Jorge Eduardo Bosch (1925 /2011).Matemático, epistemólogo, educador y escritor. Docente e investigador en matemática, relatividad, epistemología, pedagogía de la ciencia y filosofía de la cultura, áreas en las que publicó trabajos en revistas especializadas del país y del extranjero. Fue Profesor Titular en las universidades de Cuyo, Buenos Aires y La Plata, y Profesor Visitante en universidades de Chile, México, París, Amiens y Toulouse (Francia). Fundador y Rector de la Universidad CAECE. Ganó numerosas becas. Dirigió tesis de maestría y de doctorado. Publicó 19 libros: 10 de Matemática, uno de Pedagogía, uno de Cultura, uno de Lógica, uno de Comunicación, 2 de Ensayos estético-filosóficos, 3 de teatro.. Recibió nueve premios por algunas de estas obras. Miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires y de la Academia Nacional de Educación.Ganador del premio Konex 2006 de Educación.
EL PUNTO DE VISTA CONJUNTISTA
La aparición de la teoría de conjuntos, hacia fines del siglo XIX, significa algo más que el hallazgo de una nueva teoría matemática: tiene el valor de un nuevo estilo de pensamiento, de una nueva metodología que fue capaz de cambiar, en pocas décadas, la fisonomía de todo el edificio matemático. Su importancia filosófica e histórica es solamente comparable, dentro de esta ciencia, con las de la geometría griega y del cálculo infinitesimal. La irrupción de la geometría griega en la cultura de Occidente significó un vuelco en los medios cognoscitivos de la mente humana: el pasaje del cálculo práctico a la organización teórica, de la evidencia empírica a la demostración lógica. También el cálculo infinitesimal transfiguró los rasgos esenciales del conocimiento teórico, inaugurando una forma de pensar que en poco tiempo impregnó no sólo casi to da la matemática, sino también casi toda la ciencia natural. El tercer momento culminante en la historia de la matemática está marcado por la aparición de la teoría de conjuntos, que también inauguró un estilo original de pensamiento, destinado a impregnar toda la matemática y buena parte del conocimiento teórico en general.
La importancia conceptual de la teoría de conjuntos puede analizarse según tres aspectos: a) Como metodología y propedéutica para todo el conocimiento teórico; b) Como instrumento capaz de proporcionar una teoría positiva del infinito actual; c) Como base para establecer la fundamentación lógica de la matemática y de otras ciencias.
Analicemos por separado cada uno de estos aspectos.
a) La teoría de conjuntos como metodología y propedéutica para el conocimiento teórico
Todos los entes matemáticos pueden reducirse a conjuntos o a nociones de carácter conjuntista. Antes de ejemplificar y aclarar esta afirmación, es conveniente dar una idea acerca de la noción de conjunto que emplea la matemática.
En su trabajo profesional ordinario, todos los matemáticos actuales (excepto los especialistas en problemas de fundamentación lógica) usan la que suele llamarse teoría ingenua de conjuntos. La palabra ingenua interviene aquí con el siguiente significado: entendemos por teoría ingenua de conjuntos la teoría que adopta el término conjunto como primitivo y suficientemente claro para la intuición, sin entrar en detalles acerca de su fundamentación lógica. Se ve pues que el adjetivo ingenua se refiere solamente a la noción general de conjunto, y no al método expositivo: desde el punto de vista de la exposición, la teoría ingenua de conjuntos procede exactamente con las mismas pautas de precisión y rigor que cualquier rama de la matemática. En otros términos: la ingenuidad empieza y ter mina con la aceptación del significado intuitivo y usual del término conjunto; las definiciones posteriores (que se basan en esa noción intuitiva) y los teoremas o consecuencias lógicas, se establecen de acuerdo con los requerimientos formales usuales en matemática, sin ninguna ingenuidad adicional.
Sin embargo —y como es de suponer— aun esta noción ingenua de conjunto es más precisa y exacta en matemática que en el lenguaje cotidiano. Esta mayor exactitud está dada por un uso cuidadoso de dos términos: el de pertenencia y el de igualdad.
