En esta publicación continuamos transcribiendo parte de los juegos avanzados que figuran en el libro de Siegfried Kothe, (1991), Cómo utilizar los Bloques LÓGICOS de Z. P. Dienes. Barcelona: TEIDE.
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2 JUEGOS DE NEGACIÓN
Juego 29
¿Qué característica falta?
Tomamos un bloque y ya no preguntamos sólo cómo es el bloque (juego 14), sino también cómo no es. Este juego es una variante del juego 17 en el que las cruces indican los atributos que corresponden al bloque y los cuadros en blanco nos indican lo que no es. El bloque de la primera fila de la figura 15 es «rojo y cuadrado y delgado y grande». También es «no azul y no amarillo y no redondo y no rectangular y no triangular y no grueso y no pequeño». Cuatro propiedades corresponden al bloque, y siete no le corresponden
Debemos introducir un símbolo que indique «no». Emplearemos la letra N colocada delante del símbolo del atributo. Se trazará en negro sobre una cartulina (fig. 34). No rojos, simbolizado como se indica en la figura 35, hace referencia al resto de bloques, que son azules o amarillos.
Juego 30
Conjunto parcial-Conjunto diferencia
Este juego consiste en formar un conjunto parcial ateniéndose a una de las 11 propiedades y caracterizar el conjunto diferencia con la expresión «no». Todos los bloques cuadrados constituyen un conjunto parcial. Los 36 bloques del conjunto diferencia son «no cuadrados». También podría decirse: «Aquí tenemos todos los bloques que son circulares o triangulares o rectangulares». Volveremos a repetir lo que ya se ha dicho en cuanto a la utilización del «no». Se irán aplicando sucesivamente todos los 11 atributos, para formar conjuntos parciales («gruesos», por ejemplo) y conjuntos diferencia (por ejemplo, «по grueso»). Se colocan junto a los conjuntos las correspondientes cartulinas indicadoras.
Juego 31
¿Qué atributo común no se da en un conjunto de bloques?
Un grupo de niños acuerda ir poniendo en fila bloques que no presentan un atributo determinado. Un niño, que desconoce este acuerdo previo, debe adivinar dicho atributo. Por ejemplo, los niños separaran todos los bloques «no azules». Sólo podrán coger bloques amarillos o rojos, los cuales naturalmente podrán tener distinta forma, grosor y tamaño. El niño debe observarlo detenidamente e identificar el atributo que falta, a base de comparar todos los bloques que ya se han separado. Después de examinar los cuatro primeros bloques (fig. 36), podría aventurar: No pequeños.
En realidad, todos esos bloques son grandes, de modo que no estaría intentando adivinar a ciegas, sino que su respuesta respondería a una reflexión. El grupo de niños que ha separado los bloques, grita regocijado: «¡No!» «¡Mira el bloque que sigue!» Este podría ser, por ejemplo, amarillo, cuadrado, grande, grueso. Ahora el niño que está intentando adivinar piensa: no ha salido ningún bloque triangular; o sea que: «No triangular», «¡Equivocado!» Con cada nuevo bloque aparecen nuevas posibilidades de combinación. En el ejemplo, la respuesta buscada es «no azul». Evidentemente, los niños desean reconocer el atributo que falta observando un mínimo de bloques. Es posible que en el grupo haya algún chico travieso que desee poner dificultades al niño que intenta adivinar. Pueden planear conjuntamente la estrategia a seguir. Como es lógico, el otro no debe enterarse. Una estrategia podría ser: Primero colocaremos sólo bloques grandes y no triangulares. Naturalmente, esta estrategia no puede impedir que el que intenta adivinar se fije también en los colores. El azul no aparece, de modo que la respuesta «no azul» está al alcance de la mano. En ese caso, no habrá resultado el intento de hacer que se confunda con el tamaño (sólo hay bloques grandes) o con la forma (bloques no triangulares).
