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Ilustración de Francisco Solé
Cada vez que se critica el valor educativo de la matemática, quienes se proponen subrayar los motivos de su inconveniencia, se refieren a la falta de realidad, al exceso de rigor ya la frialdad mortal de esa disciplina, declarándola del todo a parcialmente inadecuada para el desarrollo espiritual armónico, porque impide el ejercicio de la libertad creadora.
Montaigne ha sido terminante: "Un matemático más, un hombre menos", manifestó en un aforismo famoso. Swift, en mordaces discursos, hizo descomunal burla de los matemáticos en ese denso capitulo de su imaginario viaje a Laput, reino de astrónomos, geómetras y calculistas, donde nos los pinta como príncipes de la estolidez, absortos elucubradores de in sensateces, ajenos a la belleza, a los goces de la vida y del amor; seres, en suma, horribles y despreciables Así los describe Swift, al contemporáneo de Newton, poco después de haberse publicado los Principia; porque —dice Whitehead— en su afán de ridiculizar, era capaz de mofarse de un terremoto.
Rousseau ha recogido en una incisiva síntesis esta diatriba elocuente que inserto en sus Confesiones:
"...ella me dijo en tono frío y desdeñoso: Zanetto, lascia le donne e studia la matemática".
Y sir William Hamilton, el filósofo escocés, el profesor de Metafisica y de Lógica en Edimburgo (no Sir William Rowan Hamilton, el matemático irlandés, su contemporáneo), con tono doctoral y autoritario explicaba: que "las matemáticas hielan y secan la mente", que "un excesivo estudio de los matemáticas incapacita absolutamente la mente en cuanto a esas energías intelectuales que la filosofía y la vida requieren", que "en matemáticas la torpeza es elevada a la jerarquía del talento y el talento degradado al nivel de la incapacidad".
El propio Lamartine, señor de la melancolía profunda y suave, nos lo dice así:
"La enseñanza de la matemática hoce al hombre máquina y degrada el pensamiento".
Es necesario preguntarse por qué ingenios tan señeros han coincidido en juicios tan tremendos contra la reina de las ciencias Sobre todo, porque antes que ellos extendieron un sudario sobre la enseñanza de la matemática, varios siglos habían estado repitiendo las palabras de Platón; las matemáticas elevan el alma hacia la Verdad y hasta la contemplación de lo más excelente de todos los seres. El "Aquí no entre quien no sea geómetra" grabado en el frontispicio de la Academia secular; el "Dios siempre geometriza" en labios de su fundador y primer maestro; el mundo entero concebido y representado como un encaje de poliedros regulares —simetría, orden, belleza, perfección— ya había sido dicho y explicado muchas veces. De ello resultaba lo contrario de lo que sostenían aquellos bardos y pensadores, pues para Platón la matemática es clave cognoscitiva, es modelo de discurso, es imprescindible medio de la buena educación, es paradigma de conducta. Sophia germana Mathesis es el mejor resumen de esta concepción
Sin embargo, allí donde Platón ve un tomo que alza el alma hacia lo bueno, los otros encuentran el declive hacia lo degradante. Donde aquél descubre el más seguro medio educativo para acrecer la acuidad mental de los regidores de la noble República, éstos advierten la celda que pervierte, que anquilosa, que inhumaniza. Justamente la disciplina que para algunos mata la belleza, la vida y el amor, es, para el maestro de il Maestro di color che sanno, el buen camino que conduce a los más altos principios y la puerta que comunica a la más excelsa de todas las estancias.
Estamos, pues, frente a dos opuestos polos: el negativo y el positivo de la valoración de nuestra ciencia. Según se tome como punto de vista uno de esos polos, la matemática nos parecerá obra de Dios o del Demonio. Pero entre ambos extremos cabe la posición de multitud de autores cuya labor de esclarecimiento desemboca en una conclusión más modesta y más justa. La matemática resulta ser, de acuerdo con el análisis sereno de su historia y de su estructura misma, sencillamente, obra del hombre. Los hilos que conforman la trama de su malla han sido tendidos y afinados por nuestros semejantes, ciudadanos de dos mundos; y algo de la doble esencia de nosotros, escapada de las manos, ha de haber quedado mezclada en la larga tela que viene tejiéndose desde los albores de la civilización.
