A Georg Cantor, infinitamente agradecidos

 

por Alfredo Raúl Palacios

El matemático ruso Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, muerto en 1918, acometió la quijotesca empresa de estudiar y clasificar las colecciones o conjuntos infinitos de objetos matemáticos, pensándolos precisamente como totalidades actuales y no potenciales. Para llevar a cabo esa empresa tuvo que vencer dificultades conceptuales y psicológicas de tal magnitud que el esfuerzo creador exigido por su genio le costó la salud y la vida.

No vamos a detenernos en la teoría de los conjuntos por él fundada, sillar básico de la matemática moderna, porque no es éste el momento de presentarla, pero sería muy interesante que cada uno de nosotros reflexionara sobre el revolucionario punto de vista adoptado y sustentado por el sabio ruso. La afirmación varias veces secular de que el todo es mayor que la parte, que hasta entonces venía siendo admitida como axiomáticamente verdadera en general, pasa a ser, con Cantor, un sencillo postulado que puede o no aceptarse según el caso: se acepta al tratar conjuntos finitos de objetos y se rechaza al tratar conjuntos infinitos de objetos; en aquéllos vale, en éstos no. Y entonces, una de dos: o continúa el matemático aprisionado por ese postulado siempre ratificado por la experiencia finita y, por tanto, como Galileo, desecha el infinito actual; o bien se libra de ese postulado e incorpora a la ciencia el dominio del infinito actual, que no obedece al decreto tradicional de que el todo es mayor que la parte. Tamaña audacia conceptual sólo es comparable a algunas metáforas de los poetas.

No escapa a la sagaz observación borgeana la concepción de esta totalidad representada por la figura de Cantor; de aquí que, en "La doctrina de los ciclos", pueda leerse: "Esa verosímil contestación de Friedrich Zarathustra me hace recurrir a Georg Cantor y a su heroica teoría de los conjuntos".

Con el vocablo "heroica", Borges resume su valoración de la tarea cantoriana y de la concepción vital integradora que está en la base de toda auténtica empresa humana.

Cantor siguió el camino más difícil: el de la verdadera creación. Por ello mismo, dio lugar, sin proponérselo, a una de las mayores crisis de crecimiento de la ciencia matemática.

En la obra de Borges, el proceso cantoriano aparece en su totalidad, tanto desde el punto de vista del esfuerzo personal como desde el punto de vista de la clara conceptualización del infinito actual.

En las raíces de la noción de infinito actual, subyace la llamada correspondencia biunívoca. Esta clase particular de correspondencia establecida entre los elementos de conjuntos resulta muy sencilla y verdaderamente natural. Borges encuentra un excelente ejemplo para ilustrarla, cuando, en "La doctrina de los ciclos"[1], dice:

Cantor destruye el fundamento de la tesis de Nietzsche.

Afirma la perfecta infinitud del número de puntos del universo, y hasta de un metro de universo, o de una fracción de ese metro. La operación de contar no es otra cosa para él que la de equiparar dos series. Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron matados por el Ángel, salvo los que habitaban en casa que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como seña les rojas había, sin que esto importe enumerar cuán tos fueron (págs. 77-78).

Y continúa diciendo Borges:

Aquí es indefinida la cantidad; otras agrupaciones hay en que es infinita (pág. 78).

Es menester que el lector se detenga en esta aclaración del ensayista y que resulta muy importante desde el punto de vista matemático. La correspondencia propuesta entre el conjunto de los primogénitos de todas las casas de Egipto que no fueron muertos por el Ángel y el conjunto de todas las casas que tenían en la puerta una señal roja y eran habitadas por primogénitos, sólo asegura equinumerosidad, pero no especifica el número particular para el cual se satisface.

Debemos recordar que el ejemplo se refiere a una correspondencia entre conjuntos finitos. Repase el lector el tramo del ensayo que comienza señalando: "el conjunto de los números naturales es infinito", y se extiende hasta la siguiente aseveración: "la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar" (págs. 78-79). Basta esa lectura, para poder advertir la pulcritud que el manejo del concepto de correspondencia biunívoca recibe de parte del ensayista. Es notoria la vinculación que tiene el material seleccionado con el concepto matemático que presenta Cantor, como postulado, para la incorporación —dentro de la disciplina—de los llamados conjuntos infinitos. Además de ser explícito, el concepto está presentado con real justeza y exactitud. 

