Números Figurados por Margaret Frances Willerding

Sugerimos a nuestros estimados lectores la lectura de Conceptos matemáticos: un enfoque histórico, de Margaret Frances Willerding.

"Este libro no pretende ser una historia secuencial y ordenada de la materia, pero ofrece temas que enriquecerán los conocimientos no sólo del maestro sino también del estudiante".[...]

..."Los capítulos no deberán ser leídos consecutivamente, ya que no depende capítulo alguno de otro capítulo. Lea usted lo que prefiera en el orden preferido . Si un tema parece difícil en primera lectura, sáltelo y vuelva a él más tarde si aún le interesa. Se ha incluido una bibliografía al final de cada capítulo para los que deseen profundizar cualquier tema".

Esto nos lo dice Margaret Frances Willerding en su prefacio.

CAPÍTULO 3

Números Figurados

1. Representación geométrica.

Los griegos estaban hondamente interesados en la geometría. Esto explica su interés en los números conectados con las figuras geométricas. Los números que pueden representarse en forma geométrica son llamados números figurados o poligonales.

Así, un número es llamado triangular si puede representarse en un triángulo como se indica en la Fig. 3.1.

Los números son cuadrados si pueden representarse como se muestran en la Fig. 3.2. Son pentagonales si pueden representarse en la forma de un pentágono, esto es, un cuadrado con un triángulo encima como se muestra en la Fig. 3.3. De manera semejante, hay números hexagonales, números rectangulares y otros tipos de números poligonales.

Estos números figurados pueden definirse de una manera puramente geométrica como se hizo anteriormente, pero pueden ser discutidos algebraicamente.

2. Números cuadrados.

Examinado las representaciones de los números cuadrados, se ve fácilmente que el primer número cuadrado es 1 = 1², el segundo es 4 = 2 × 2 = 2², el tercero, 9 = 3 × 3 = 3², etc. Así, el quinto número cuadrado es 5² = 25, el décimo número cuadrado es 10²=100, y el n-ésimo número cuadrado es n × n= n². De aquí se ve fácilmente la razón por la cual "n" se lee "n cuadrada", o "n al cuadrado".

Podemos ver también a los números cuadrados bajo otro aspecto. Por ejemplo, podemos observar que un cuadrado puede partirse o dividirse en un cuadrado menor y una escuadra de carpintero también llamada gnomo como se ve en la Fig. 3.4.

Observando la Fig. 3.4, vemos que el cuarto número cuadrado es igual a la suma de los cuatro primeros números impares,

1 + 3 + 5 + 7 = 4²

Repitiendo esta partición observamos que el número de puntos que hay en la representación de cualquier número cuadrado, el sexto, por ejemplo, es la suma de los seis primeros números impares. Los antiguos llamaban a los números impares, números gnomónicos. La Tabla 3.1 nos muestra a los seis primeros cuadrados como sumas de números impares.

Generalizando, vemos que el n-ésimo número cuadrado, n², es igual a la suma de los primeros números impares,

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2 n - 1).

Observando los números cuadrados denotados como sumas,

1o. 1
2o. 1 + 3
3o. 1 + 3+ 5

n-ésimo 1 + 3 + 5 +. . . + (2 n - 1)

vemos que la diferencia entre dos sumandos consecutivos cualesquiera es 2. Puesto que la diferencia entre dos números consecutivos cualesquiera de la suma que nos da un número cuadrado es 2, decimos que la diferencia común de los números cuadrados es 2.

3. Números triangulares.

No es difícil encontrar una fórmula para el n-ésimo número triangular. Si observamos las figuras de representación de números triangulares, vemos que el número de puntos en la representación del primer número triangular es 1, del segundo, 1 + 2, del tercero, 1 + 2 + 3, y así sucesivamente. La representación de cada número sucesivo se obtiene entonces agregando otra fila de puntos, que contiene un punto más que la última fila en la representación del número triangular anterior. Esto nos conduce a descubrir que cada número triangular después del 1, que es el número figurado de cualquier forma, se encuentra sumando el siguiente número natural*, a la suma que nos da, al número triangular anterior. Así:

1o. 1
2o. 1 + 2
3o. 1 + 2 + 3
4o. 1 + 2 + 3 + 4

n-ésimo 1 + 2 + 3 + … + n,

donde n es cualquier número natural. Vemos, entonces, que el número triangular n-ésimo es la suma de los n primeros números naturales. Observe usted que la diferencia entre dos sumandos es 1, de modo que la diferencia común de los números triangulares es 1.

Ahora podemos encontrar una fórmula para esta suma. Para descubrir esta fórmula vamos a usar regiones cuadradas en lugar de puntos, en la representación de números triangulares. De este modo, el quinto número triangular puede representarse como en la Fig. 3.5.