En el lenguaje cotidiano la palabra pertenencia se usa con un alto grado de ambigüedad. Entre los muy diversos matices de este término, destacaremos dos acepciones: la pertenencia como propiedad en el sentido del derecho; "esta casa me pertenece" quiere decir, en dicha acepción, "esta casa es mía", ", o sea "esta casa es de mi propiedad" y en consecuencia "puedo venderla, alquilarla, regalarla, etc." La otra acepción importante es la de ser elemento de un conjunto; "yo pertenezco a la Sociedad Protectora de Animales" quiere decir, en dicha acepción, "yo soy uno de los elementos que constituyen la Sociedad Protectora de Animales". Y bien: en la teoría de conjuntos se adopta exclusivamente esta segunda acepción de la palabra pertenencia.
Se dice que un ente (u objeto cualquiera) pertenece a un cierto conjunto C, si dicho ente es un elemento de los que constituyen el conjunto C.
Por eso se consideran sinónimas las dos locuciones siguientes:
x pertenece a C,
x es un elemento de C.
En ambas locuciones se considera sobrentendido que C es un conjunto.
Para indicar la pertenencia se usa el símbolo "∈". Así, las dos locuciones precedentes (sinónimas) se abrevian de este modo:
χ ∈ C.
Para indicar que un cierto ente (que denominaremos y) no pertenece al conjunto C, o sea que no es un elemento de C, se escribe
y ∉ C.
Por ejemplo, si llamamos SPA a la Sociedad Protectora de Animales (concebida como conjunto constituido por todos sus miembros), y si yo me simbolizo por JB, para indicar que yo pertenezco a la Sociedad Protectora de Animales escribiré:
JB ∈ SPA.
Para indicar que Tomás Simpson (abreviado TS) no pertenece a la Sociedad Protectora de Animales, escribiremos:
TS ∈ SPA.
Hasta aquí el uso cotidiano y el uso matemático del término pertenencia prácticamente no difieren. Pero las diferencias empiezan a notarse cuando se hace un análisis un tanto más fino. Por ejemplo: supongamos que mi perro, a quien llamaré P, ingresa en la Sociedad Protectora de Animales para someterse a un tratamiento médico. ¿Diremos que en tal caso P pertenece a SPA? Como evidentemente P está en la Sociedad Protectora de Animales, una primera (y grosera) intuición parecería indicar que, mientras dura su tratamiento, P pertenece efectivamente a SPA. Es decir, desde el punto de vista que estamos analizando, P estaría en las mismas condiciones que JB. Para dirimir la cuestión se hace necesario definir con precisión el conjunto SPA, es decir responder a la pregunta: ¿qué es la Sociedad Protectora de Animales? Posiblemente después de mucho discutir se llegue a la conclusión de que la Sociedad Protectora de Animales es un conjunto de Personas que se han asociado para proteger a los animales. Por tanto, lo más adecuado es confeccionar una lista de todas las personas que constituyen el conjunto SPA y luego adoptar este rígido convenio: si x figura en la lista, entonces x pertenece a SPA, y si x no figura en la lista entonces x no pertenece a SPA. Ahora la cuestión del perro se dirime fácilmente: ¿figura mi perro en la lista de las personas que se han asociado para proteger a los animales? Es sensato suponer que no. Entonces concluimos que
P ∉ SPA.
Resulta pues que el perro está en las condiciones de TS y no en las de JB.