El denominador común de los que desdeñan nuestra disciplina o nos previenen de sus peligros educativos reside en la pretendida falta de personalidad y de subjetividad de sus métodos, que paralizaría el despliegue de ricos dones humanos:
No es así. Quienes vieron en la matemática el coronamiento de una actividad práctica o de una actividad exclusivamente especulativa; quienes fueron atraídos por ella y a ella se dedicaron como a una lógica y a una sistematización puras; quienes descubrieron sus verdades no siguiendo un razonamiento discursivo sino el repentino destello de la inspiración; quienes gozaron de sus valores estéticos y la proclamaron poesía de la verdad o música de la razón; quienes la cultivaron porque vieron en ella el lenguaje de la naturaleza; quienes instaron a su estudio por el solo honor del intelecto; quienes la entienden como utensilio de la técnica a cuyo servicio la colocan quienes la estiman como ejercitación pedagógica, escuela de rigor y aún modelo de conducta; es decir, los matemáticos de todas las épocas, cuyo testimonio escrito guarda la historia, sin excepción, han contribuido, por imperativo de su condición humana, a hacer de la matemática uno ciencia humana. Por consiguiente, los imponderables elementos subjetivos que promueven y orientan las obras de los hombres, como germen fecundante o como apetencia intencional, tienen que estar presentes en la ciencia enaltecida por Leibniz.
Aparte de esta aproximación por la vía de la historia, es oportuno meditar acerca de la estructura de la matemática, porque allí también existen principios comunes, potentes en los fundamentos del arte, que es cauce indudable de la interior.
Así, el ritmo prosódico y aún más, el ritmo emotivo. Él está en la base del estilo, que es lo pristina expresión del hombre, y, por ende, señorea en el arte. Dice Servien que el ritmo es periodicidad percibida; por eso el número —expresión de lo que sucede, de lo que es ola, sístole y— no es sino la especie más pura del ritmo. Luego, el número se halla en la base de la poesía y de la música; como el ritmo está en la matemática, sustentándola. No es admisible, entonces, una esencial diferencia entre la aritmética y el arte rítmico. En efecto.
"La Musique est un exercice d'Arithmétique secrète, et celui qui s'y livre ignore qu'il monie des Nombres" (Leibniz).
Cuando se ha comprendido que el ritmo y la sucesión numérica son una sola cosa, se está en buenas condiciones para aceptar que el correlato de la imagen es la proporción; y, de ese modo tendemos un nuevo puente entre matemática y poesía para que transiten por él los elementos subjetivos.
Lo armonía, el orden, la sencillez —atributos de la belleza clásica, cultivados por las artes espaciales y temporales— son lugares comunes en teorías, métodos y estructuras matemáticas, surgidos, evidentemente, al conjuro de un ideal estético. Lo cerchio è perfettisima figura, siente Dante. Los pitagóricos divinizaban a la década, representación numérica de los poliedros regulares, y éstos, para Platón, modelos seguidos por el Demiurgo para configurar el mundo. Ese mismo ideal estético prima en la teoría de las cónica que da unidad de origen a curvas tan distintas; y prima, sin duda, en el concepto de grupo, uno de los más notables de la matemática moderna.
Pero también el ideal romántico de belleza se puede reconocer en otros capítulos de la ciencia "exacta". Le Lionnais ha escrito un hermoso ensayo, cuajado de ejemplos y lleno de sugestiones. En él nos descubre un torbellino pasional de irregularidades, anomalías, voluptuosidad y monstruosidades en ciertos funciones, cuya representación gráfica es alarde de asimetría y resiste a cualquier ley del estático equilibrio.