El concepto de infinito actual conlleva una fuerza interior muy grande y nos conduce a un laberinto de propiedades que no recorremos a diario en la tarea matemática viciada de finitud. Si se acepta que, en el mundo de lo infinito, ¡una parte pueda ser igual al todo!, debemos estar preparados para encontrar, en ese nuevo mundo, grandes sorpresas. Así, por ejemplo, nos lo muestra elocuentemente el siguiente relato del genial matemático David Hilbert procedente de The Complete Collection of Hilbert Stories, de R. Courant:

Imaginemos un hotel con un número finito de cuartos, y supongamos que todos están ocupados. Llega un nuevo pensionista y pide una habitación. "Lo lamento —dice el propietario—, pero todos los cuartos están ocupados."

Ahora imaginemos un hotel con un número infinito de cuartos, también todos ocupados. A dicho hotel viene un nuevo pensionista y pide una habitación. "¡Por supuesto!" —exclama el propietario; y traslada la persona que ocupaba anteriormente el cuarto N° 1 al cuarto N° 2, el ocupante del cuarto N° 2 al Nº 3, el ocupante del cuarto N° 3 al N° 4 y así sucesivamente. El nuevo cliente recibe la habitación N° 1, que queda libre como consecuencia de tales traslados.

Imaginemos ahora un hotel con un número infinito de cuartos, todos ocupados, y un número infinito de nuevos pensionistas que vienen y piden habitaciones. "Sin duda, caballeros —dice el propietario—; esperen nada más que un minuto". Pasa el ocupante del N° 1 al N° 2, el del N° 2 al N° 4, el del N° 3 al N° 6 y así sucesivamente... Ahora todos los cuartos con número impar quedan desocupados y el infinito de los nuevos pensionistas se puede acomodar fácil mente en ellos.

Si bien Borges no agota en "La doctrina de los ciclos" el tratamiento del concepto de infinito actual, es tal vez donde más explícitamente lo ha abordado. No obstante, vuelve sobre él en textos como "El Aleph" (de El Aleph) y "El libro de arena" (de El libro de arena); y reaparece en ellos con toda la potencia que el mencionado concepto posee y con el manejo preciso de las posibilidades mentales que la matemática ha proporcionado a la humanidad para el tratamiento del problema. En los casos mencionados, la cuestión se brinda o bien como tema del texto cuentístico o bien como referencia ocasional de la ficción literaria, referencia que el análisis permite detectar. Cabe suponer que el empleo de tan compleja estructura conceptual—complejidad que, paradójica mente, surge de la simplicidad misma de la cuestión— se produzca por pura casualidad. En efecto: afirmar que el todo es equinumeroso a la parte suena como una suerte de monstruosidad lógica para todo el que no esté habituado a pensar de acuerdo con definiciones y permite que subrepticiamente invadan el fuero lógico nociones ajenas a tales definiciones. Por ejemplo, si en lugar de considerar la sucesión de los números naturales compuesta como está de infinitos términos, permitimos que se deslice en nuestra mente la noción de una parte finita de dicha sucesión, inevitablemente aparece la paradoja, por que, limitada la sucesión natural a los diez primeros números, resulta:

donde vemos que el número de números pares es justamente la mitad del número de números naturales menores o iguales a diez. Así, la parte es menor que el todo.

Lo dicho presupone que, para elaborar una obra donde la presencia del concepto matemático aparezca respetuosamente tratada, es absolutamente necesario y fundamental haber elaborado, previamente, el concepto, y luego, a partir de allí, concedérsele el tratamiento inherente a la creación literaria; de modo que tomada primero en sí la idea matemática pura, se jugará luego con la posibilidad de transferirla al mundo de la ficción estética. Así resulta en Borges, cuyos textos con inclusión de elementos matemáticos se constituyen en claros ejemplos de matemática aplicada. Este logro, destacable por la importancia y la dificultad de obtención que entraña, se amerita aun más en razón de su infrecuente aparición en el campo de la ficción literaria.

Cantor designó con la letra ALEPH ℵ, la primera del alfabeto hebreo, y con un subíndice 0 (cero), es decir: ℵ₀ (aleph cero), al número de cualquier conjunto que se pueda hacer corresponder biunívocamente con el conjunto de todos los números naturales. Generalizando, pues, el lenguaje aplicado a los conjuntos finitos, podemos decir que hay ℵ₀ números naturales, igual número de números pares e igual número de potencias n-ésimas. El mismo Cantor extendió la noción de sucesión de números finitos (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) a una su cesión de números transfinitos, a los que designó ℵ₀ (aleph cero), ℵ₁ (aleph uno),ℵ₂ (aleph dos)

De lo expuesto, se deduce que no puede ser casual que Borges haya titulado a uno de sus textos "El Aleph". Para corroborarlo, basta revisar la "Posdata del primero de marzo de 1943", que acompaña el texto del citado relato (v. pág. 168), donde, a propósito del Aleph, expresa: "para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes". Mengenlehre es denominación que procede muy posiblemente del trabajo de Georg Cantor, publicado en 1895. Se puede traducir como Teoría de los Conjuntos.

