Estudio de una relación de orden. Zoltan Paul Dienes

AVISO

Creemos necesario advertir a nuestros lectores, que las etapas Quinta y Sexta, del Estudio de una relación de orden de Zoltan P. Dienes, presuponen el conocimiento de los símbolos lógicos y de la correspondiente notación simbólica utilizados. 

En el citado estudio DIENES recurre a la llamada "notación polaca"; propuesta por el lógico polaco JAN LUKASIEWICZ en 1951.

Puede resultar muy conveniente, para quienes así lo crean necesario, consultar:

👉Dienes, Z. P. y Golding, E.W. (1976). Lógica y Juegos Lógicos. Barcelona: EDITORIAL TEIDE.

Los símbolos lógicos - p.65 

Notación Simbólica - p.131

🔸Primera etapa

● Podemos escoger un conjunto de objetos cualesquiera y estudiar sus propiedades. A partir de esas propiedades, podemos relacionar entre sí esos objetos. Estos procesos empiezan prácticamente desde el nacimiento. Por consiguiente, la primera etapa empieza mucho antes del período que consideramos, aquí, el período escolar. Si se añaden al medio ambiente ordinario algunos materiales estructurados, como son los bloques multibase o los bloques lógicos, será posible estimular el desarrollo de trabajos posteriores más exactos y refinados. La etapa lúdicra del estudio de las relaciones, que será objeto del presente trabajo, se descompone, por consiguiente, en el estudio de las propiedades de los objetos y en diferentes tentativas por parte del niño de relacionar entre sí los objetos dotados de dichas propiedades. Podrá decir, por ejemplo, que una flor es del mismo color que otra flor; que un árbol es mayor que otro árbol o que un regalo es preferible a otro regalo, debido a las propiedades de estos objetos, de las que el niño ya será consciente. Durante sus actividades de clasificación y de orden, el niño aborda los problemas que le llevarán finalmente a la realización y comprensión de nociones como las de relación de equivalencia, relación de orden, relación de diferencia, etc.. Aquí vamos a explicar únicamente la epistemología de la noción de orden y el cómo podernos dar cuenta de las etapas recorridas por el niño, en lo concerniente al aprendizaje de la idea de orden.

🔸Segunda etapa

● Es evidente que hay que pensar en juegos estructurados en los cuales el niño pueda comprender el significado de una relación de orden. Existen desde métodos muy sencillos hasta métodos  muy complejos para definir un orden lineal estricto. Dado un conjunto de niños, todos de distinta talla, se les puede ordenar por tamaño, poniendo el mayor delante y el más pequeño detrás. Para decidir entre dos niños cuál hay que poner delante, basta con mirar sus tallas y compararlas. Se podrían hacer ejercicios de orden con el peso, la distancia, la superficie, el valor monetario, etc.. Pero se pueden hacer ejercicios de comparación con una escala de orden de otras muchas clases. Por ejemplo, los niños pueden salir de la clase pasando primero las chicas y después los chicos. Las chicas se ponen en fila con la mayor delante y la más pequeña detrás. Detrás de las chicas se pondrán los chicos, el mayor delante y el más pequeño detrás. De esta forma tenemos dos criterios superpuestos para decidir cuál de entre dos niños dados ha salido antes de la clase. Si uno de los niños es un chico y el otro una chica, no necesitamos mirar cuál de ellos es mayor, puesto que sabemos que todas las chicas han salido antes que los chicos. Si dos niños son del mismo sexo, entonces este primer criterio para decidir no nos vale. Hay que recurrir al segundo criterio, es decir, hay que ver cuál de los dos niños es mayor. Para estimular los juegos de este tipo, se pueden hacer dibujos o recoger objetos y hacer conjuntos con ellos; también se pueden elegir de forma que haya un sistema completo en cada conjunto.