Naturalmente, no se empleará la argucia citada en el ejemplo cuando se conoce poco el juego. Algunos niños tienen dificultades para descubrir el atributo que no puede verse. Esta reflexión combinada exige que el niño esté perfectamente familiarizado con los bloques y sus atributos. En cuanto los niños dominen los principios básicos del juego, se les ocurrirá espontáneamente la idea de dificultar al contrario la determinación del atributo que busca. Los profesores siempre prestarán atención a la estrategia de juego desarrollada de forma espontánea y estimularán cualquier intento de los niños en este sentido.
Cada juego debe concluirse buscando también los bloques restantes que no han sido apartados, todos los que (en el ejemplo) son «no azules». Dividimos el conjunto referencial en dos conjuntos parciales definidos por el atributo determinado. Unos bloques presentan esa propiedad, los otros no. La reunión de los dos conjuntos parciales vuelve a formar el conjunto referencial.
Juego 32
Juego de tiendas
Los bloques son ahora piedras preciosas. Un niño pone en venta las 48 piedras preciosas. Otro niño, en su calidad de comprador, piensa cuál de ellas desea comprar, pero no descubre su elección. El vendedor debe intentar adivinar el deseo del comprador a base de ofrecerle distintas piedras preciosas, empleando el lenguaje propio de los tenderos. Podría ir mostrándole todas las piedras una a una, pero en el peor de los casos sólo daría con la adecuada después de 48 tentativas. Es preferible ofrecer piedras preciosas con atributos comunes. Si éstas son rechazadas (negación) de inmediato queda descartado todo un conjunto parcial. La próxima oferta representará otro conjunto parcial del conjunto diferencia. De este modo se determinará la piedra preciosa deseada con sus cuatro propiedades. Posible lenguaje a emplear: «Tenemos unas piedras amarillas muy bonitas». «No me gusta el amarillos. ¿Preferiría entonces una piedra roja?» «No, las rojas no son de mi agrado». Estas piedras grandes y gruesas están muy bien de precio.» etc. Se van apartando las piedras descartadas. En vez de rechazar el amarillo, el comprador podría haber indicado que deseaba el color azul. En este caso, hubiese dicho demasiado, ya que en cada juego se trata de que el vendedor haga muchas ofertas. Los niños con facilidad de palabra a veces adornan con gran fantasía las respuestas afirmativas y negativas. Una vez rechazado el amarillo y el rojo, el vendedor ya sabe que sólo puede tratarse de una piedra azul. Inmediatamente, pasa a ofrecer piedras grandes y gruesas. Evidentemente serán azules. Algunos niños hacen la pregunta superflua, antes de seguir adelante. Los pequeños deben adquirir primero la experiencia de que para determinar una posibilidad entre tres basta preguntar dos veces como máximo. Una vez aceptada la última oferta, quedan los cuatro bloques azules, gruesos y grandes. Es preciso preguntar por cada forma por separado.
Juego 33
Esconder un bloque
El juego 32 se basa en una situación sacada de la vida cotidiana. Los niños están familiarizados con el lenguaje que se emplea en las tiendas, según puede apreciarse por las expresiones que aparecen en el juego. Actualmente, se valora cada vez más la importancia de este tipo de experiencias cotidianas para una formación matemática. Por ello, convertiremos el juego de tiendas en un juego formal de preguntas, Aquí se trata de determinar el bloque escondido con un mínimo de preguntas. Los niños deben aprender primero la estrategia de estas preguntas. En este juego se ven libres de la preocupación adicional que suponen las expresiones empleadas en las tiendas y se mueven dentro del ámbito observable del conjunto de bloques, en el que sólo son significativos los 11 atributos perceptibles por los sentimientos. Es aconsejable colocar primero todos los bloques en el suelo. Los niños se sientan formando un círculo en torno a los bloques. Primero están de espaldas a los bloques. Un niño aparta un bloque y lo esconde. ¿Qué bloque ha escondido? Puede adivinarse la respuesta o buscarla a base de ordenar los bloques. Es importante que los niños jueguen con toda la libertad posible. Las reglas del juego no deberían imponerse hasta que la situación cree las circunstancias favorables. Esto se aplica a casi todos los juegos. Tiene gracia ver la sorpresa de los niños que están buscando la respuesta a base de ordenar los bloques cuando descubren que se han escondido todos los bloques pequeños, delgados y rojos, por ejemplo. La ausencia de este conjunto parcial característico desconcierta a algunos niños.