Indudablemente, si seguimos rastreando la trayectoria de encadenamiento de conceptos matemáticos, es posible obtener nuevos y notables aportes de la literatura borgesiana a la tarea de matemática aplicada.

 Una importante propiedad de los números racionales es la de formar un conjunto denso; ello significa que, entre dos números racionales, existen infinitos números racionales. Por ejemplo, entre 0 y 1, aparecen, entre otros: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6; entre 0 y 1/2, están 1/3, 2/5, 3/7, 4/9... Véase, en la pág. 79, el pasaje de "La doctrina de los ciclos" que comienza expresando "La serie de los números naturales está bien ordenada" y concluye "Cada punto 'ya' es final de una infinita subdivisión". Y el mismo concepto de densidad de los números racionales y, en general, el de conjunto denso reaparece también en el relato "El libro de arena", texto en el cual es posible detectar una precisa mención del concepto de orden matemático.

 En el "Epílogo" de El libro de arena, Borges comenta los textos incluidos en la obra y dice:

Dos objetos adversos e inconcebibles son la materia de los últimos cuentos. El disco es el círculo euclidiano, que admite solamente una cara: El libro de arena, un volumen de incalculables hojas. (Ed. cit.; págs. 181-182).

Una vez leídos los dos cuentos y situados frente a la referencia que hace el autor, creemos conveniente adoptar un enfoque que presuponga que la mencionada referencia, si bien responde a una enunciación de tipo matemático, es anterior y procede de la influencia que la filosofía ha volcado sobre la matemática, en la antigüedad griega. Para un abordaje de tal naturaleza, proponemos al lector el siguiente postulado: "Si mi mente fuese como una roca y no como una nube, mi pensamiento, que es como el viento, me abandonaría".

Hipótesis para el análisis. Los conceptos filosóficos de la escuela eleática, fundada por Parménides en Elea —esa pobre colonia griega de la Italia meridional que, según Laercio, "no tenía más importancia que la de saber educar ciudadanos virtuosos"— sobreviven en la enseñanza platónica de las ideas eternas. Era una escuela que consideraba al Ser eterno e inmutable como el máximo principio del mundo, y que reducía a simple apariencia todo cuanto estuviera en vías de transformación. El pensamiento eleático se podría ordenar diacrónicamente en forma vertical del siguiente modo: iniciación con Parménides, influencia sobre Platón, proyección de la de éste sobre Aristóteles y, por último, final e importante incidencia de la de todo esto sobre Euclides. En efecto: la matemática euclidiana es estrictamente estática.

Así, la concepción de la doctrina eleática, presente en Euclides de Alejandría, trasparece nítidamente en la siguiente definición:

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de un determinado punto llamado centro.

Esta definición presenta la esencia misma y no la formación constructiva de la circunferencia. En efecto, para Euclides la circunferencia no es el resultado de un giro de compás, ni tampoco el del ya más abstracto movimiento de un radio. No hay concepto de movimiento alguno en la geometría euclidiana.

Es menester recordar que el concepto de movimiento (para la geometría) es introducido por Arquímedes de Siracusa. Y podemos arriesgar un supuesto: si bien Arquímedes conocía en profundidad la obra euclidiana, llegó a conocer también el fenómeno que se produjo con la aparición de Heráclito de Éfeso, y es probablemente la corriente de Heráclito (el nacimiento del devenir, el todo fluye) lo que conduce a Arquímedes a introducir el movimiento dentro de la geometría.

Pero debemos insistir en lo que consideramos importante para el análisis de "El disco": el disco euclidiano expresa la esencia misma y no representación alguna del disco o círculo. Por eso admite solamente una cara. Ésta es nuestra conjetura para el cuento; mejor dicho, ésta es la idea matemática sobre la cual Borges elabora el cuento.

¿Podría ser considerado como la remota fuente original de "El disco" el siguiente pasaje de La república de Platón?

   —No comprendo bien —dijo— lo que acabas de decir.

   —No importa; volvamos sobre ello y verás cómo con lo que ahora voy a decir lo comprendes mejor. Supongo que no ignoras que los que se ocupan de la geometría, de la aritmética y demás ciencias del mismo género parten de supuestos tales que lo par y lo impar, las figuras, las tres especies de ángulos y de más cosas análogas, según la demostración que tienen que hacer; que consideran estas suposiciones como cosas conocidas y que, una vez establecidas sus hipótesis, estiman que no necesitan rendir cuenta de ellas ni a sí mismos ni a otros, por cuanto tales hipótesis son evidentes a todos los espíritus; y que, en fin, partiendo de estas hipótesis y a través de una serie sucesiva de gradaciones, llegan por el camino de las consecuencias a la demostración que se les había puesto en la cabeza sentar.