Figura 1

Observemos, por ejemplo, la Figura 1. Tenemos doce clases de flores. En la primera fila tenemos flores rojas, en la segunda, flores azules y en la tercera, flores amarillas. Se puede decidir, por ejemplo, que todas las flores rojas son preferibles a todas las flores azules y que todas las flores azules son preferibles a todas las flores amarillas. Después, dadas dos flores del mismo color, se puede tomar, como orden preferible, el orden indicado en la Figura. Podíamos haber dicho igualmente que las margaritas dibujadas en la primera columna de la Figura son nuestras flores preferidas, que las flores de la segunda columna las siguen en el orden de preferencia, que después vienen los tulipanes y, por último, el muguete. Pero si tenemos que elegir entre dos margaritas, diremos que las rojas son preferibles a las azules y las azules a las amarillas. De esta forma hemos invertido el orden de importancia de los dos criterios, y hemos obtenido otro orden. Se puede hacer lo mismo con los bloques lógicos como se ve en las figuras 2 y 3.

Figura 1                                    Figura 2

                                                                                               

Por ejemplo, en la Figura 3 hemos aplicado tres criterios. Digamos que el orden de preferencia es el siguiente: los bloques rojos son siempre preferibles a los azules, y los azules son siempre preferibles a los amarillos. Si tenemos dos bloques del mismo color, los grandes son siempre preferibles a los pequeños. Si tenemos dos bloques del mismo color y del mismo tamaño, los redondos son preferibles a los cuadrados y los cuadrados a los triangulares. De este modo el criterio del color es el primero. El del tamaño es el segundo, y el de la forma es el tercero. Se podría haber cambiado, desde luego, el orden de importancia de dichos criterios. Por ejemplo, se podía haber dicho que se prefieren los redondos a los cuadrados y los cuadrados a los triangulares; y también que los rojos son preferibles a los azules y los azules a los amarillos, si dos bloques son de la misma forma. Si dos bloques son de la misma forma y también del mismo color entonces se toman antes los grandes que los pequeños. Este conjunto de criterios nos da el orden en cada columna. Se recorre primero la primera columna de arriba abajo, después la segunda y por fin la tercera hasta el pequeño triángulo amarillo que es el bloque menos preferido en los dos órdenes.

Podemos ver, en la Figura 4, que se pueden imaginar igualmente otros medios de considerar un juego de orden con tres criterios. En la Figura 4 hay dibujadas dieciocho casas. Unas son rojas, otras azules y otras amarillas. Según el orden de la Figura, si las tomamos por columnas, es decir, primero, la primera columna, después la segunda y, por fin, la tercera, decimos que las casas con una ventana son preferibles a las casas con dos ventanas y éstas son preferibles a las casas con tres ventanas. Pero si dos casas tienen el mismo número de ventanas, las rojas son siempre preferibles a las azules y las azules son preferibles a las amarillas. Si dos casas son del mismo color y tienen el mismo número de ventanas, entonces es preferible las casa sin chimeneas. Naturalmente, existen seis maneras distintas de ordenar los criterios. Paralelamente, podemos considerar diferentes órdenes. En cada orden de criterios, puede variar también, por ejemplo, el orden de las casas con un cierto número de ventanas.

Se podría decir que las casas con tres ventanas son preferibles a las casas con dos ventanas, y éstas a su vez preferibles a las que sólo tienen una. O bien podemos considerar que las casas con chimenea son siempre preferibles a las casas sin chimenea, o que son preferibles únicamente en el caso de que las casas sean del mismo color, o bien únicamente si son del mismo color y si tienen el mismo número de ventanas y así sucesivamente.

Figura 4

Después de realizar un cierto número de ejercicios con estos conjuntos de objetos, se puede pasar al estudio de los conjuntos de conjuntos.

En la Figura 5 vemos un conjunto de bloques lógicos y en la Figura 6 un conjunto de conjuntos.

