 |
| César Anselmo Trejo. Dr. en matemática (*) |
1. Introducción
En este artículo hacemos unas reflexiones sobre el lenguaje de la matemática actual en relación con la enseñanza de esta disciplina en niveles elementales. Señalamos ciertos aspectos didácticos, pero también las consideraciones referidas al contenido matemático mismo y su formulación en el lenguaje actual tienen la intención de concientizar al docente acerca del problema en sus aspectos matemático y didáctico.
Retomaremos algunos temas en otro artículo, titulado Lenguaje y conceptuación, que aparecerá en un próximo número de esta Revista.
1. La evolución del lenguaje matemático
1.1 No pocas personas cultas no dedicadas a cuestiones de directa atingencia con la matemática, creen ver como una característica de esta disciplina la inmutabilidad, y la imaginan como una mole concluida, estática e inconmovible. Esta imagen tiene larga tradición. La geometría griega permaneció muchos siglos como construcción acabada y perfecta. Mientras tanto, las ciencias de la Naturaleza sufrían profundas renovaciones y el campo filosófico se agitaba en interminables disputas. Por cierto estos inquietos sectores no retacearon su admiración por el robusto templo euclídeo, y desde larga data los sedujo la idea de constituirse more geométrico. Así afirma Ch. S. Peirce (1839-1914): "viendo cómo las proposiciones de la geometría fluían por demostraciones de unos pocos postulados, los hombres intuyeron que lo mismo podría lograrse en la filosofía" (Notes on Scientific Philosophy. Collected Papers; Harvard Univ. Press; Cambridge, Mass., 1931, vol. I, p. 50).
Sin embargo, nadie puede dudar hoy que no obstante la solidez del edificio, nada más inexistente que esa suerte de perfección fatal que lo convertiría en mole cristalizada y muerta. Por lo contrario, la matemática es un organismo viviente, y su intenso progreso no consiste en la yuxtaposición de nuevos estratos, sino en auténtico crecimiento y maduración, que conmueve sin pausa los más profundos cimientos y las más venerables tradiciones.
1.2 Esta maduración induce cambios en el lenguaje con que la matemática se expresa. Aún en temas muy simples de algebra, hoy nos resultarían engorrosas las notaciones anteriores a Descartes y Vieta. Pero si bien es importante el perfeccionamiento de las notaciones, el lenguaje de la matemática evoluciona en planos más profundos. Esto se debe a que en cada época es una resultante natural del contenido esencial, el enfoque y el espíritu de esta disciplina; y este solo hecho basta para evidenciar que una reflexión sobre el lenguaje es de indudable interés científico y didáctico.
2. La implementación del lenguaje matemático
2.1 Nos limitaremos a aspectos de interés en la enseñanza, y hoy. En especial sólo hemos de considerar como nuestro objetivo el lenguaje matemático actual.
Comencemos por señalar que en matemática, como en toda disciplina, el lenguaje puede ser un obstáculo para la comprensión, y que conducir al alumno a una asimilación progresiva y segura de un lenguaje correcto es tarea ineludible que requiere la mayor destreza didáctica. Existe otro tipo de dificultad que no está ligada a una insuficiencia de comprensión, sino a la imposibilidad de expresar lo que se ha comprendido, en un lenguaje correcto. Al respecto dice el pedagogo francés G. Mialaret: "Esto explica en parte por qué en cierta clase de adolescentes o de preadolescentes, se encuentra un verdadero mutismo, puesto que el alumno, que tenía su lenguaje corriente, ha tenido súbitamente la sensación de hablar una lengua extranjera. Tiene miedo, lo mismo que el actor antes de entrar en escena. Ya no se siente cómodo con respecto a ese lenguaje particular. A menudo es corregido por el profesor que no lo deja expresarse, está bloqueado". Señalado este peligro y el consiguiente problema docente, no es posible dar pautas recetarias para afrontarlo; ello depende de la habilidad didáctica y de la captación de la respuesta del aula.
2.2 En la implementación del lenguaje matemático actual es necesario tener presentes los más notorios arcaísmos que aún subsisten. Estos no son pocos pues es de épocas recientes (digamos lo que va de nuestro siglo, o aún las últimas décadas) una transformación muy amplia del enfoque y el espíritu de la matemática, que ha dado a su lenguaje una gran sencillez y generalidad, y a la vez una precisión que elimina dudas, oscuridades y equívocos.