Este criterio de la lista se usa mucho en matemática. Podemos decir que la solución que hemos dado a la cuestión de la Sociedad Protectora de Animales está en el espíritu de la teoría de conjuntos. Analicemos más aún: estamos de acuerdo en que yo pertenezco a la Sociedad Protectora de Animales; bien, pero teniendo en cuenta que mi nariz es una parte de mí mismo, ¿no es correcto afirmar que mi nariz también pertenece a la Sociedad Protectora de Animales? Como yo llevo mi nariz a todas partes, parece natural admitir que si yo ingreso en un conjunto mi nariz también lo hace. Pero esta idea de "ingresar" en un conjunto está demasiado vinculada con nociones de carácter físico (tales como el movimiento, por ejemplo) que son extrañas a las ideas básicas de la teoría de conjuntos. Si recurrimos al criterio drástico de la lista no podemos equivocarnos: ¿figura mi nariz en la lista de las personas que se han asociado para proteger a los animales? Es también sensato creer que no. Entonces, si designamos a mi nariz por la sigla NJB, concluimos:
NJB ∉ SPA.
¿Y el secretario de la Sociedad Protectora de Anima les? Supongamos que este señor ha sido contratado para cumplir servicios de secretaría pero que, como él no tiene ningún interés en proteger a los animales, no figura en la lista de las personas que se han asociado con ese fin. Conclusión: si de signamos por S al secretario, se tiene
S ∉ SPA.
El criterio de la lista parece suficientemente rígido como para satisfacer las pautas del rigor matemático. Pero es necesario hacer todavía una aclaración fundamental: las listas matemáticas no pueden cambiar, ni evolucionar, ni alterarse en modo alguno. El universo de las listas matemáticas es mucho más parmenideo que heraclitiano: lo que es, es, y lo que no es, no es. En cambio, en el lenguaje cotidiano se usan locuciones tales como "ampliar la lista", "modificar la lista", y no se sabe muy bien si la lista ampliada o modificada es la misma de antes o no. En matemática esta cuestión se resuelve también en forma drástica: no se acepta ninguna modificación. Si L es una lista de personas y se agrega un nuevo nombre a esa lista, lo que se obtiene es una nueva lista, distinta de la anterior, y a la cual conviene poner otro nombre; por ejemplo, L'.
Esto nos conduce a considerar el segundo de los términos en cuyo uso reside la mayor exactitud de la teoría ingenua de conjuntos con respecto al lenguaje cotidiano. Ese término es el de igualdad.
Diremos que el conjunto C es igual al conjunto C, si todo elemento de C es elemento de C', y todo elemento de C' es elemento de C.
En tal caso escribiremos:
C = C'.
Se ve que la igualdad es también drástica: los conjuntos C y C' son iguales si y solamente si constan de los mismos elementos. Basta que haya un elemento de C que no pertenezca a C', o un elemento de C' que no pertenezca a C, para que C sea distinto de C'. En tal caso se escribe:
C ≠ C'.
Esta rigidez en el concepto de igualdad de conjuntos hace que resulte arduo aplicar estrictamente estas ideas al lenguaje ordinario. Por ejemplo: desde el punto de vista del derecho usual, la Sociedad Protectora de Animales no puede ser una lista rígida de personas; por lo contrario, se acepta que la tal lista pueda variar. Si se aparta un socio o si ingresa uno nuevo, varía la lista, pero se acepta que la Sociedad Protectora de Animales continúa siendo la misma. Como en tantas otras cuestiones, lo que imposibilita aquí una aplicación inmediata de los cánones rígidos de la teoría de conjuntos es la idea de tiempo. Pero entiéndase bien: lo que es imposible es una aplicación inmediata de los cánones de la teoría de conjuntos a las situaciones reales en las que interviene el concepto de tiempo. Pero una aplicación no inmediata (es decir, elaborada y compleja) es perfectamente posible. Surge entonces la pregunta: ¿qué se gana al aplicar la teoría de conjuntos a las situaciones reales, si la cuestión puede llegar a hacerse suma mente complicada? La respuesta es simple: se gana precisión; es decir, exactitud. Esto no puede sorprender: cada vez que se han aplicado métodos matemáticos a situaciones reales el problema se ha complicado conceptualmente, pero se han obtenido en cambio resultados de una precisión antes desconocida. Lo que se pierde en sencillez conceptual se gana en exactitud.
