Una relación de equivalencia hace corresponder cada elemento de un conjunto con elementos del mismo conjunto vinculándolos por una propiedad común y de manera tal que, los elementos relacionados entre sí pertenecen a conjuntos tales que dos cualquiera de dichos conjuntos, son disjuntos; es decir, conjuntos sin elementos comunes.
De un juego completo de bloques lógicos, tomemos un par de bloques. Por ejemplo, el cuadrado rojo grande con punto y el cuadrado azul grande sin punto.
Pedimos a los niños que, después de comparar el par elegido, nos digan en qué se parecen. Tendremos por respuesta "los dos son cuadrados grandes".
A continuación, les decimos que coloquen junto a los dos bloques elegidos, todos aquellos bloques que se parezcan en lo mismo que ellos se parecen.
Los niños colocarán , junto al par inicial todos los cuadrados grandes azules, todos los cuadrados grandes rojos y todos los cuadrados grandes amarillos, ya sean ellos con punto o sin punto.
Podemos preguntar: ¿Qué conjunto a quedado formado?. Nos dirán ,"el conjunto cuyos elementos son todos bloques cuadrados grandes".
Observe el lector que este conjunto tiene seis elementos. Si preguntamos "¿en qué se parecen los elementos de este conjunto?", nos dirán "en que todos son bloques cuadrados grandes":
Podemos continuar el juego pidiendo a los niños que, a partir de las piezas restantes formen otro conjunto cuyos elementos se parezcan entre sí de la misma manera en que se parecen entre sí los elementos del primer conjunto que acaban de construir.
Si los niños dicen que el primer conjunto ha sido formado seleccionando aquellos pares de bloques que hacen verdadera la expresión "este bloque es cuadrado y grande como éste", entonces resultará imposible construir, con los bloques restantes, otro conjunto cuyos elementos cumplan la condición establecida por la expresión relacionante, pues ya han utilizado todos los cuadrados grandes para el primer conjunto.
En cambio, si los niños dan como expresión relacionante "este bloque tiene la misma forma y el mismo tamaño que éste", entonces podrán formar nuevos conjuntos. Por ejemplo, el conjunto de todos los triángulos chicos; el conjunto de todos los círculos grandes; el conjunto de todos los círculos chicos y continuar así para todos los nuevos conjuntos posibles. Al finalizar el juego tendremos ocho conjuntos y en cada uno de ellos habrá seis elementos. Estos ocho conjuntos son disjuntos dos a dos, es decir, si tomamos dos cualesquiera de ellos, no tienen elementos comunes.
NOTA
Para que el juego sea matemáticamente válido debemos recordar que todo bloque tiene la misma forma y tamaño que él mismo. Es probable que esta condición aparezca en último término, pues su establecimiento requiere mayor profundidad en el análisis comparativo de propiedades: comparar un bloque con él mismo.
Podemos observar que los ocho conjuntos anteriores, se podrían haber construido utilizando una expresión relacionante particular para cada uno de ellos. Por ejemplo, el conjunto de todos los rectángulos chicos se puede construir utilizando la expresión relacionante" esta pieza es rectángulo chico como ésta". Análogamente, con los cambios para cada paso, se pueden formar los siete conjuntos restantes.
En cambio, si la expresión relacionante es "este bloque tiene la misma forma y tamaño que éste", quedan determinados –por aplicación de esta única expresión–los ocho conjuntos considerados.
En el juego han quedado materializados ocho conjuntos a los que llamaremos clases de equivalencia generadas por la relación de equivalencia dada por la expresión "tener la misma forma y tamaño que" aplicada en el conjunto de los bloques lógicos.
Una relación de equivalencia aplicada en un conjunto, genera clases de equivalencia, de manera tal, que los elementos de una de las clases no pertenecen a otra clase alguna de las generadas por dicha relación. hay intersección vacía entre las clases; esto quiere decir que una relación de equivalencia parte al conjunto sobre el cual es aplicada, en clases disjuntas dos a dos.
Además, todo elemento del conjunto universo pertenece a una y sólo una clase.