2.3 Para ver como el lenguaje matemático revela imprecisiones del lenguaje ordinario consideremos un ejemplo en el cual aquél separa nítidamente tres significados diferentes del verbo ser. Llamemos Z al conjunto de los números enteros, P al conjunto de los números pares, y consideremos estos tres enunciados con la misma flexión "es" del verbo ser:
(i) 6 es el doble de 3;
(ii) x es un número par;
(iii) Todo número par es un número entero.
En el lenguaje matemático estos enunciados expresan, respectivamente:
(i) Una igualdad: 6 = 2 x 3;
(ii) Una pertenencia (de un elemento a un conjunto) x ∈ P;
(iii) Una inclusión (de un conjunto en otro); P⊂Z.
2.4 Muchas imprecisiones del lenguaje ordinario se habían trasladado al lenguaje matemático. Mostremos detenidamente, con un ejemplo sencillo, los graves inconvenientes de esta contaminación, y cómo se elimina sin esfuerzo alguno en el lenguaje matemático actual. Para ello comencemos por recordar el concepto de igualdad para mostrar luego los inconvenientes de su uso espúreo al expresar la relación de múltiplo, y su sencilla eliminación recurriendo al concepto de pertenencia.
➽ a. Una igualdad como x = y expresa que x e y son dos símbolos diferentes para denotar la misma cosa. Se escribe x = y toda vez que un objeto, al considerárselo de dos maneras diferentes, recibe dos denominaciones (x e y), pero luego se advierte que se trata del mismo objeto. Por ejemplo, si se llama x al número 2x3 e y al número 3 + 3, al notar que x e y son el mismo número pondremos x = y, o bien 2 x 3 = 3 + 3.
La igualdad definida entre los elementos de un conjunto A es una relación de equivalencia en A, es decir, tiene las propiedades:
(i) Reflexiva: x ∈ A ⇒ x = x ;
(ii) Simétrica: x = y ⇒ y = x;
(iii) Transitiva: (x = y e y = z) ⇒ x = z.
Como consecuencia de (ii) y (iii), las igualdades x = y y x' = y implican la igualdad x = x':
(x = y y x' = y) ⇒ x = x' (1)
➽b. La relación de múltiplo expresada como "igualdad"
Para expresar que un entero a es múltiplo de un entero b se usaba (y es posible que se use aún) la notación
a = ḃ (2)
que se leía
a es igual a un múltiplo de b. (3)
Por ejemplo, para indicar que 8 es múltiplo de 2 se escribía:
(4)
y entonces:
denotaba un múltiplo de 2, uno cualquiera, no determinado.
Por consiguiente la "igualdad" (4) presenta esta curiosa característica: su segundo miembro no indica un número determinado sino uno cualquiera de entre varios números (tales como 2, 4, 8, 0, -2,...) y la "igualdad" misma indica tan solo que uno de ellos es el mismo que está anotado en el primer miembro.
Es obvio entonces que la "igualdad" (4) no es una igualdad en el sentido señalado en a; sólo tiene la apariencia de una igualdad debido a la presencia del signo "=", pero este signo está usado en (4) con un significado diferente al que le hemos asignado en a.
Este uso espúreo del concepto de igualdad conduce de inmediato a graves contrasentidos. Por ejemplo, con igual derecho que (4) podemos escribir:
se deduciría de ellas en virtud de la implicación (1) la igualdad numérica falsa
8=4 (6)
➽ c. La relación de múltiplo expresada como pertenencia
La situación confusa que acabamos de señalar no se presenta con el lenguaje matemático actual. En él es muy fácil expresar la proposición (3) por una sencilla fórmula, que no es una igualdad sino una pertenencia. Indiquemos con (b) el conjunto de los múltiplos enteros de b, o sea, pongamos*
(b) = {x; x es múltiplo entero de b} (7)
entonces (3) se expresa por la pertenencia
a ∈ (b) (8)
es decir, no ya por una igualdad ni por algo que pueda confundirse con igualdad. Por ejemplo
(2) = {x; x es múltiplo entero de 2};
algunos elementos del conjunto (2) son 2, 4, 8, 0, -2, es decir, se tiene 2 ∈ (2), 4 ∈ (2), 8 ∈ (2), 0 ∈ (2) - 2 ∈ (2), y se expresará que 8 es múltiplo de 2, no por la formula (4) que podría confundirse con una igualdad, sino por la pertenencia 8 ∈ (2).
