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(...) El lector admitirá que este modo de aprendizaje de las matemáticas no es de los que se encuentran frecuentemente en las escuelas tradicionales; por supuesto que con ello no queremos decir que no se encuentre nunca. Hay niños que son capaces de llegar a un cierto grado de abstracción a partir de una experiencia muy limitada, pero esto es algo imposible para la mayoría; puede ocurrir también, por un caso de buena suerte, que el tipo de pensamiento del maestro coincida con el tipo de pensamiento del alumno, en cuyo caso las "explicaciones" casi siempre parecerán oportunas. Pero, en conjunto, el tipo de nociones matemáticas que adquieren los niños no corresponde a una serie de conceptos superpuestos, espigado cada uno en la experiencia personal a través del proceso psicodinámico que tan acertadamente ha descrito Piaget. Las matemáticas estudiadas son casi siempre de tipo asociativo, lo que significa que los niños asocian ciertas situaciones con determinados procesos y repiten éstos en cuanto aparecen aquellas situaciones a que están asociados. Si modificamos estas situaciones formulando, por ejemplo, un problema de modo algo distinto o simplemente utilizando letras diferentes, se crea para el niño una situación totalmente nueva, y como no ha habido transferencia alguna (porque ha habido comprensión global de la situación), o bien no se aplica proceso alguno, o bien se utiliza uno "falso", lo que produce respuestas también "falsas". Para establecer una situación pedagógica que satisfaga a las condiciones fundamentales del aprendizaje de las matemáticas tal como aquí se ha definido, se necesita organizar de modo totalmente distinto tanto la clase como el procedimiento de comunicación con el alumno.
La mayor parte del aprendizaje deberá hacerse individualmente o con pequeños grupos de dos o tres alumnos, pues de otro modo no es posible considerar las diferencias individuales entre los niños; no podemos esperar que más de tres niños trabajen al mismo paso y con el mismo estilo. Se deduce de lo anterior que toda la información no puede proceder del maestro, por cuanto no tendría tiempo material para circular y "enseñar" separadamente a cuarenta niños, que son diferentes tanto por sus capacidades como por el nivel que unos y otros han alcanzado ya. Por tanto, debe haber otras fuentes de información en la clase, como también debe existir algún lugar donde el alumno encuentre lo que debe hacer a continuación y, si fuera posible, algún lugar donde asegurarse de si lo que ya ha realizado se ajusta, efectivamente, a lo debido. En consecuencia, preconizamos un sistema de tarjetas o fichas de instrucción para que los niños puedan trabajar a partir de éstas. Tales fichas estarían dispuestas a la vez "en serie" –construcción de un concepto por una serie de cuestiones progresivas– y en paralelo –presentación de la misma idea conceptual con diferentes materiales– . Sería preferible que las fichas pudieran permitir una cierta elección y, por supuesto, deberán ofrecer una gran variedad, de acuerdo a los dos principios de variabilidad enunciados. Además, si hemos de hacer el estudio tan constructivo como podamos, será necesario poseer una cantidad considerable de material concreto. Ajustándose a las instrucciones que las propias fichas le proporcionan, se espera que el manejo de este material lleve al niño, a través de experiencias apropiadas, de un concepto en otro, ayudándole a construir en su mente la estructura conceptual de las matemáticas. Los juegos estructurados, encaminados a la formación de conceptos abstractos, deberían seguirse de problemas y ejercicios tan prácticos y plenos de significación como se pueda (¡sobre todo, que no se trate de averiguar en cuánto tiempo quedará lleno un gran depósito en el que desaguan varios grifos de distinto caudal!) para asegurarse de que los conceptos han sido realmente asimilados y que (y se saben utilizar) antes de abordar otro ciclo de formación conceptual. En los capítulos siguientes, se expondrá con detalles el funcionamiento de varios planes de aprendizaje de este tipo.
Queda sobreentendido que, en situaciones de aprendizaje como las que referimos, las actitudes autoritarias no sirven para nada. La esencia de una situación pedagógica que favorezca la creación es el entusiasmo por informarse de algo; el autoritarismo nunca ha reforzado el espíritu de investigación personal. La función del maestro responsable de sus alumnos es muy distinta. En primer lugar, se asegurará de que están libres las vías de comunicación entre las fuentes de información y los alumnos. A veces el estilo en que está redactada una ficha ofrece dificultades de comprensión; otras veces ocurrirá que algún alumno intentará ensayar una ficha para la que aún no está preparado, porque no domina los conceptos constitutivos indispensables. En el primer caso quizá se necesite redactar la ficha de nuevo, o simplemente dirigir unas palabras a toda la clase antes de empezar el trabajo; en el caso segundo, será necesario llevar al alumno, a través de experiencias particulares, hacia el dominio de los conceptos que le faltan. El equilibrio dinámico de este método de enseñanza puede ser muy delicado; una palabra de contrariedad o un tono de voz desaprobador, puede comprometer el estudio del alumno por lo que falta de la lección. Los maestros encargados de clases de este tipo actúan más bien como consejeros y ayudan a los niños en sus esfuerzos personales para abordar los problemas que se les presentan.