Daré una ligera indicación acerca de los métodos más elaborados y complejos por los cuales se logra una aplicación estricta de los conceptos de la teoría de conjuntos a situaciones reales. La idea fundamental en este sentido es la de relación de equivalencia. No entraré en detalles ni en precisiones al respecto, sino que esbozaré la cuestión a grandes rasgos. En el ejemplo de la Sociedad Protectora de Animales la cuestión puede encararse de esta manera: se renuncia a la solución simplista consistente en definir SPA como una lista de personas. Introduciremos, en cambio, el concepto de sociedad elemental protectora de animales. Las listas de personas asociadas con el fin de proteger a los animales serán llamadas ahora sociedades elementales protectoras de animales. Así, por ejemplo, llamando L1 a la lista inicial constituida por los primeros socios, L1 es una sociedad elemental protectora de animales. Supongamos que un socio se aparta de la sociedad o que ingresa uno nuevo. Se obtiene así una nueva lista L2 , y por tanto una nueva sociedad elemental protectora de animales. Luego (al seguir variando los socios) se van obteniendo nuevas listas: L1, L2, L3 ..., etc. Todas éstas son sociedades elementales, en general distintas dos a dos. Pero, a pesar de ser distintas, tienen un vínculo común: les corresponde el mismo número en el registro de sociedades, se rigen por los mismos estatutos, persiguen los mismos fines, etc. Todo esto configura un cierto criterio de equivalencia. Una vez elegido el criterio de equivalencia (que debe ser suficientemente preciso y matemáticamente estricto), se establece que la sociedad elemental L1 es equivalente a la sociedad elemental L2, que ésta es equivalente a la sociedad elemental L3, etc. Llamemos A al criterio de equivalencia adoptado. (A puede ser un conjunto de normas jurídicas, etc.). Llamaremos clase de equivalencia de L1 según A el conjunto de todas las sociedades elementales que son equi valentes con L1 según el criterio A. Esta clase de equivalencia permite confeccionar una lista de listas:
L1, L2, L3, ... , Ln, ...
Y es esta lista de listas la que caracterizará a la Sociedad Protectora de Animales propiamente dicha. La Sociedad Protectora de Animales será entonces, por definición, la clase de equivalencia de la sociedad elemental L1 con respecto al criterio A.
La Sociedad Protectora de Animales, así definida, no es entonces un conjunto de personas, sino un conjunto de conjuntos de personas.
Este método trae aparejadas muchas complicaciones, tanto conceptuales como de notación, pero posee la innegable ventaja de que resuelve en forma precisa y exacta el problema planteado. Este método de las clases de equivalencia no es el único posible, pero es con seguridad uno de los más importantes. Justamente, el conepto de clase de equivalencia es uno de los más fecundos de toda la matemática, y es uno de los que han permitido, en el siglo xx, alcanzar un grado de abstracción, de generalidad y de precisión muy superior al de la matemática de los siglos anteriores.
El método que hemos empleado para definir una Sociedad Protectora de Animales tiene otras aplicaciones filosóficamente más prestigiosas. Por ejemplo, el concepto de número natural, que tanto preocupó a matemáticos y filósofos desde los orígenes hasta ahora, puede ser establecido mediante el concepto de clase de equivalencia. Como la matemática acepta la formación de conjuntos de conjuntos (según ya hemos visto), conjuntos de conjuntos de conjuntos, etc., es fácil sospechar que todos los entes de la matemática son susceptibles de ser definidos por métodos conjuntistas. Y así ocurre, en efecto. En el término de cuatro o cinco décadas, toda la matemática quedó firmemente establecida sobre la base de nociones conjuntistas. Los mismos métodos han sido aplicados con éxito a otras ciencias, como la física, la economía, la sociología. Puede verse una interesante aplicación a la sociología en el último capítulo del libro de Lía Oubiña: Introducción a la teoría de conjuntos.