En lugar de las "igualdades"
que figuran en (5) tendríamos, pues, las pertenencias
8 ∈ (2) y 4 ∈ (2) (´)
y nadie caería en la confusión de deducir de ellas la igualdad falsa 8 = 4, pues dos elementos de un mismo conjunto no tienen por qué ser iguales, o sea, el mismo elemento.
Situaciones análogas se presentan en otros temas y encuentran remedio igualmente eficaz en el lenguaje matemático actual.
______________________
* "La notación (b) no es antojadiza; en el anillo Z de los enteros, el ideal generado por el entero b está formado por los múltiplos enteros de b, y tradicionalmente se lo indica por (b). Entonces [ver (8) más adelante], "un número es múltiplo de otro" significa que pertenece al ideal generado por éste.
Estos conceptos tienen proyección muy amplia. Por ejemplo permiten expresar el concepto de divisibilidad mediante la inclusión de ideales, lo que conduce a una presentación coherente, sencilla y unificada de la divisibilidad de números, de polinomios, y en anillos en general.
En la presentación tradicional dogmática la divisibilidad (así como la división entera) en enteros y en polinomios tienen sorprendente similitud, por alguna razón misteriosa e inexplicada. En efecto, la razón es inexplicable en el enfoque dogmático, pero en la matemática actual ambos conceptos se refunden en el más amplio de divisibilidad en anillos, y la similitud señalada proviene de que los anillos Z de los enteros y R [X] de polinomios sobre los números reales son, ambos, anillos conmutativos, con unidad, sin divisores de cero, de ideales principales y, en fin, euclidianos.
2.5 Para ambientar al alumno en el lenguaje matemático es preciso lograr que el lenguaje ordinario en el cual se expresa sea claro y preciso.
Supongamos que los alumnos tienen una noción intuitiva nítida de lo que son rectas r, s, secantes (fig. 1)
 |
| fig.1 |
y pidámosles que expresen o "enuncien" esta noción. Si un alumno responde con un enunciado como éste:
si las rectas r, s tienen un punto común, son secantes, (9)
no le respondamos que el enunciado es incorrecto (y menos que es un ejemplo de imprecisión) pues tal rechazo puede contribuir al "bloqueo" que señala Mialaret (ver 2.1). Acaso convenga decir que el enunciado (9), en una primera visión –por fuerza superficial– expresa correctamente la noción intuitiva de "ser secantes", y a continuación conducir a la clase a observar que no basta, en efecto, con ver que las rectas tienen un punto común para concluir que son secantes,
 |
| fig.2 |
por ejemplo, las rectas r y s de la figura 2 (que son iguales: r = s, o sea, la misma recta) tienen el punto común P y no las llamamos secantes. La locución imprecisa
un punto común
admite dos interpretaciones precisas, pero diferentes:
un punto común por lo menos, un punto común y sólo uno (10) con la primera, el enunciado (9) es falso. La propiedad válida que ha querido expresarse con (9) es, pues:
si las rectas r y s tienen un punto común y sólo uno, son secantes (11)
Si bien esta última proposición se aproxima más que (9) a lo que más queremos significar por "rectas secantes", es aún casi tan imprecisa como ella. En efecto considerada (11) como implicación
A ⇒ C (11´)
de antecedente
A = las rectas r y s tienen un punto común y sólo uno (12)
y consecuente
C = las rectas r y s son secantes, (13)
vale si llamamos "secantes" a un par cualquiera de rectas. Por ejemplo, si r = s o si r y s son alabeadas vale la implicación (11´) por ser falso el antecedente.
Lo que "en realidad" hemos querido significar con (11) no es la implicación (11´) sino la equivalencia
A⟺C; (11´´)
pero entonces el lenguaje adecuado es este:
Las rectas r y s son secantes si y sólo si tienen un punto común y sólo uno } (12)
Si bien esta proposición, ilustrada por la figura 1, es precisa y verdadera, conviene destacar que vale por definición de rectas secantes, mediante un enunciado como este:
Las rectas r y s se llaman secantes si (y sólo si) tienen un punto común y sólo uno} (13)
Aquí el paréntesis indica que la locución "si y solo si" se puede reemplazar por "si", como es usual en las definiciones. Este reemplazo constituye un "abuso de lenguaje", útil como simplificación pues una definición explicita se expresa siempre mediante una equivalencia y nunca mediante una implicación. Como veremos en 3, los abusos de lenguaje, contrariamente a la connotación peyorativa de la palabra "abuso", son auxiliares muy útiles y hasta necesarios del lenguaje matemático.