Es un hecho bien conocido que el área de una región rectangular es el producto de su longitud por su anchura: Tomando una figura idéntica a la Fig. 3.5, podemos unir ambas figuras como se muestra en la Fig. 3.6 para formar una región rectangular cuya anchura es de 5 unidades y cuya longitud es de (5 + 1) unidades. El área de esta región es 5 X (5 + 1) = 30. En otras palabras, el doble de la suma siguiente

1 + 2 + 3 + 4 + 5

es igual a 5 × (5 + 1). Por lo tanto, la suma de los cinco primeros números naturales es

De manera semejante podemos encontrar una fórmula para el n-ésimo número triangular, que como hemos mostrado es igual a la suma de los n primeros números naturales, 1 + 2 + 3 +. . . + n. Si trazamos una figura como la Fig. 3.5 en la cual haya n unidades cuadradas en la última fila, su área total será igual a 1 + 2 + 3 + 4 ... + n. Combinando dos figuras tales del modo en que lo hicimos antes, obtenemos una región rectangular cuya longitud es (n + 1) y cuya anchura es n. El área de esta región rectangular es n X (n + 1), que representa el doble de la suma de los n primeros números naturales. Así

2 × (1 + 2 + 3 + ... + n) = n × (n + 1),

y la suma de los n primeros números naturales es

Por lo tanto, el número triangular n-ésimo queda dado por la fórmula anterior.

_________________
* En el original dice: "counting number", es decir, "número de contar" o "de conteo" si se admite esta palabra. Preferimos usar "número natural".(N del T.)

4. Números pentagonales.

Los números pentagonales están representados por una figura compuesta por un cuadrado al que se sobrepone un triángulo. Echemos un vistazo a los primeros números pentagonales cuya representación puede verse en la Fig. 3.3.

Examinando más de cerca la representación de cualquiera de los números pentagonales, vemos, por ejemplo, que el cuarto está formado por el cuarto número cuadrado y el tercer número triangular (Fig. 3.7).

Por lo tanto, el cuarto número pentagonal es

El quinto número pentagonal es

En general, el n-ésimo número pentagonal es

Los seis primeros números pentagonales son 1, 5, 12, 22, 35 y 51. Observe lo siguiente:

Aquí vemos que los números pentagonales quedan también representados por una suma y que la diferencia común entre dos sumandos consecutivos cualesquiera es 3.

Siguiendo a los números triangulares, cuadrados y pentagonales vienen los figurados con diferencias comunes: 4, 5, 6 y así sucesivamente. Si la diferencia común es 4, tenemos los números hexagonales.

5.Descubriendo patrones en los números figurados.

Los números triangulares y los números cuadrados están íntimamente relacionados. Cada representación de un número cuadrado puede partirse para descomponerse en dos números triangulares. Observe la Fig. 3.8.

Note usted que la representación del segundo número cuadrado, 4, puede dividirse en el primero y segundo números triangulares. Así, 1 + 3 = 4. La representación del tercer número cuadrado puede partirse, de modo que dicho número queda compuesto por los números triangulares segundo y tercero. De aquí 3 + 6 = 9. Esto es verdadero en general. La suma de dos números triangulares consecutivos cualesquiera es siempre un número cuadrado, y todos los números cuadrados están formados de esta manera. Esto puede fácilmente representarse como en la Tabla 3.2.

Los matemáticos estuvieron fascinados por los números poligonales durante muchos siglos. Han intentado encontrar tantas relaciones como sea posible entre los números ordinarios y los números que pueden representarse por figuras de forma especial. Uno de los descubrimientos interesantes es que todo número entero es la suma de tres o menos números triangulares. Por ejemplo,

17 = 1+ 6 +10, 26 = 1 + 10 + 15,

46 =10 + 36, 150 = 6 + 66 + 78.

Se descubrió también que todo número entero es la suma de cuatro o menos números cuadrados. Por ejemplo,

56 = 36 + 16 + 4 = 6²+ 4² + 2²,

150 = 100 + 49 + 1= 10²+ 7² + 1²

Observe las ecuaciones siguientes:

1. (6 × 1) + 1+1 = 8 = 2³

2. (6 × 3) + 1+ 8 = 27 =3³,

3. (6 × 6) + 1 + 27 = 64 = 4³,

4. (6 × 10) + 1 + 64 = 125 = 5³.

Estas ecuaciones presentan otro esquema o patrón de números figurados. Si multiplicamos cada número triangular por 6, agregamos 1 más el cubo del número que indica la posición de nuestro número triangular en la sucesión de números, triangulares, digamos que se trata del k-ésimo, obtenemos (k + 1)³

Por ejemplo, puesto que el tercer número triangular es 6,

(6 × 6) + 1 + 3³ = (3 + 1)³.

En general

Otro patrón interesante es el hecho de que la suma de 8 veces un número triangular más 1 es un cuadrado. Note usted que

(8 × 1) + 1 = 9 = 3²,
(8 × 3) + 1 = 25 = 5²,
(8 × 6) + 1 = 49 = 7² .

En general,

Podemos observar otro patrón estudiando las ecuaciones siguientes.

Continuando de este modo, agregando los cubos de los n primeros números naturales, encontramos que dicha suma de números es el cuadrado del n-ésimo número triangular.