b) La teoría de conjuntos como doctrina positiva del infinito actual
Ya hemos tenido ocasión de ver que algunos de los más geniales descubrimientos de la matemática fueron hallados en forma simultánea e independiente por dos investigadores; esto es lo que ocurrió, por ejemplo, con la geometría analítica, el cálculo infinitesimal y las geometrías no euclidianas. La teoría de conjuntos como doctrina positiva del infinito —una de las mayores creaciones del genio humano— es, en cambio, la obra de un solitario. Constituye, además, un caso singular en la historia de la ciencia, porque carece de antecedentes históricos. El cálculo de Newton y Leibniz estaba, sin ninguna duda, en el ambiente de la época. La teoría de la relatividad de Einstein tiene algunos precursores, como Mach, Lorentz y Poincaré. Pero la teoría de conjuntos de Cantor emerge de improviso y no se basa en ninguna idea y en ningún trabajo anterior. Se atribuye a Galileo haber intuido que "hay tantos números pares como números naturales", por confrontación de las dos sucesiones numéricas:
1 2 3 4 . . . n . . .
2 4 6 8 . . . 2n . . .
Algún débil anticipo de los métodos de Cantor puede rastrearse también en la obra de su contemporáneo Dubois Raymond. Pero hay un abismo entre estas intuiciones primarias e inconexas y la obra monumental de Cantor, que inaugura una nueva forma de pensamiento matemático y realiza el hallazgo de un nuevo universo mental: el de la aritmética transfinita.
Georg Cantor (1845-1918), alemán de origen ruso, es quizás el último de los grandes matemáticos incomprendidos. Tan original fue su obra, que contó durante largas décadas con la adversidad manifiesta de algunos distinguidos contemporáneos. Después de un trabajo solitario y empecinado de treinta años, Cantor deja totalmente formulada a fines del siglo XIX, con claridad y rigor inobjetables, una teoría matemática del infinito actual.
Es tradición filosófica distinguir entre el infinito potencial y el infinito actual: algún fundamento posee esta distinción, pero conviene advertir que se ha prestado a muchos equívocos y a profundas aberraciones. La diferencia entre la potencia y el acto tiene ilustres y antiguos comentadores; está emparentada con la diferencia entre el devenir y el ser, entre el mundo de Heráclito y el mundo de Parménides. El infinito potencial se obtendría mediante procesos que no nos enfrentan en ningún momento con el infinito en su totalidad, sino con un infinito que aparece como posibilidad (en potencia) y que se va realizando progresivamente. Reconozco que este lenguaje es oscuro y esotérico, pero es útil por las intuiciones que despierta. Su vaguedad, sin embargo, se ha prestado a lamentables confusiones. Se ha querido ver, por ejemplo, una forma de infinito potencial en la sucesión de los números naturales:
1 2 3 4 5 . . .
En efecto: en esta sucesión no aparece en ningún momento el infinito; no hay ningún número natural infinito, aun que se haya introducido muchas veces, para remediar esta carencia, el símbolo ∞. El infinito no aparece sino que se va desarrollando: nos damos cuenta de que los números naturales son potencialmente infinitos, porque si pensamos en una cantidad muy grande podemos hallar un número natural más grande aún, y luego otro más grande, y así sucesivamente. Esta disquisición puede ser útil, repito, como incentivo de la imaginación, pero es en sí misma confusa. En primer lugar, urge una vez más despejar la confusión surgida por la introducción clandestina de la idea de tiempo. "Ir desarrollándose", "devenir", "hacerse cada vez más grande", son locuciones fuertemente influidas por consideraciones temporales. Aunque pensadores ilustres, como Kant, creyeron que la sucesión de los números naturales, por el mero hecho de ser una sucesión, está esencialmente vinculada con el tiempo, lo cierto es que los métodos modernos de la matemática muestran claramente que esa creencia es descabellada. Y precisamente esos métodos modernos se basan en un enfoque conjuntista. Se trata, esencialmente, de distinguir entre un conjunto y un conjunto ordenado. El verdadero problema es el de definir el conjunto de los números naturales: una vez dado este paso, el equívoco se disuelve. Se requiere un cierto esfuerzo de imaginación para pensar en el conjunto de los números naturales y no en la sucesión de los números naturales; es decir, para pensar en el conjunto de los números naturales independientemente de todo ordenamiento. Admitamos que se pueda definir el conjunto de los números naturales, y llamemos N a este conjunto (desprovisto de toda idea de orden). No tiene ningún sentido decir que los elementos de N "devienen", o que "se hacen cada vez más grandes". Están todos allí, simplemente, actualmente (en el sentido de acto y no en sentido temporal). Todos los conjuntos que estudia la matemática tienen existencia actual en este sentido; los conjuntos están dados, y con ellos la totalidad de sus elementos: no hay nada parecido a una evolución, a un devenir. Conviene aclarar que, aun si se introduce un orden en N, es decir aun si se construye a partir de N un conjunto ordenado, esto tampoco tiene nada que ver con la idea de tiempo. En efecto: se puede dar una definición precisa y matemáticamente inobjetable de lo que quiere decir la frase "el número natural n es mayor que el número natural m", sin recurrir a ninguna consideración temporal. Y este concepto de mayor permite introducir un orden (atemporal) en el conjunto N.