El enunciado (13) es inobjetable desde el punto de vista lógico pero no desde el punto de vista metodológico. En electo, está exento de imprecisiones y su forma evidencia que se trata de una definición, pero no es aún el más adecuado al lenguaje matemático actual desde el punto de vista conjuntista.
2.6 Con referencia a la figura 1 notemos que, considerando las rectas r y s como conjuntos de puntos, la fórmula r ∩ s = P es incorrecta (pues la intersección de dos conjuntos es siempre un conjunto y debe reemplazarse por la fórmula
r ∩ s = {P} (14)
Asimismo debe distinguirse entre la intersección {P} de las rectas (que es un conjunto unitario) y el punto de intersección que es el único elemento P de la intersección{P}
2.7 Al implementar el lenguaje matemático deben traducirse a él ciertas expresiones habituales del lenguaje ordinario. Por ejemplo para significar que (fig. 2 ):
el punto P pertenece a la recta r (15)
se emplea la formula conjuntista P ∈ r, pero también suelen usarse expresiones cargadas de contenido extramatemático tales como ésta (sugerida por la operación física de trazar la recta):
la recta r pasa por el punto P. (16)
Por su contenido intuitivo tales expresiones son muy convenientes. pero a condición de que el alumno tenga plena conciencia de que reemplazan a locuciones conjuntistas, de uso en todos los casos. En efecto, no es nada habitual la locución formalmente análoga a (16):
el conjunto { a, b} pasa por el elemento a (17)
El profesor debe, pues, admitir al alumno expresiones como (16), pero a la vez debe procurar que las reemplace gradualmente por expresiones como (15) ó P ∈ r , del lenguaje matemático.
3. Los abusos de lenguaje
3.1 En el ejemplo precedente, el uso de la locución (16) no origina ningún riesgo de confusión porque tenemos clara conciencia de que no es sino una forma de indicar el enunciado (15) o la fórmula equivalente P ∈ r . Al usar el enunciado (16) más próximo al lenguaje ordinario aplicamos lo que se llama un "abuso de lenguaje". Tales licencias no entrañan riesgos de confusión mientras seamos conscientes de que son abusos de lenguaje y sepamos a qué enunciados precisos y formalizados corresponden. Con esta salvedad los abusos de lenguaje son útiles para obtener fluidez, y no puede prescindirse de ellos sin que el lenguaje matemático se torne pesado y engorroso.
3.2 Para ilustrar este último aserto consideremos estos dos problemas, de formulaciones muy similares:
Construir un triángulo con vértices A, B, C dados; (18)
Construir un triángulo con lados a, b, c, dados. (19)
Problema (18). Si de dan los vértices A, B, C (fig. 3), obviamente queda determinado el triángulo. El "problema" tiene solución única –si A, B y C no están alineados–, pero además es trivial.
Problema (19). También es obvio que si se dan los lados a, b, c (fig. 4) ya está determinado o construido el triángulo. El "problema" es también trivial y la solución es única.
Comparación. Entre los problemas (18) y (19) hay una diferencia esencial: es habitual expresar en la forma simplificada (19) el problema siguiente (figura 5)
 |
fig. 5
|
Construir un triángulo con lados a', b', c' respectivamente congruentes a segmentos a, b, c, dados (20)
Pues bien, este problema (20), aunque sencillo, no es trivial. La figura 5 indica como hallar una solución si ésta existe, lo cual exige una discusión sobre los datos. Si hay una solución, triángulo ABC, entonces hay infinitas, a saber: todos los triángulos congruentes al triángulo ABC y sólo ellos. Esto es consecuencia de uno de los criterios de congruencia de triángulos.
Conclusión: Los enunciados de problemas (18), (19) y (20) sugieren estas reflexiones: El enunciado (18) es preciso, y como no puede considerarse abreviatura o abuso de lenguaje para otro enunciado, es forzoso tomarlo "al pie de la letra" y concluir que plantea un problema trivial. El enunciado (19) es igualmente preciso y tomado al pie de la letra plantea un problema trivial; precisamente esta última circunstancia, unida a hábitos de lenguaje arraigados, hace que no sea sensato tomar (19) al pie de la letra, sino como resultado de un abuso de lenguaje que consiste en una cómoda abreviatura lingüística del enunciado (20), el cual plantea un problema no trivial.