Las clases de equivalencia cubren al conjunto.
Las clases de equivalencia de nuestro ejemplo son:
►el conjunto de los triángulos chicos,
►el conjunto de los rectángulos grandes,
►el conjunto de los rectángulos chicos,
►el conjunto de los círculos grandes,
►el conjunto de los círculos chicos,
Vemos que cada clase de equivalencia es una parte del conjunto de los bloques lógicos.
Si nuestro juego comienza con la elección de dos bloques que tengan en común uno y sólo un valor de uno de los atributos; por ejemplo, el círculo rojo grande con punto y el triángulo rojo chico sin punto, entonces se podrá construir el conjunto vinculando pares de bloques por medio de la expresión "este bloque es rojo como éste" y tendremos formado el conjunto de todos lo bloques rojos.Pero si utilizamos la expresión relacionante: "este bloque tiene el mismo color que éste" en lugar de "este bloque es rojo como éste", entonces además de construir el conjunto de todos los bloques rojos, también podemos construir el conjunto de todos los bloques azules y el conjunto de todos los bloques amarillos.
Para este caso la relación de equivalencia estará dada por la expresión "ser del mismo color que" y, en el universo de los bloques lógicos, genera tres clases de equivalencia.
👉Recordamos que todo bloque tiene el mismo color que él mismo.
También resulta interesante trabajar en el conjunto de los bloques lógicos con la expresión relacionante
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Para que el juego sea matemáticamente válido debemos recordar que todo bloque tiene la misma forma y tamaño que él mismo. Es probable que esta condición aparezca en último término, pues su establecimiento requiere mayor profundidad en el análisis comparativo de propiedades: comparar un bloque con él mismo.Podemos observar que los ocho conjuntos anteriores, se podrían haber construido utilizando una expresión relacionante particular para cada uno de ellos. Por ejemplo, el conjunto de todos los rectángulos chicos se puede construir utilizando la expresión relacionante" esta pieza es rectángulo chico como ésta". Análogamente, con los cambios para cada paso, se pueden formar los siete conjuntos restantes.
En cambio, si la expresión relacionante es "este bloque tiene la misma forma y tamaño que éste", quedan determinados –por aplicación de esta única expresión–los ocho conjuntos considerados.
En el juego han quedado materializados ocho conjuntos a los que llamaremos clases de equivalencia generadas por la relación de equivalencia dada por la expresión "tener la misma forma y tamaño que" aplicada en el conjunto de los bloques lógicos.
Una relación de equivalencia aplicada en un conjunto, genera clases de equivalencia, de manera tal, que los elementos de una de las clases no pertenecen a otra clase alguna de las generadas por dicha relación. hay intersección vacía entre las clases; esto quiere decir que una relación de equivalencia parte al conjunto sobre el cual es aplicada, en clases disjuntas dos a dos.
Además, todo elemento del conjunto universo pertenece a una y sólo una clase.
Las clases de equivalencia cubren al conjunto.
Las clases de equivalencia de nuestro ejemplo son:
►El conjunto de los cuadrados grandes,
►el conjunto de los cuadrados chicos,
►el conjunto de los triángulos grandes,►el conjunto de los triángulos chicos,
►el conjunto de los rectángulos grandes,
►el conjunto de los rectángulos chicos,
►el conjunto de los círculos grandes,
►el conjunto de los círculos chicos,
Vemos que cada clase de equivalencia es una parte del conjunto de los bloques lógicos.
Si nuestro juego comienza con la elección de dos bloques que tengan en común uno y sólo un valor de uno de los atributos; por ejemplo, el círculo rojo grande con punto y el triángulo rojo chico sin punto, entonces se podrá construir el conjunto vinculando pares de bloques por medio de la expresión "este bloque es rojo como éste" y tendremos formado el conjunto de todos lo bloques rojos.Pero si utilizamos la expresión relacionante: "este bloque tiene el mismo color que éste" en lugar de "este bloque es rojo como éste", entonces además de construir el conjunto de todos los bloques rojos, también podemos construir el conjunto de todos los bloques azules y el conjunto de todos los bloques amarillos.