Después de este juego preparatorio se puede jugar sin tocar los bloques. Sólo se permite preguntar los atributos y responder «si» o «no», a fin de determinar qué bloques faltan. No es de esperar que todos los niños adviertan de inmediato que el número de preguntas necesarias oscila entre 4, en caso de suerte, y 7 en caso de desgracia. El juego 37 permitirá conocer las estrategias lógicas que pueden emplearse al preguntar.
Juego 34
Jugar a carreteras
Todos los bloques son casas. Los conjuntos parciales de bloques con la misma característica constituyen un pueblo. El nombre del pueblo viene dado por la propiedad característica. Ahora se unen los pueblos con carreteras (hilos de lana u otro material por el estilo).
En la figura 37 pueden verse posibles trazados de carreteras. Una vez construidas las carreteras, los niños deben poner indicadores (cartulinas caracterizadoras) en los cruces. Naturalmente, nuestros ingenieros de caminos pueden hacer primero planos sobre papel. Las posibilidades de estructuración de carreteras resultan aún más interesantes cuando se trata de unir cuatro pueblos (forma). En el caso del grosor y el tamaño, sólo habrá dos pueblos. A veces a los niños se les ocurre ordenar las casas a uno y otro lado de la carretera según su tamaño o grosor. Otros niños dividen el pueblo en un pueblo cuadrado pequeño y un pueblo cuadrado grande. No deben ponerse límites a la fantasía. Los pueblos no deben tener calles. Todas las casas están alineadas junto a la carretera principal.
Juego 35
Buscamos el camino de las torres
Se construyen 12 torres de cuatro bloques de la misma forma y color (fig. 38). Después se dibuja la red de carreteras en un papel. Los niños deben colocar las tiras correspondientes (cinta adhesiva, por ejemplo) guiándose por el dibujo. Por último colocan indicadores (cartulinas).
Señala el camino hacia la torre triangular azul. El punto de partida será siempre la carretera principal. En las ramificaciones debemos tomar una decisión. Algunos caminos no interesan. Describimos la dirección escogida (derecha, izquierda, medio). Al mismo tiempo se va siguiendo el camino con el dedo (cochecito de juguete, etc.). ¿Quién se equivoca y tiene que volver atrás? Es posible que algunos niños sólo sean capaces de seguir el camino con el dedo. Practicaremos la descripción. No resulta fácil distinguir la derecha de la izquierda.
Construimos luego una red de carreteras distinta para llegar a las torres (fig. 39). Será preciso cambiarlas de sitio. No debe variar la sucesión de color y forma dentro de los correspondientes grupos, según se ve en las figuras 38 y 39. Estas corresponden a experiencias sobre la sucesión de colores y formas adquiridas en los juegos 3 y 11. La red de caminos se complica aún más, si también establecemos bifurcaciones según el grosor. También puede hacerse más sencilla, si no se caracterizan las torres por el color, sino sólo por la forma y el grosor, por ejemplo.
Juego 36
¿Dónde está escondido el tesoro?
Los niños construyen las torres y trazan caminos, siguiendo el trazado de las figuras 38 o 39, por ejemplo. Se les cuenta una historia de un ladrón que escondió dinero en una de las torres. El ladrón es detenido y debe conducir a un policía hasta la torre donde está escondido el dinero. El ladrón habla muy poco y sólo responde «sí» o «no». Indicaremos brevemente el diálogo, siguiendo la figura 39: ¿La torre es de color rojo? «¡No!» ¿Amarillo? ¡Sí!» ¿Es una torre redonda? ¡No!», etc. Antes de iniciar el diálogo, el ladrón ha colocado un papelito bajo la torre correspondiente. De este modo puede controlarse si los niños juegan bien. Si el policía no encuentra el papelito, se ha cometido algún error y debe empezarse de nuevo.
