales menores que 4. Nombrando A y B a tales conjuntos es
A = { x / x ∈ N y x < 6 }
B = { x / x ∈ N y x < 4 }
Entonces B ⊂ A, porque todo número menor que 4 es menor que 6. Pero A no está incluido en B, porque el número 5 es un elemento de A que no pertenece a B.
Denotaremos que A no está incluido en B mediante:
A ⊄ B
Para expresar simbólicamente que existe al menos un elemento en A escribiremos
∃ x / x ∈ A
que se lee: existe al menos un x tal que x es elemento de A.
Teniendo en cuenta estas notaciones afirmamos que
A ⊄ B equivale a ∃ x / x ∈ A y x ∉ B
En el ejemplo 3:
A ⊄ B porque 5 ∈ A y 5 ∉ B.
►1.4.
PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE INCLUSIÓN
La relación de inclusión verifica las siguientes propiedades:
🔴 1° Reflexiva. Todo conjunto está incluido en sí mismo.
Si A es un conjunto cualquiera, como todo elemento de A pertenece a A, resulta
A ⊂ A
🔴 2° Transitiva. Si un conjunto A está incluido en un conjunto B, y éste está incluido en un conjunto C, entonces A está incluido en C.
Supongamos que A ⊂ B y B ⊂ C. Como todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a C, resulta que todo elemento de A pertenece a C, o sea A ⊂ C.
En símbolos
A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A = C
🔴 3° Antisimétrica. Si un conjunto A está incluido en un conjunto B, y éste está incluido en A, entonces A y B son el mismo conjunto.
A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A = B
🔴 4° El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto A.
Simbólicamente
∅ ⊂ A
En efecto, como el conjunto vacío carece de elementos, no es cierto que exista algún elemento del conjunto vacío que no pertenezca a A.
O sea, no se verifica ∅ ⊄ A.
En consecuencia
∅ ⊂ A
Ejemplo 1
Formamos el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A, siendo A = { 1, 2 }
Los subconjuntos de A son:
∅ por propiedad 4ª
{1} por definición de inclusión
{2} por definición de inclusión
A por reflexividad de la inclusión
El conjunto pedido es
{∅, {1}, {2}, A}
que se denota con "P (A)" y recibe el nombre de conjunto de las partes de A.
Ejemplo 2
Si B = { 3 } , entonces
P (B) = { ∅, B }
y se verifican las siguientes relaciones:
∅ ⊂ B ∅ ∉ P (B)
∅ ∉ B 3 ∈ B
∅ ⊂ P (B) 3 ∉ P (B)
►1.5
CONJUNTOS REFERENCIALES O UNIVERSALES
En lo que sigue, y en cada caso, consideraremos la existencia de un conjunto que incluye a todos los conjuntos considerados en el contexto. Tales conjuntos, que algunas veces explicitaremos y otras no, se llaman "referenciales", "espacios" o bien "universales". Los designaremos en general con U. El último nombre puede llevar a la creencia de que el referencial es "un conjunto universal" en el sentido de que posee todos los objetos del "Universo". No es así. Un conjunto con tales características no existe, de acuerdo con lo afirmado en 1.1, 5º .
Ejemplo
Si nos referimos al conjunto de los números naturales menores que 10, podemos adoptar como referencial al conjunto N.
►1.6
REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS. DIAGRAMAS DE VENN
Un conjunto finito, es decir, no infinito, puede ser representado especificando sus elementos mediante puntos encerrados por una línea.
Una representación de
A = {1, 2, 3} es
y recibe el nombre de diagrama de Venn del conjunto A.
Si no es necesario, o bien si es imposible especificar los elementos de un conjunto A, el diagrama de Venn es
Tal es el caso de los conjuntos infinitos.
Un conjunto universal o referencial se suele representar mediante una figura rectangular.
Ejemplo 1
Sean U = N y C = { x / x ∈ N y 2 < x < 8 }
Los números naturales menores que 8 son:
0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6 y 7.
De éstos, los mayores que 2 son:
3, 4, 5, 6 y 7.
Luego
C = { 1, 3, 4, 5, 6 ,7 }
y el diagrama de Venn correspondiente es
Ejemplo 2
Representamos mediante diagramas de Venn las siguientes parejas de subconjuntos de N.
A = { 1, 3, 4, 5} B = {1, 3, 6, 7, 8 }
C = { 2, 4, 6 } D = {1, 3 }
Los conjuntos C y D no tienen elementos en común y se llaman disjuntos.
Se verifica que E ⊂ F
Tomado de Rojo, A. O. Sánchez, S.C. y Greco, M.(1973). Matemática 1. Buenos Aires: El Ateneo.
___________________________
(*)Armando O. Rojo: Profesor de Matemática y Máster en Estadística Matemática. A sido profesor por concurso en las Facultades de Ingeniería y de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires, en el Instituto Nacional Superior del Profesorado y en el Colegio Nacional de Buenos Aires . Así mismo, a dictado cursos de Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en el Instituto para el Desarrollo de Empresarios Argentinos. Su labor es bastamente conocida no sólo como docente, sino como autor de obras de Matemática.
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