Figura 5

Figura 6

Hay coches y bicicletas. Naturalmente, los coches son preferibles a las bicicletas y dos coches son preferibles a uno solo; asimismo, un coche es preferible a cero coches, y una bicicleta es preferible a cero bicicletas. Vemos que los conjuntos de objetos que ocupan los nueve espacios están dibujados teniendo en cuenta el orden de las filas en la forma: 2 coches – 2 bicicletas, 2 coches – l bicicleta, 2 coches – 0 bicicletas. Después: 1  coche – 2 bicicletas, 1 coche –1 bicicleta, 1 coche – 0 bicicletas. Y por fin, la tercera fila:

0 coches – 2 bicicletas, 0 coches – 1 bicicleta y 0 coches – 0 bicicletas.

Puede ocurrir que las niños prefieran las bicicletas a los coches. Al fin y al cabo, el niño no puede conducir un coche (lo conduce su padre), en cuyo caso las preferencias irán por columnas y no por filas.

🔸Tercera etapa.

● Es evidente que se puede establecer ahora una correspondencia entre los órdenes establecidos con un conjunto de objetos o de imágenes y con otro conjunto de objetos o de imágenes, o incluso con un conjunto de conjuntos de objetos. De esta forma, ordenaremos por ejemplo el conjunto de los conjuntos de coches y de bicicletas y pondremos al lado de cada uno de esos conjuntos un bloque lógico perfectamente determinado. Observemos las figuras 5 y 6. Es evidente que la propiedad de ser rojo en el caso de los bloques lógicos corresponde a la propiedad de los conjuntos de tener 2 coches. El azul, en los bloques lógicos, corresponde a 1 coche en los conjuntos y el amarille corresponde a 0 coches. La propiedad de ser un cuadrado corresponde a tener 2 bicicletas; ser un triángulo corresponde a tener 1 bicicleta, y la propiedad de ser un círculo corresponde a tener 0 bicicletas. De esta forma, se pueden comparar no solamente los elementos entre sí, sino también las propiedades. Del mismo modo, los bloques lógicos de la Figura 3 pueden compararse con el conjunto de las casas de la Figura 4. Podríamos decir, por ejemplo, que en cada casa hay una piscina, que a veces es grande y otras veces es pequeña; las formas de las piscinas pueden ser circular, cuadrada o triangular, y pueden tener una cerca 

roja, azul o amarilla. Se trata de decidir cómo distribuir las piscinas entre las casas. No es, en absoluto, necesario poner las piscinas con cercas rojas junto con las casas rojas. Sin embargo, tenemos que establecer una regla que permita saber qué clase de piscina le corresponde a una determinada casa e, inversamente, qué clase de casa corresponde a una cierta piscina. Veremos que los mismos juegos de comparación típicos de la tercera etapa se pueden desarrollar con el conjunto de flores y el conjunto de bloques lógicos.

🔸Cuarta etapa.

● En las figuras 7 y 8 ya se puede observar una cierta transición hacia la representación, que nos puede introducir en la cuarta etapa.