La imaginación, amante del artista, le da hijos; hijos que serán los heraldos de un recóndito mensaje que debe trasmitirse... Sin imaginación, el matemático tampoco puede crear. No es cierto que el espíritu del geómetra pueda volar si se le cortan las alas de la imaginación. Porque ni progresa ni produce el razonamiento discursivo por si solo.
En toda creación matemática está primero el salto imaginativo. El razonamiento discursivo —que, a veces, se ha creído ser su único recurso— no es sino lo que mide el salto que se ha dado. Los pequeños pasos de su cadena silogística son como los peldaños de una escala, indispensables para quienes no saben lanzarse e innecesarios para una mente superior.
Pero, aún más; el mismo razonamiento discursivo se descubre, se inventa y se construye. Ante una proposición cuya prueba se requiere, el matemático realiza una especie de rodeo, una suma de tentativas y recurre a una serie de experiencias pensadas, emplea, en verdad, un razonamiento intencional. Dejemos la palabra a un profesor, honra de la ciencia hispanoamericana actual.
"La clasificación de un individuo por su aptitud para la matemática podría hacerse atendiendo al tamaño de los saltos que es capaz de dar en la concatenación de silogismos. Todo hombre normal es capaz de seguir un razonamiento desmenuzado y llegar, con él, a los vértices más sobresalientes de cualquier teoría. Pero no todo hombre normal es capaz de descubrir o poner de manifiesto por primera vez estos vértices a puntos culminantes, ni lo haría de seguro nadie que pretendiese llegar a ellos por razonamientos elementales sucesivos". (Santaló).
El progreso en matemáticas, debemos agregar, no simplemente en descubrir verdades nuevas, sino en descubrir verdades fecundas. Análogamente, los artistas dignos de este nombre, no son los meros receptáculos de la belleza que está al alcance de cualquiera, sino son quienes la encuentran tal y en modo que les sirva para revelar la intimidad del ser, vivida en un instante.
De la misma manera:
"Los matemáticos de primera linea tienen este especial don de adivinar los problemas que han de trascender a otras ramas, pasando sin detenerse en infinidad de cuestiones cuyo resolución no tiene otro objeto que completar el cuadriculado de las teorias" (Rey Pastor).
El poeta descubre anologías y las expreso por medio de metáforas, a saber, por signos que "implican la percepción intuitiva de la similitud en las cosas disímiles". De modo semejante, en matemáticas:
"Los progresos esenciales de la ciencia corresponden a la feliz cópula de dos conceptos que parecían lejanos e indiferentes, y al librarlos de su envoltura formal descubren tal identidad de sustancia, que se anastomosan y hasta se funden en uno solo. La geometría analítica de Cartesio, origen de la matemática moderna, realizó brillantemente esta anastomosis del álgebra con la geometría" (Rey Pastor).
Porque:
"Aún en las ciencias matemáticas, nuestros principa les instrumentos para descubrir la verdad son la inducción y la analogía". (Laplace).
Podemos ahora afirmar que la opinión, demasiado generalizada, de que la matemática es una ciencia únicamente demostrativa, tiene como defecto capital su parcialidad. Cuando se exponen sus resultados o cuando se la contempla, como edificio acabado y perfecto, salta a nuestra vista, indubitable, una arquitectura silogística. Sin embargo, cuando se la observa en su desarrollo constructivo, ya sea a lo largo de las épocas o a lo largo de la vida de uno de sus cultivadores, vemos aparecer en ella de continuo, todos los demás caracteres de cualquier otro tipo de razonamiento humano. En un hacerse febril, nutrido de elementos dispares en los cuales predomina lo subjetivo, advertimos la activa intervención de lo provisorio, de lo casual, de lo conjetural, de lo creíble.
Es que el conocimiento matemático se concreta, sí, en argumentaciones demostrativas; pero se inicia y se apoya en argumentaciones de lo plausible. Es decir, si lo demostrativo da cabida a lo firme, a lo incontrovertible,a lo definitivo; lo plausible, a su vez, da cabida al azar, a la controversia y a la creencia. Por un lado, entonces, la rigidez lógica y la frialdad mortal; por otro lado lo fluido y cambiante de la vida.