   —Sí; esto lo sé, desde luego —dijo.

   —Sabes también, por consiguiente —seguí—, que se valen de las figuras visibles y que razonan apoyándose en estas figuras, aunque al hacerlo no piensen ciertamente en ellas, sino en aquellas a las que éstas representan. Es decir, que cuando razonan sobre el cuadrado o sobre la diagonal piensan en el cuadrado propiamente dicho y en la diagonal en sí, y no en el cuadrado y diagonal que han trazado, y lo mismo respecto de las demás figuras. Es decir, que todas esas figuras que modelan o dibujan, figuras capaces de producir sombras o de reflejarse en el agua, son empleadas por ellos como si fuesen a su vez imágenes, y con el único objeto de llegar al conocimiento de esos objetos superiores que solamente son advertidos por el pensamiento.

   —Así es -dijo.

[2]

En "El libro de arena", ya vive a manera de elemento fundamental el concepto de infinito. Creemos que por eso Borges dice que "dos objetos adversos e inconcebibles son la materia de los últimos cuentos". La presencia del infinito en "El libro de arena" está dada desde el comienzo:

La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un número infinito de volúmenes. 

...No, decididamente no es éste, more geométrico, el mejor modo de iniciar mi relato. Afirmar que es verídico es ahora una convención de todo relato fantástico; el mío, sin embargo, es verídico.

Esta iniciación es una suerte de advertencia al lector. Y luego, dibujando con rica sutileza personal el argumento fundamental del cuento, juega, a manera de aportes aislados, con todo lo que existe en la idea matemática que está aplicando a la literatura.

Por ejemplo:

    Al cabo de un silencio me contestó:

   —No sólo vendo biblias. Puedo mostrarle un libro sagrado que tal vez le interese. Lo adquirí en los confines de Bikanir. 

   Abrió la valija y lo dejó sobre la mesa. Era un volumen en octavo, encuadernado en tela. Sin duda había pasado por muchas manos. Lo examiné; su inusitado peso me sorprendió. En el lomo decía Holy Writ y abajo Bombay.

   —Será del siglo diecinueve—observé.

   —No lo sé. No lo he sabido nunca —fue la respuesta.

Repárese en la denotación temporal -"será del siglo diecinueve": corresponde, precisamente, al momento en el que aparecieron las ideas de Cantor referidas al transfinito. Una referencia análoga puede leerse en "El Aleph".

Te acuestas en el piso de baldosas y fijas los ojos en el decimonono escalón de la pertinente escalera. [...] A los pocos minutos ves el Aleph.

Y, más adelante, nuevamente:

Repantiga en el suelo ese corpachón y cuenta diecinueve escalones.

Finalmente, también en "El Aleph":

Por lo demás, el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito.

Podemos, pues, a la luz de estos elementos, preguntarnos: ¿habrá que considerar puro producto de la casualidad la referencia al siglo XIX?; ¿será también casual que las dos referencias figuren donde se está tratando el problema del infinito? La respuesta es obvia.

Pero, en solicitud de nuevos elementos, podemos volver a "El libro de arena”. Repase el lector el fragmento que comienza diciendo "Lo abría al azar" y concluye "En vano busqué la figura del ancla, hoja tras hoja". Avance luego hasta la enunciación que se inicia "Me dijo que su libro se llamaba el Libro de arena, porque ni el libro ni la arena tienen ni principio ni fin" y concluye expresando "Acaso para dar a entender que los términos de una serie infinita admiten cualquier número". A través de tales pasajes, el autor ha echado mano hábilmente del concepto de densidad, atribuido aquí a la construcción del libro en juego.

Y, ya próximo el final, leemos:

Sentí que era un objeto de pesadilla, una cosa obscena que infamaba y corrompía la realidad. Pensé en el fuego, pero temí que la combustión de un libro infinito fuera parejamente infinita y sofocara de humo al planeta. (pág. 181.)

Pregúntese el lector si esas enunciaciones admitirían ser vinculadas con las aporías de Zenón de Elea.

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Notas al pie:

[1]Borges, Jorge, L.(1971). Historia de la eternidad. Bs. As.: Emecé

[2] Platón. Obras completas.Tomo V. Traducción de Juan B. Bergua. Madrid: Ediciones Iberia.

Bibliografía:

Palacios, Alfredo, R. y otros.(1995). Los matematicuentos. Presencia matemática en la literatura. Buenos Aires: Magisterio del Río de La Plata