Dice Oscar Varsavsky:
La igualdad es una relación muy especial e importante y conviene indicar que se usa de maneras un poco diferentes.
Cuando escribimos a=b entre números queremos decir que a y b representan el mismo número.
A=B entre conjuntos, significa que las letras A y B representan el mismo conjunto pues, por definición, A y B deben tener los mismos elementos.
En cambio al decir “este auto es igual a este otro” no queremos decir que son el mismo auto, pues son dos autos, sino que son de la misma marca o modelo y quizá del mismo color, o no. Decimos que son iguales porque tienen algunas propiedades iguales, que son las que nos parecen importantes, pero pueden tener muchas diferencias que a otras personas les parezcan más importantes que la marca, el modelo y el color; por ejemplo, el estado del motor.
Estas dos maneras de usar la palabra igualdad tienen nombres diferentes en Matemática. La primera se llama identidad y la segunda equivalencia.
Un objeto cualquiera es idéntico a otro cuando los dos son el mismo objeto, coinciden.
Un objeto es equivalente a otro cuando tienen en común las propiedades que interesan para el problema que se está tratando.
Así, para comprar cosas, dos billetes de mil pesos son equivalentes, aunque uno esté más arrugado y manchado que el otro. Si en la ruleta uno apuesta a rojo, todos los números dibujados en rojo son equivalentes; en cambio, si uno apuesta a pares, ya no lo son (algunos números pares son rojos y otros no).
La equivalencia, entonces, tiene que definirse en cada problema: hay que decir con respecto a qué vamos a considerar equivalentes a dos objetos, cuáles son las propiedades que deben tener en común para llamarlos equivalentes.
La palabra igualdad se usa en Matemática casi siempre como sinónimo de identidad. Los distintos usos de esta relación dependen del alcance y rango que le demos: números, conjuntos, relaciones, etc.
Varsavsky, O. (1966). Álgebra para las escuelas secundarias. Tomo I. Buenos Aires: Eudeba.
Aclaración de los autores del blog:
Al hablar de “alcance” y “rango” de una relación, Varsavsky define dos conjuntos muy importantes:
Llama ALCANCE de la relación al conjunto de los objetos que pueden llegar a ser primer sujeto de la relación.
En cambio, el RANGO de la relación es el conjunto de los objetos que pueden llegar a ser segundo sujeto de la relación.
Por ejemplo, si hacemos referencia a la relación “es la capital de”, el ALCANCE de la misma es el conjunto de las ciudades (Buenos Aires, La Plata, París, Colonia,…son elementos del conjunto; mi lápiz, el libro de álgebra, Manuel Belgrano…no son elementos del conjunto). El RANGO, en este caso, es el conjunto de los países (Argentina, Canadá, España, Italia,…).
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