Euler, como los grandes algebristas y geómetras de siempre, reconoce que en el proceso de la investigación matemática intervienen tanto la observación como la experimentación y los demás ingredientes que cooperan en la disciplinas inductivas, dando un amplio margen a la actividad imaginativa.
Los hechos matemáticos —afirma Polya— primeramente son adivinados y después son probados. Para comprender, pues, la ciencia que los trata, es preciso adquirir cierto experiencia en el don adivinatorio y un especial sentido para clasificar las conjeturas en respetables, erróneas y plausibles.
Regido por los cánones del razonamiento plausible, el matemático tiene tres grados de libertad cuando se dispone a crear: (1) puede desconfiar de toda regla de raciocinio, o sea, no debe sentirse prisionero de ninguna; (2) puede estimar una misma evidencia de manera distinta que otra persona, pues está a su alcance el escoger diversos métodos, y (3) puede estimar esa misma evidencia aún de manera distinta que otras personas no obstante seguir todas el mismo método. Es aconsejable recurrir a las obras de Polya donde con claridad eminente se expone en numerosos ejemplos, ofrecidos por los talentos matemáticos más reputados, cómo es que intervienen en la elaboración de las ciencias llamadas exactas ciertos elementos subjetivos, esencialmente cualitativos y no cuantificables.
Los profesores de enseñanza media, a quienes van dirigidas estas meditaciones, no debieron estar desprevenidos sino muy alertas y conscientes de las complejas circunstancias que acompañan el nacimiento y desarrollo de la ciencia que enseñan. Así podrán trasmitir a sus alumnos, junto a la comprensión de las teoremas, la comprensión, mucho más significativa, de que en ellos se condensa un aliento vital, húmedo y cálido.
A los discípulos, recuérdenles el consejo de Polya, para que vayan intuyendo desde el principio cómo actúa en la menta matemática y cómo la cultiva el germen cualitativo:
"Si tienes que probar un teorema, no te apresures. Ante todo, comprende plenamente su enunciado, trata de ver con claridad lo que significa. Luego, verifica el teorema, pues podría ser falso. Examina sus consecuencias, comprueba todos los ejemplos particulares que necesites para convencerte de su verdad. Cuando estés satisfecho de que el teorema sea cierto, comienza a demostrarlo". (Polya).
Los testimonios de Euler, Gauss, Laplace, Poincaré, Kepler, etc., nos ilustran suficientemente acerca de los principios subjetivos que condicionan la creación matemática. Son los mismos fermentos que promueven toda otra creación y, por ello, son portadores de un agente vitalizador. El ejercicio de la matemática verdadera no aleja al hombre de sus virtudes esenciales, no paraliza la mente ni el corazón, como decía a voces Hamilton, el escocés, por el contrario, a menudo, sirve para que alguno de nosotros sienta alcanzar la plenitud.
"Las matemáticas constituyen una actividad regida por las mismas reglas impuestas a las sinfonías de Beethoven, los pinturas de Da Vinci y la poesía de Homero. Así como las escalas, las leyes de perspectiva y las reglas del metro parecen carecer de fuego, podrá parecer que las reglas formales de las matemáticas no tienen brillo. Sin embargo, finalmente, las matemáticas alcanzan pináculos tan elevados como los logrados por la imaginación de sus más osados exploradores" (Kasner y Newman).
En resumen, amoneste el profesor a sus alumnos para que éstos comprendan que en la matemática, que es humana creación, viven impulsos internos que permiten el vuelo del espíritu; y que esos impulsos mantienen joven y palpitante la ciencia de Pitágoras. No es nuestra disciplina obra de Dios que Él entrega acabada a los mortales para que la admiren; tampoco es obra del Demonio, cuyo designio sería cortar el vuelo de las alas. Es nada más que obra del hombre, pero en ello consiste su gran dignidad.
La Plata, 31 de octubre de 1955
Tomado de Aletheia. Filosófia-Ciencia-Literatura-Arte. Año 1. Nº3. Julio-Septiembre 1956.
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