Hoy en día queda muy poco de las representaciones geométricas antiguas de los números, excepción hecha del uso de la palabra cuadrado. Actualmente los números poligonales son de un interés científico reducido, aunque todavía 100 años D.C. eran el objeto principal de investigación aritmética.

6. Breve historia de los números poligonales.

La teoría de los números poligonales o números figurados viene desde Pitágoras (572-500 A.C.), muy conocido por el teorema pitagórico que lleva su nombre. Los números triangulares se originaron tomando 1, sumándole 2, sumando entonces 3 a esta suma y así sucesivamente. Vino entonces el descubrimiento pitagórico de que una suma semejante de números impares producía los así llamados números cuadrados. A causa de esto a los números impares se les llamó gnomos.

El gnomo era originalmente el bastón vertical que proyectaba su sombra en el suelo para constituir el reloj de sol. Marcador o apuntador es la traducción literal de la palabra, y con notaba perpendicularidad. El término también se usaba para describir un instrumento empleado en el trazo de ángulos rectos, como una escuadra de carpintero. Más tarde aún, el gnomo se definía como aquello que al ser agregado a una cosa cualquiera, número o figura, hace al todo semejante a aquello a lo cual se agregó el gnomo.

Usando está última definición de la palabra gnomo, todos los números figurados se obtienen sumando gnomos al 1 sucesivamente, que es el primer número figurado de cualquier forma. El método para el caso de los números cuadrados y pentagonales se muestra en la Fig. 3.9.

Esta figura muestra que los gnomos en el caso de los números cuadrados son 3, 5. . . , con la diferencia común 2; y en el caso de los números pentagonales, 4, 7, 10, con la diferencia común 3. En general, los gnomos sucesivos para cualquier número poligonal de n lados tienen a n - 2 como su diferencia común.

PROBLEMAS

1. Use la fórmula para encontrar los siguientes números triangulares.

a. 12avo c. 45avo
b. 23avo d. 100avo

2. ¿Cuáles son los números cuadrados que representan las sumas siguientes?

a. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
b. 1 + 3 + 5+ . . . + 15.
c. 1 + 3 + 5 + . . . + 81.

3. ¿Cuál es la suma de los 100 primeros números impares?

4. Encuentre los siguientes números pentagonales.

a. 5avo c. 10avo
b. 7avo d. 24avo

5. Escriba los números enteros nombrados en seguida como la suma de 3 o menos números triangulares.

a. 69 с. 327
b. 185 d. 800.

6. Escriba los números enteros nombrados enseguida como la suma de cuatro o menos números cuadrados.

a. 48 с. 188
b. 96 d. 347.

7. Usando una propiedad de los números triangulares encuentre la suma de

1³+ 2³+ 3³+ 4³+ . . . + 10³.

BIBLIOGRAFIA

1. BEILER, ALBERT, Recreations in the Theory of Numbers-Queen of Mathematics Entertainment. New York: Dover Publications,Inc., 1964.

2.HEATH, THOMAS L., Manual of Greek Mathematics. New York: Dover Publications, Inc., 1963. -

3.______ Diophantus of Alexandria. New York: Dover Publications, Inc., 1964.

4. KRAITCHIK, MAURICE, Mathematical Recreations. New York: Dover Publication, Inc., 1942.

5. KRAMER, EDNA E., Main Stream of Mathematics. Greenwich, Conn.: Fawcett Publishing Co., Inc., 1951.

6. MEYER, JEROME S., Fun with Mathematics. New York: World Book Co., 1952.

7. MOTT-SMITH, GEOFFREY, Mathematical Puzzles. New York: Dover Publications, Inc., 1954.

8. REICHMAN , W. J., The Fascination of Numbers. Fair Lawn, N.J.: Essential Books, Inc., 1957.

9. SANFORD, VERA, A Short History of Mathematics. Boston:Houghton-Mifflin, Inc., 1930.

10. SMITH, DAVID EUGENE, History of Mathematics, Vol. II. Boston: Ginn & Co., 1925.

11. USPENSKY, J. V. and M. H. HEASLET, Elementary Number Theory. New York: McGraw-Hill Book Co., 1939.

Tomado de: Willerding, Margaret, F. 1969. Conceptos matemáticos: un enfoque histórico. México : Compañía Editorial Continental. S.A.

_________________________

Margaret Frances Willerding (1919-2003) fue una matemática estadounidense conocida por su combinatoria enumerativa de formas cuadráticas, por sus libros de texto de matemáticas y por su dirección del departamento de problemas de la revista de matemáticas School Science and Mathematics.

A lo largo de su carrera recibió una licenciatura en Matemáticas en Harris Teachers College en 1940, una maestría de St. Louis University en 1943 y un doctorado en 1947. Fue profesora de Matemáticas en la Universidad Estatal de San Diego desde 1956 hasta su jubilación emérita en 1976. Fue miembro del Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas del Gran San Diego. Fue autora de muchos libros de texto entre 1969 y 1977, incluidos Álgebra intermedia '69, Álgebra universitaria '71, Álgebra universitaria y trigonometría '71, y un primer curso de Matemáticas universitarias '73 y '77, The Numbers Game '77.