Ahora estamos en condiciones de dar una versión rigurosa de las consideraciones intuitivas y oscuras acerca del in finito potencial de los números naturales. El conjunto N es potencialmente infinito en el sentido siguiente: para cada número natural n, existe otro número natural m mayor que n. Como se ve, el verbo usado es "existir", y no "devenir", ni "transformarse", etc. Así tratado, el infinito potencial no es una propiedad del conjunto solamente, sino del conjunto y un orden (en este caso, el orden construido mediante la relación de mayor). Así presentado, el infinito potencial está muy emparentado con el concepto de límite que estudia el cálculo infinitesimal. Puede afirmarse entonces que los problemas del infinito potencial en matemática fueron abordados en la Antigüedad por Eudoxo y Arquímedes, fueron sistematizados por Newton y Leibniz, y fueron adaptados a las pautas modernas de rigor y precisión por Weierstrass, en la segunda mitad del siglo XIX.
A lo largo de esos dos mil años quedó en pie el problema del infinito actual. Así como hemos dicho que el infinito potencial (o la infinitud potencial) es una propiedad de un conjunto y un orden, el infinito actual (o la infinidad actual) es una propiedad de conjunto simplemente (con abstracción de todo orden). El problema consiste en construir una teoría matemática (por ejemplo, una aritmética) que permita el estudio de los conjuntos infinitos del mismo modo que la aritmética ordinaria permite el estudio de los conjuntos finitos. En efecto: dado un conjunto finito A, existe lo que se llama el número cardinal de A, que es simplemente el número de elementos que contiene A. Así, el número cardinal del conjunto constituido por las letras a, b, c, d, es 4. Existe un método (que fue explotado a fondo por Cantor) para establecer si dos con juntos finitos A y B tienen o no el mismo número cardinal, sin necesidad de contar sus elementos. Basta con aparearlos. Esto quiere decir lo siguiente: se trata de formar pares de modo tal que en cada par intervenga un elemento de A y un elemento de B, y que cada elemento de A y cada elemento de B intervenga exactamente en un par. Por ejemplo: si en la platea de un teatro se observa que se han formado pares constituidos por un asiento y el espectador correspondiente, y se observa también que no sobra ningún asiento y no sobra ningún espectador, podemos afirmar, sin necesidad de contar, que el número cardinal del conjunto de asientos es el mismo que el número cardinal del conjunto de espectadores. Llamaremos correspondencia biunívoca a un tal apareamiento, en el que no sobran elementos de ninguno de los dos conjuntos en cuestión. Es obvio que si existe una correspondencia biunívoca entre dos con juntos, también existen (en general) otras tales correspondencias. En el ejemplo del teatro se ve que, si es posible aparear las sillas y los espectadores de modo de obtener una correspondencia biunívoca, basta que intercambien sus asientos dos espectadores para obtener otra correspondencia biunívoca. Pero lo que interesa en lo que concierne a la cardinalidad es que exista por lo menos una correspondencia biunívoca. Llegamos así a la siguiente definición:
Se dice que el conjunto finito A tiene el mismo número cardinal que el conjunto finito B, si existe por lo menos una correspondencia biunívoca entre A y B.