4. La formalización del lenguaje
4.1 La formalización mínima del lenguaje está en su precisión. A partir de aquí todo aumento (por ejemplo para acentuar la generalidad o la estructuración) debe hacerse con cautela para asegurar una comprensión cabal, pues un enfoque más formalizado obliga a presentar aspectos más sutiles que pueden ser de difícil asimilación, y aún de dudosa aceptación, en un determinado nivel y edad. Requiere habilidad didáctica conducir al alumno hacia un lenguaje relativamente formalizado, lo suficiente para dar una razonable seguridad de evitar equívocos.
Señalemos la advertencia de Piaget sobre los peligros de caer en un formalismo verbal. Una formalización aparente, además de revelar inmadurez matemática, es tan pesada como inútil. Por otra parte, corregir errores o inconsecuencias de lenguaje requiere tacto y dominio pleno del lenguaje matemático por parte del docente.
4.2 Aunque en 5 veremos algunas inconsecuencias de largo arraigo, señalemos ya algunas muy corrientes.
Con referencia a la situación ilustrada por la figura 6 es frecuente en los alumnos esta expresión:
la recta r pertenece al plano π, (21)
que es no solo inconveniente sino incorrecta si consideramos la recta y el plano como conjuntos de puntos. Es preciso conducir al alumno a comprender cabalmente que la recta r es subconjunto o parte) del plano 𝝅, y a entender y usar con fluidez las expresiones del lenguaje matemático, como
la recta r esta incluida en el plano 𝝅 (22)
o en símbolos r ⊂ 𝝅 , con inclusión ⊂ y no pertenencia ∈.
Notemos que (21) no es un abuso de lenguaje para expresar (22). pues es una proposición del lenguaje matemático, pero falsa (pues 𝝅 no es el llamado "piano reglado" de la geometría proyectiva).
4.3 Consideremos ahora, siempre con referencia a la figura 6, estos tres enunciados del lenguaje ordinario, de apariencia muy similar:
P es un punto de la recta r,
P es un punto del plano 𝝅,
r es una recta del plano 𝝅.
Los dos primeros expresan pertenencias y el tercero una inclusión.
En lenguaje matemático se tiene, respectivamente:
el punto P pertenece a la recta r, P ∈ r;
el punto P pertenece al plano. P ∈ 𝝅
la rectar está incluida en el plano, r ⊂ 𝝅
5. Inconsecuencias debidas a rutinas lingüísticas
5.1 El lenguaje de la matemática se desarrolló a impulsos de necesidades internas originadas en el enfoque y el espíritu de esta disciplina, pero ha encontrado una tenaz resistencia en la enseñanza, que o bien insiste en aferrarse a un lenguaje obsoleto, o lo que es peor, cae en una caótica mezcla de lenguajes. Ello obedece a la separación entre matemáticos y docentes, pero además la fuerza de la rutina actúa sobre unos y otros: no es fácil abandonar hábitos mentales de hondo arraigo aunque se advierta la conveniencia de hacerlo.
El lenguaje de la vieja teoría euclidea de las magnitudes* está en abierta colisión con el enfoque conjuntista y el lenguaje matemático actual, y ha condicionado hasta tal punto nuestros hábitos mentales que una de las mayores dificultades en la implementación del lenguaje matemático es romper una rutina mental de largo arraigo.
Tal dificultad no existe inicialmente en el niño, éste la adquiere del adulto.
______________________________
* Para Euclides la geometría apunta a una teoría de magnitudes, y tan grande fue la influencia de sus Elementos que en síntesis cabe afirmar que durante muchos siglos (hasta épocas en que se cultivan las geometrías afín y proyectiva) sólo se desarrolla la geometría métrica. Aún hoy en la enseñanza tradicional muchas propiedades no métricas muy simples y básicas permanecen ignoradas; el resultado es la complicación inútil y la falta de coherencia. Por otra parte en Euclides, el concepto métrico de congruencia de figuras se presta como posibilidad de "superponerlas" mediana un "movimiento rígido" como intuición física cuyo alcance no se aclara, y no como concepto geométrico, Ya remotos comentaristas de Euclides objetaron esta presentación, y hay en los Elementos indicios de que al mismo Euclides le desagradó el método pero lo usó acaso por seguir tradiciones más remotas, o más probablemente por no haber podido hallar un enfoque menos objetable.