Juego 37
La red de caminos para los 48 bloques.
Este juego tiene por objeto establecer otro modelo para la estructura del juego 33, aprovechando las experiencias adquiridas en los juegos 34 al 36. Es posible que los niños reconozcan la estructura común de los juegos 33 y 37. Ahora, los 48 bloques son cada uno una torre. Todos juntos intentan construir redes de caminos. Primero será necesario aumentar el número de torres del juego 35. Como primer paso, se podrían separar los bloques pequeños de los grandes. Cada uno de los 12 puntos terminales de la figura 38 debe dar lugar a una bifurcación. En los nuevos puntos terminales habrá torres de dos bloques. Ambos tienen características iguales: color, forma, tamaño. Sólo difieren en el grosor. Ahora podemos tenerlo también en cuenta. Entonces, la estructura de caminos seguirá el esquema de la figura 40. Si se procede de la misma forma que en el juego 36, el juego de policías aplicado a la figura 40 coincidirá completamente con el juego de preguntas. La estructura variará según el orden de las preguntas que sigan uno de los siguientes órdenes de sucesión: 1) forma, color, tamaño, grosor. 2) forma, color, grosor, tamaño.
¿Cómo será el trazado cuando sea distinta la sucesión de los grupos de atributos? Si la discusión referida al conjunto total resulta demasiado difícil, también se puede jugar con bloques de una sola forma o color.
En tanto que en el juego 33 los niños debían buscar una estrategia de preguntas adecuada, en este juego 37 se presentan de forma visual los caminos lógicos a seguir para formular las preguntas. Con un mínimo de cuatro y un máximo de siete preguntas queda determinado un bloque, independientemente de la sucesión de los grupos de atributos. En la fig. 40, deben pasarse cuatro ramificaciones para llegar a un bloque, es decir, que un bloque viene determinado por cuatro atributos.
Si cada vez que se pregunta por las características del bloque se recibe una respuesta afirmativa (+), tendremos el caso mínimo: redondo (+), amarillo (+), grande (+), delgado (+). El caso máximo constará de siete no (–): cuadrado (–), triangular (–), rectangular (–), rojo (–), azul (–), pequeño (–), grueso (–). Todos los otros casos comprenden las dos clases de respuestas.
Juego 38
Camino hacia la meta
Los 48 bloques son vehículos. Éstos no pueden seguir el camino que quieran, sino que todo está perfectamente indicado. En la figura 41 puede verse la red de caminos con las cartulinas como indicadores. Tenemos cuatro metas. ¿A cuál llegará cada bloque?
En la primera bifurcación debe tenerse en cuenta si se trata de un vehículo rojo o no-rojo. La otra distinción se establece entre triangular y no-triangular. Por ejemplo, todos los cuadrados rojos llegan a la Meta 2. El rectángulo amarillo llega a la Meta 4. Siempre debe tenerse en cuenta primero el color y después la forma. La mejor es que los niños hagan correr los bloques. En cuanto un bloque ha llegado a la meta, el niño toma otro.
La mayoría de estos juegos pueden jugarse en el patio de recreo. Se trazan los caminos y se colocan los indicadores. Los niños toman un bloque y van recorriendo ellos mismos los caminos. El trayecto puede hacerse más largo, si se añade una nueva bifurcación (grueso-no grueso) una vez alcanzadas las metas anteriores. En conjunto, el trayecto puede exigir que se tomen cuatro decisiones: 1. color, 2. forma, 3. grosor, 4. tamaño.
En la figura 42 puede verse la red general de caminos. Pueden distribuirse los indicadores de la forma correspondiente. Siempre debe indicarse un color, una forma, un grosor y un tamaño. Por ejemplo, en la red de caminos de la figura 42, los vehículos también podrían repartirse de la siguiente forma: Primera bifurcación: delgado- no-delgado; segundo grupo de (dos) bifurcaciones: rojo- no-rojo; tercer grupo de (cuatro) bifurcaciones: grande- no-grande; cuarto grupo de (ocho) bifurcaciones: redondo- no-redondo. Se van colocando los bloques en la meta.