La idea de Cantor consistió simplemente en borrar la palabra "finito" en esta definición. Se obtiene así una definición más amplia, que comprende la anterior como caso particular:
Diremos que el conjunto A tiene el mismo número cardinal que el conjunto B, si existe por lo menos una correspondencia biunívoca entre A y B.
Se presentan inmediatamente, al aplicar esta definición a conjuntos infinitos, dos cuestiones bastante sorprendentes. La primera de ellas, que ya habría observado Galileo, consiste en la comprobación de que un conjunto infinito tiene el mismo número cardinal que una de sus partes (distinta de él). El ya mencionado apareamiento entre el conjunto N de los números naturales y el conjunto P de los números pares,
1 2 3 4 5 . . . n . . .
2 4 6 8 10 . . . 2n . . .
da lugar, efectivamente, a una correspondencia biunívoca. De esto se concluye que N tiene el mismo número cardinal que P. En términos intuitivos: hay tantos números naturales como números pares; o bien, el conjunto de los números naturales es igualmente numeroso que el de los números pares. Esto parecería indicar que el todo no es mayor que cual quiera de sus partes, ya que el conjunto P es una parte del
conjunto N. Esto no es una contradicción lógica: revela simplemente que los conjuntos infinitos se comportan en forma distinta que los conjuntos finitos, lo cual era de esperar. Más aún: el hecho observado es una característica de los conjuntos infinitos.
Un conjunto es infinito si y solamente si tiene el mismo número cardinal que alguna de sus partes (distinta de él mismo).
La segunda cuestión sorprendente surge cuando se trata de contestar la siguiente pregunta: ¿no será que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo número cardinal? Si así fuera, la aritmética transfinita sería completamente trivial. Pero, justamente, y he aquí una revelación original de Cantor, existen conjuntos infinitos de diversas cardinalidades. Por ejemplo: el conjunto de los números reales no tiene el mismo número cardinal que el conjunto de los números naturales. Hay pues distintos números cardinales infinitos o transfinitos, y la aritmética transfinita tiene un sentido no trivial. Puede verse (y Cantor así lo demostró) que existen infinitos números cardinales transfinitos distintos. También definió Cantor los conceptos de mayor, menor, suma, multiplicación y potenciación de números cardinales en general, de modo que quedaron englobadas en una única aritmética cardinal la aritmética finita y la artimética transfinita.
De este modo quedó resuelto el problema de incorporar el infinito actual a los métodos rigurosos de la matemática. Pero no terminó aquí la obra original de Cantor. Además de la aritmética cardinal, Cantor desarrolló una aritmética ordinal, introduciendo el concepto de número ordinal. Esto deparó una nueva sorpresa: si bien en el caso de los conjuntos finitos la distinción entre aritmética cardinal y aritmética ordinal carece de interés, por cuanto son "esencialmente" la misma, en el caso de los conjuntos infinitos esa distinción cobra gran importancia: la aritmética ordinal transfinita es esencialmente distinta de la aritmética cardinal transfinita.
Lo que precede es una idea intuitiva y no del todo precisa de los métodos fundamentales que permitieron a Cantor organizar un tratamiento riguroso del infinito actual. La idea de correspondencia biunívoca que he esbozado debe considerarse sólo como una primera aproximación. Un tratamiento matemáticamente elaborado de estas cuestiones puede consultarse en un texto de teoría de conjuntos. Para una introducción en nivel muy elemental puede verse, por ejemplo, Trejo y Bosch, Ciclo medio de matemática moderna, segundo curso (Eudeba).
Bibliografía:
Bosch, Jorge.(1971). Qué es la matemática. Buenos Aires: Editorial Columba. Colección Esquemas Nº 109.
👀 Recomendamos leer a continuación :
Comentarios
Publicar un comentario