5.2 Veamos unos ejemplos. En el plano de las generalidades aceptamos sin inconvenientes que la igualdad de dos conjuntos A y B, que se anota A = B , se define por el par de inclusiones A⊂B y B⊂A, o sea:
A = B significa que A⊂B y B⊂A; (23)
pero en la teoría euclidea de las magnitudes, cuyo lenguaje impregna la matemática de muchos siglos, rectas r, s como las de la figura 2, que son iguales en virtud de (23):
r = s pues r ⊂ s y s ⊂ r ,
no se llaman iguales (se usan denominaciones como "coincidentes", "superpuestas", etc.), y para "estos" conjuntos no se escribe r = s (aunque es r ⊂ s y s ⊂ r) r = s.
 |
| fig.7 |
Por otra parte, dos segmentos AB y CD lados opuestos de un paralelogramo (fig. 7) que en virtud de (23) no son iguales:
AB ≠ CD pues ni AB C CD
ni CD ≠ AB
no obstante se llaman "iguales", así como dos segmentos congruentes cualesquiera.
Llamar ahora "iguales" a estos conjuntos (segmentos AB Y CD) es introducir inútilmente una inconsecuencia y una fuente de confusión. No se trata simplemente de una palabra, sino de una concepción: al decir que el segmento AB es "igual" al CD aunque en verdad no sean el mismo segmento, acaso se desea señalar que tales segmentos "miden lo mismo" pues se los puede llevar a coincidir mediante un movimiento físico. Pero desde los dos puntos de vista matemático y didáctico, es fundamental que el alumno confíe en que siempre la igualdad de dos conjuntos se defina de igual modo, por la inclusión de cada uno en el otro ¡cualesquiera que sean esos conjuntos!
5.3 En el lenguaje euclídeo, al que estamos acostumbrados, se llaman iguales las figuras a la vez congruentes y ligadas a alguna "medida". En el lenguaje matemático actual la igualdad A = B de dos conjuntos se define por (23); pero al intentar introducir este lenguaje la fuerza de la rutina nos puede hacer caer en un "lenguaje mezclado". En él la definición de igualdad de conjuntos A = B por las inclusiones A⊂ B y B⊂A vale para conjuntos "cualesquiera"... ¡siempre que no sean segmentos, ni triángulos, ni círculos... (que se llamarán iguales con sólo ser congruentes), ni rectas, ni planos, ni semirrectas,... (que nunca se llamarán iguales, aunque cumplan A⊂B y B⊂A)!
La mezcla de lenguajes obliga a recordar mil excepciones como las señaladas, y otras tantas reglas misteriosas, como ésta, válida para segmentos y rectas: Dos segmentos congruentes AB y CD se llaman iguales (aunque no sea AB ⊂ CD y CD ⊂ AB). Dos rectas r, s (que son siempre congruentes) nunca se llaman iguales (ni siquiera cuando r ⊂ s y s ⊂ r, o sea cuando r y s son el mismo conjunto).
6. La consecuencia en el enfoque matemático actual
6.1 Muchas dificultades y desconciertos que se observan en el proceso de modernización de la enseñanza se deben a que obviamente el enfoque conjuntista no puede adoptarse a medias, pues ello lleva a mezclar dos concepciones, e incluso dos lenguajes incongruentes entre sí y conduce a la imprecisión y al caos como acabamos de ver en 5. Por eso, si bien en la implementación del lenguaje matemático hay que graduar las dificultades por etapas, ello no significa en modo alguno adoptar un enfoque conjuntista a medias, o un enfoque "cada vez más conjuntista" por emparche progresivo de lo nuevo en lo viejo. Al respecto dice Dieudonné: "Pienso en el día en que este emparchamiento esté superado, y seamos impulsados a una reforma mucho más profunda, salvo que dejemos que la situación se deteriore hasta un punto tal que impida todo progreso ulterior".