Mientras queden bloques, se irán colocando, según el camino correspondiente.
En los descansos observamos los conjuntos parciales de bloques colocados en las metas. En la figura 41: Meta 1, rojo y triangular; Meta 2, rojo y no-triangular; Meta 3, no-rojo y triangular; Meta 4, no-rojo y no-triangular.
Esta caracterización de los conjuntos parciales resulta de la señalización de los caminos que acaban de seguir los bloques. Comprobamos cada uno de los conjuntos parciales. En la figura 42, en la meta se dan 16 conjuntos parciales. El atributo de un conjunto parcial se obtiene siguiendo el camino común por el que han pasado todos los bloques del mismo. Además, cuando los conjuntos parciales vienen caracterizados por cuatro propiedades sin negación, en cada meta hay un solo bloque. (Los matemáticos también hablan de conjunto, aunque éste tenga sólo un elemento.)
Juego 39
Otra forma de ordenar los bloques en cajas
En este juego se aprende una nueva aplicación de las coordenadas. Los juegos de ordenación permitieron llegar a esta idea. Aquí se aplicará de nuevo para ordenar los bloques en cajas haciendo uso de la negación de atributos. En la figura 43 tenemos cuatro cajas (cestas, etc.). Las cifras sólo indican al profesor cuántos bloques habrá en la caja, si se sigue con exactitud el principio de ordenación.
El juego 39 se podría comenzar colocando las cuatro cajas y dirigiendo la discusión hacia las distintas posibilidades de ordenar en ellas los 48 bloques. La más inmediata es la clasificación según la forma. Ahora vamos a exigir una ordenación perfectamente determinada: «¿Quién adivina cuál es, viendo las seis cartulinas? ¿Dónde se encuentra la cartulina?» Es posible que al reflexionar se advierta que en el juego 38 se siguió una ordeņación parecida. Los conjuntos de bloques que aparecen en ambos juegos son idénticos. Si los niños no establecen la comparación de forma espontánea, ésta puede provocarse practicando simultáneamente los juegos 38 y 39 con distintos grupos de niños.
Después, los niños buscarán los conjuntos parciales correspondientes a dos atributos cualquiera y sus negaciones. Es posible que se den casos que permitan realizar una primera experiencia del concepto matemático de conjunto vacío. En la figura 44 pueden verse los resultados de ciertas ordenaciones que a veces desconciertan a los niños. ¡Pero quedan una o más cajas vacías! Ello es lógico, puesto que nunca podrán darse simultáneamente en un mismo bloque ciertas combinaciones de atributos (grueso y delgado, no-grueso y no-delgado, rojo y amarillo).
El matemático llama «conjunto vacío» al conjunto que carece de elementos. Solamente existe un conjunto vacío. El hecho de que aparezcan dos cajas vacías no debe hacer pensar que existan dos. El conjunto no es la caja, es lo que ponemos en ella (nada). Los bloques que son no-amarillos y no-rojos, son azules. Los que son no-amarillos y rojos, son rojos. A veces los niños lo captan con mayor rapidez que los adultos. Perciben lo correcto con ingenua seguridad. El juego 39 ocupará largo rato a los niños, si se les van escogiendo nuevas combinaciones de cartulinas.
NOS PERMITIMOS RECORDAR ...
En el libro Los primeros pasos en matemática. 1: Lógica y juegos lógicos. Z. P. DIENES /E. W. GOLDING. Barcelona: EDITORIAL TEIDE, encontramos un capítulo absolutamente interesante y necesario para interiorizarse sobre una de las notaciones utilizadas en diversas partes del mundo: la notación de Jan Lukasiewicz .
Te invitamos a leerlo aquí 👉 "Zoltan Dienes: Los símbolos lógicos"
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