Para este caso la relación de equivalencia estará dada por la expresión "ser del mismo color que" y, en el universo de los bloques lógicos, genera tres clases de equivalencia.
👉Recordamos que todo bloque tiene el mismo color que él mismo.
COMENTARIO
También resulta interesante trabajar en el conjunto de los bloques lógicos con la expresión relacionante
"este bloque tiene la misma forma, color, tamaño y cantidad de puntos que éste".
Con ella se pueden construir conjuntos, y una vez construidos todos los conjuntos posibles, podemos observar que son conjuntos unitarios.
la relación de equivalencia dada por "tener la misma forma, color, tamaño y cantidad de puntos", aplicada al conjunto de los bloques lógicos permite construir clases de equivalencia unitarias.
Puede ocurrir que para iniciar el juego se elija el siguiente para de bloques: triángulo rojo grande con punto y cuadrado azul chico sin punto. ¿Qué es lo que hay de común entre ellos?
Aquí los valores de cada uno de los atributos son distintos. Lo único en común es que ambos son bloques lógicos. La expresión relacionante "esta pieza es bloque lógico como ésta" permite formar una única clase de equivalencia. Todo par de bloques la satisface y de ello se obtiene el conjunto de todos los bloques lógicos. Sin embargo es conveniente observar que la expresión relacionante no permite distinguir un bloque lógico de otro bloque lógico puesto que en ella no intervienen los atributos establecidos a tal fin.
La relación de equivalencia dada por "ser bloque lógico como" aplicada en el conjunto de los bloques lógicos permite formar una sola clase de equivalencia.
👉Recordamos que todo bloque lógicos es bloque lógico como el mismo.
UNA DISTINCIÓN NOTABLE
Resulta tan frecuente como perjudicial confundir, en la actividad propuesta, los significados de los términos "iguales" y "equivalentes".
Llamemos k al bloque cuadrado rojo grande con punto. Si elegimos el color como atributo determinante de la relación de equivalencia, entonces la expresión será "tener el mismo color que" y asociaremos con k a todos los bloques rojos y solamente los rojos. A esta equivalencia construida a partir del bloque representante k y de la expresión relacionante "tener el mismo color que", la llamaremos Ck
Llamemos k al bloque cuadrado rojo grande con punto. Si elegimos el color como atributo determinante de la relación de equivalencia, entonces la expresión será "tener el mismo color que" y asociaremos con k a todos los bloques rojos y solamente los rojos. A esta equivalencia construida a partir del bloque representante k y de la expresión relacionante "tener el mismo color que", la llamaremos Ck
¿Qué hubiera ocurrido si el bloque elegido hubiera sido el triángulo rojo chico sin punto?
Respecto al mismo atributo _el color_ le serán asociados, por la relación, todos los bloques rojos y solamente los rojos. A esta clase, en la cual el bloque triángulo rojo chico sin punto, llamado j, es el representante y a partir del cual la hemos construido, la llamaremos Cj
¿Qué hemos obtenido?
A partir de dos bloques distintos, k y j, la relación de equivalencia expresada por "tener el mismo color que", nos permite tener dos clases de equivalencia Ck y Cj iguales.
Si son iguales las clases de equivalencia a las que pertenecen dos elementos entonces diremos que los elementos son equivalentes.
Ck y Cj son iguales
k y j son distintos
k y j son equivalentes
Una de las grandes ventajas que presenta el concepto clase de equivalencia es que permite pasar de una forma natural de una relación de equivalencia cualquiera a la relación de igualdad.
De la fórmula relacional
k tiene el mismo color que j
hemos pasado a la igualdad.
Ck = Cj
Recíprocamente, si sabemos que Ck = Cj entonces k tiene el mismo color que j.
👉Reiteramos, a riesgo de fatigar al lector, que cada bloque tiene el mismo color que él mismo.
Tomado de: Dienes, Zoltan P. (1977). Juegos con materiales estructurados en la actividad matemática. Tomo II: Bloques lógicos. Buenos Aires: Gram Editora.
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