Figura 7

Figura 8

En la Figura 7 hemos representado el orden lineal dado por filas en las figuras 3 y 4. En la Figura 8 se puede apreciar un orden distinto. Hemos cambiado el orden de importancia del número de ventanas con respecto al número de chimeneas, en el caso de las casas; y el orden de importancia de la forma respecto del tamaño en el caso de los bloques lógicos. Las propiedades vienen indicadas en las ramas. Por ejemplo, en la primera parte de la figura se empieza por el círculo rojo grande, después el círculo rojo pequeño, después el cuadrado rojo grande, etc.. O también, si hablamos del conjunto de casas, se empieza por una casa roja sin chimenea y con una ventana, después, una casa roja con chimenea y con una ventana, después una casa roja sin chimenea y con dos ventanas, y así sucesivamente... Se pueden entonces considerar otras muchas posibilidades de interpretar esta representación. Por ejemplo, tomando el conjunto de los conjuntos de coches y bicicletas dados en la Figura 6, podríamos ampliar este conjunto admitiendo por ejemplo, la posibilidad de tener una casa o no tenerla. Cada conjunto podría figurar con casa o sin ella. De esta forma, obtendríamos dieciocho conjuntos posibles que se podrían comparar con la distribución de los sucesivos criterios dados en la figuras 7 y 8. Casa o no casa correspondería a con chimenea  o sin chimenea, o inversamente. Dos coches – un coche – ningún coche podría corresponder, por ejemplo, a rojo, azul, amarillo. Dos bicicletas, una bicicleta, ninguna bicicleta podría corresponder, por ejemplo, a una ventana, dos ventanas, tres ventanas  respectivamente. Cuando un niño es capaz de llenar un árbol mediante el conjunto que le conviene, y de determinar un orden según su propia voluntad, es decir una regla que permite decidir cuál de dos objetos o de dos conjuntos está antes que el otro, quiere decir que está en condiciones de utilizar la representación en tanto que abstracción de los juegos de orden que ha realizado. Habrá que introducir también una notación para la relación "estar antes" o "estar después".

Por ejemplo, en la figura 9, vemos cuatro niños de diferentes alturas.

Figura 9 

El primero es el mayor, el segundo es algo más pequeño, el tercero lo es más todavía y, por fin, el cuarto es el menor. Consideremos la relación "ser mayor que". Esta relación establece que el primero es mayor que el segundo, que el primero es mayor que el tercero y que el primero es también mayor que el cuarto. Este queda representado por flechas que van desde el primero hacia el segundo, desde el primero hacia el tercero y desde el primero hacia el cuarto. El segundo es igualmente mayor que el tercero y que el cuarto. Por último, el tercero es mayor que el cuarto. Todos estos enunciados que sirven para relacionar, quedan representados por flechas en el diagrama de la figura 9. En este caso se hace incluso abstracción de las reglas que rigen la decisión de cuál de entre dos elementos está antes que el otro.

🔸Quinta etapa 

● Hemos llegado a una representación que puede aplicarse ahora a cualquier orden estricto. No hemos definido lo que es el orden estricto. Lo hemos representado después de realizar un cierto número de experiencias, cuyo contenido permite comprender de qué situaciones se puede abstraer la idea de orden estricto. En esta quinta etapa, nuestro trabajo consistirá en extraer las propiedades del orden estricto en vez de dar definiciones, como es costumbre en los manuales que se dicen "modernos". Estamos ahora en condiciones de pedirles a los chicos que escriban, de una manera lo más precisa posible, las propiedades de los juegos de orden que han realizado. Por ejemplo, los niños pueden darse cuenta de que si una flecha va de un elemento a otro, no hay flecha alguna que vaya de este segundo elemento al primero. Esta propiedad se llama la propiedad de antisimetría. Es evidente que esta propiedad podría describirse simplemente mediante una frase. Si, en el momento de este descubrimiento, los niños están en condiciones de expresarse mediante una notación lógica precisa, podrán escribir: la condición  "relación x y" implica la "no relación y x". Puede ocurrir que algunos de los niños lleguen a intuir la transitividad. Es decir que, si se puede pasar de un primer elemento a un segundo, y si se puede pasar de este segundo a un tercero mediante una flecha en el diagrama, siempre se puede pasar del primer elemente al tercero mediante una sola flecha. Si esto se verifica en todo el diagrama cualesquiera que sean los tres elementos mencionados, podremos decir que dicha relación posee la propiedad de transitividad. Es evidente que se podrá expresar esta propiedad en la forma precedente. Ahora bien, si los niños dominan un lenguaje simbólico lógico, podrán decir la condición "relaciones conjuntas x y e y z" implica "relación x z". Se puede introducir también la noción del sucesor o del elemento siguiente. Se pueden representar los elementos de un sistema por 0, el siguiente de 0, el siguiente del siguiente de 0, el siguiente del siguiente del siguiente de 0, y así sucesivamente. Los números ordinales 1, 2, 3, etc., son las abreviaturas de el sucesor  o el siguiente de 0, el sucesor del sucesor de 0, el sucesor del sucesor del sucesor de 0, etc., respectivamente. Es evidente que la psicodinámica anterior es válida también para la relación "x precede a  y" o " y sucede a x". Por "precede" se entiende "precede inmediatamente", de modo que entre x e y no existe elemento alguno: "entre" quiere decir evidentemente que el elemento sucede a x, pero precede a y; en estas condiciones decimos que el elemente está "entre x e y". Se pueden estudiar las propiedades de una sucesión en una figura en la cual se expresa la sucesión mediante una yuxtaposición de puntos representativos sobre una línea. ¿Se pueden representar los elementos del juego como se quiera?. Se podrían llamar por ejemplo, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.. Veremos que mediante la yuxtaposición hemos establecido un orden estricto. Es de observar que el que está después, es decir el sucesor, está siempre del mismo lado del elemento al que sucede. El orden viene representado en esta figura mediante una relación izquierda- derecha. Se dice, por ejemplo, que 2 está antes que 4, o bien que 4 está después que 2. Definamos nuestra relación mediante les axiomas siguientes, que describen la representación lineal:

●Axioma 1: el sucesor de un elemento está después que el elemento al que sucede. Si representamos la relación por R, seguido de los dos elementos que relaciona, escribiremos: RSee. Esto será nuestro primer axioma, y por ahora, nuestro único axioma. Las reglas del juego de naturaleza lógica que hemos dado, serán las reglas según las cuales podremos dar otros enunciados no comprendidos en el axioma 1. Por ejemplo, podemos decir:

▲ Primera regla: Dado Rxy, podemos deducir: N Ryx

▲ Segunda regla: Dado Rxy y también Ryz, se puede deducir Rxz, donde x, y, z son elementos del mismo sistema. 

Por ejemplo, O, SO, SSO, SSSO, etc., que se escriben abreviadamente 0-1-2-3, etc., son elementos. 

🔸Sexta etapa

● Ahora hemos alcanzado la posibilidad de hacer demostraciones en el pequeño sistema que hemos creado. Por ejemplo, intentemos demostrar que no es cierto que 2 viene después de 4. Simbólicamente: NR24. Recordemos que 2 es una abreviatura de SSO y que 4 es una abreviatura de SSSSO. Por consiguiente, lo que tenemos que demostrar es

 NR SSO SSSSO

DEMOSTRACIÓN

1   R See (Axioma)

2   R SSSO SSO (e = SSO)

3   R SSSSO SSSO (e = SSSO)

4   RSSSSO SSO (3, 2, Regla segunda)

5   NR SSO SSSSO (4, Regla primera)

es decir: NR 2, 4

es decir: "2 no viene después de 4"

______  _  ______

Otro axioma que podríamos eventualmente deducir de nuestras experiencias es NRee. No es cierto que la relación existe entre un elemento y el mismo elemento, es decir que un elemente no viene después de sí mismo. No tenemos espacio para preseguir esta información, nı para otras muchas que podríamos dar respecto a cualquier noción matemática cuya psicodinámica desde el punto de vista del aprendizaje infantil fuera semejante a la que acabamos de dar anteriormente.

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Publicación interna del Centro de Estudios para el Aprendizaje de la Matemática (C.E.P.A.M.) "Doctor Zoltan Paul Dienes".

Director de Proyecto: Alfredo Raúl Palacios

• Título original: L'ÉTUDE D'UNE RELATION D'ORDRE
• Autor: Zoltan Paul Dienes.
• Traducción: Laura Alejandra Etcheverry. Profesora de Lengua y Literatura Francesa. Traductora. 

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