6.2 Recalquemos que en modo alguno cabe afirmar que en la exposición de un tema de matemática, y con mayor razón en las actividades ambientantes y en el trabajo en el aula, se deba usar con exclusividad un lenguaje matemático depurado. En realidad el lenguaje matemático se obtiene por decantación del lenguaje intuitivo, lleno de licencias e imprecisiones, con el cual se aborda y explora un concepto nuevo. Es obvio señalar que este lenguaje, impreciso pero maleable y sugestivo, es un preliminar obligatorio de fundamental importancia. A partir de aquí el problema consiste en conducir al alumno a efectuar aquella decantación y a formular conclusiones y resultados en un lenguaje matemático depurado y apto para desarrollos ulteriores. Ello demanda del profesor una gran habilidad didáctica, y además estos dos requisitos indispensables:
Una visión clara del enfoque y el espíritu de la matemática actual;
Un esquema de ordenación de los temas, suficientemente firme como para asegurar la coherencia lógica y metodológica de su desarrollo, sin perjuicio de que éste esté salpicado por actividades motivantes, consideraciones intuitivas, etc., que deben abundar pero sin desdibujar el camino central.
Este esquema de coherencia para el desarrollo troncal puede consistir en una verdadera axiomática que el profesor tendrá presente para su manejo sin revelarla al alumno ni hacerla ostensible en la exposición. Por eso cabe designarla como "axiomática subyacente".
7. El lenguaje matemático en las relaciones
7.1 En 2.5 partimos del enunciado impreciso: "si las rectas r y s tienen un punto común, son secantes", y mediante sucesivas correcciones lo reemplazamos por este:
Las rectas r y s se llaman secantes si
tienen un punto común y sólo uno. ( 25)
Este enunciado es lógicamente inobjetable pero, como dijimos, no es el más adecuado al lenguaje matemático actual, desde el punto de vista conjuntista. En efecto, lo que se trata de definir es una relación entre rectas, y como toda relación se expresa mediante un conjunto de pares ordenados, en nuestro caso la expresión
r es secante a s, (26)
es más adecuada al lenguaje matemático que esta otra
r y s son secantes. (27)
7.2 De r ∩ s = s ∩ r se deduce que la relación "ser secante a" es simétrica, es decir, si es verdadera la proposición (26) también lo es esta otra:
s es secante a r (28)
y sólo entonces (26) y (28) pueden enunciarse conjuntamente mediante la única proposición (27).
Pero mientras la forma (26) es adecuada para relaciones simétricas o no, la forma (27) es inadecuada para relaciones no simétricas (por ejemplo, la formula 3 < 5 puede enunciarse así: "3 es menor que 5", pero no en esta otra forma: "3 y 5 son menores").
7.3 Puesto que la forma (26) de enunciar es la que tiene vigencia para todas las relaciones (sean simétricas o no) y además es coherente con la definición de relación como conjunto de pares ordenados, conviene adoptarla con preferencia a la forma (27) aún cuando se trate de relaciones simétricas. Por consiguiente conviene sustituir el enunciado (25) por este otro:
La recta r se llama secante a la recta s
si r ∩ s es un conjunto unitario (29)
Tomado de: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA. Publicación didáctico científica de la UNIVERSIDAD CAECE. Volumen III . NUMERO IX. SETIEMBRE 1968.
_____________________
(*)César Anselmo Trejo. Profesor universitario de vasta experiencia docente, que incluye el dictado de cátedras en el ciclo secundario y la publicación de acreditadas obras didácticas. Es autor de diversos trabajos científicos sobre lógica y matemática.
Nos permitimos recomendar:
1. Trejo, C. A. (1968). El concepto de número. Colección de monografías científicas. Serie de Matemática Nº 7 . Unión Panamericana, O.E.A. , Washington, D. C.
2. Trejo, C. A. (1968). Matemática Elemental Moderna. Estructura y método. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires. Argentina.
3. Trejo, C. A. (1973). El enfoque conjuntista en la enseñanza de la matemática. Buenos Aires: Editorial Kapeluz . S.A. Argentina.
4. Trejo, C. A, y Bosch, J. E. (1966- 1973). Ciclo medio de matemática moderna (obra completa 5 tomos). Colección textos del secundario. Editorial Universitaria de Buenos Aires. Argentina.
5. Rey Pastor, J. , Pi Calleja , P. y Trejo, C. A. Análisis Matemático, Vol. I, 7 a ed. (1963);Vol. II, 5ta ed. (1963);Vol. III, 3ra ed. (1965) . Kapeluz , Buenos Aires. Argentina.
Te recomendamos leer en nuestra sección "Lectoescritura matemática" :
Comentarios
Publicar un comentario