Un maestro formado de modo tradicional se preguntará, tal vez, cómo puede progresar todo este trabajo sin el impulso del representante de la autoridad a la cabeza de la clase. ¿Querrán los niños, realmente, hacer todo esto, sin que se les obligue de una manera u otra? Aparece aquí el problema, tan discutido, de la motivación. ¿Existe alguna situación pedagógica que favorezca la creación y en la cual la disciplina se mantenga constantemente por el espíritu de investigación del alumno, el que a su vez ha sido creado por el interés que despierta la tarea en si? Dicho de otro modo: ¿conduce a la autodisciplina la actividad motivada por si misma? La respuesta no es tan fácil. No sería cierto decir que el maestro pueda prescindir de su sentimiento de responsabilidad en la conducción de la clase. Los niños deben sentir que el encargado de la clase es el maestro; que éste les ayudará, y que también sabrá hacerse obedecer si hace falta. Pero esta tarea es más fácil para el maestro si los ejercicios tienen realmente interés; si el maestro que dirige un plan de estudios está íntimamente convencido de que resulta apropiado, su entusiasmo será compartido por los niños y el problema de la disciplina de la clase se reducirá a bien poca cosa. Como siempre, el movimiento se demuestra caminando. Tenemos experiencia ya como para asegurar que cualquier buen maestro que tenga relaciones fáciles con sus alumnos y sea capaz de mantener la disciplina en la situación clásica, lo será también en estas otras de nuevo tipo. La alegría con que se acoge una lección de álgebra de tipo creador, la repetición voluntaria de un trabajo durante el tiempo de recreo o en horas de trabajo voluntario, son suficientes indicaciones de que las situaciones pedagógicas auténticamente creadoras encuentran motivación en sí mismas.
Lejos de nosotros la idea de ir más adelante en una teoría de la motivación, que no tiene lugar en este libro; pero queríamos al menos plantear el problema, ya que la situación social creada por este tipo de aprendizaje matemático es distinta de la ya tradicional. En resumen, los maestros que se dispongan a utilizar este método deben preguntarse si realmente están dispuestos a aceptar la nueva situación social que implica. Para una tarea efectiva, resulta esencial una actitud totalmente desprovista de dogmatismo, así como simpatía y cordialidad hacia los alumnos y hasta una actitud de humildad ante la apertura de las facultades de reflexión de éstos.
Tales actitudes no se adquieren en un día y sé muy bien que el elemento humano puede convertirse en un factor limitativo fundamental. Un maestro ligado indisolublemente a la enseñanza magistral de tipo autoritario y dogmático, encuadrada en una pedagogía de tipo tradicional, no encontrará en este libro nada que pueda servirle. Por el contrario, esta lectura estimulará más todavía a ese maestro lleno de
simpatía hacia el niño, que actúa en vista de ella y no por el poder y la autoridad que ejerce sobre el alumno. Este tipo de maestro no tiene dificultad alguna en comprender que si un niño comete un error, es preferible sugerirle otro ejercicio que haga al propio alumno apercibirse de su equivocación, que limitarse a subrayárselo con lápiz rojo. No se sentirá rebajado por comparar los méritos de sus métodos con los de los propios alumnos y comprobará que la mecanización de un proceso no es siempre la mejor manera de hacer aprender su más eficaz ejecución.
En resumen, aprenderá rápidamente y de cien modos distintos, a llevar a los niños hacia situaciones que favorezcan la creación de ideas, en las que cada uno tiene una función que cumplir. Y por supuesto que la función del maestro no es, en modo alguno, la de menor importancia.
Bibliografía del final del libro
(1) Piaget, J. (y otros), L'enseignement des mathématiques (Neuchâtel y París, Delachaux & Niestlé, 1955).
(2) Piaget, J., La genèse du nombre chez l'enfant (Neuchâtel, 1941).
(3) Hadamard, J., An essay on the psychology of invention in the mathematical field (Nueva York, 1945).
(4) Waisman, F., Introduction to mathematical thinking, the formation of concepts in modern mathematics (Londres, 1951).
(5) Wertheimer, M., Productive thinking (Nueva York, 1945).
(6) Rokeach, M., A study in religious and political dogmatism (Psychological Monographs, Nueva York, 1956).
(7) Adorno, T. W. (y otros), The authoritarian personality (Nueva York, 1950).
(8) Bruner, J. S. (y otros), A study of thinking (Nueva York, 1956).
(9) Bartlett, Sir Frederick, Thinking (Londres, 1958).
(10) Dienes, Z. P., Concept formation and personality (Leicester, 1959).
(11) Dienes, Z. P., On the growth of mathematical concepts in children through experience (en Educational Research, vol. II, nº 1, noviembre 1959).
(12) Gattegno, C., Servais, W., Castelnuovo, E., Nicolet, J. L., Fletcher, T. J., Motard, L., Campedelli, L., Biguenet, A., Peskett, J. W. y Puig Adam, P., Le matériel pour l'enseignement des mathématiques (Neuchâtel y París, 1958).
(13) Stern, C., Children discover arithmetic (Londres, 1953).
(14) Gattegno, C. y Cuisenaire, G., Numbers in colour (Londres, 1954).
(15) Dienes, Z. P., Introduction to the use of the multibase arithmetic blocks (M. A. B.) y Introduction to the use of the algebraic experience material (A. E. M.). (National Foundation, 79 Wimpole Street, Londres W. I, 1959.)
Reseñas bibliográficas complementarias para los lectores de lengua francesa:
(16) Dienes, Z, P., La mathématique moderne dans l'enseignement élémentaire (París, 1964).
(17) Dienes, Z, P., Comprendre la mathématique (París, 1965).
(18) Dienes, Z. P., Les premiers pas en mathématique (en preparación).
(19) Revuz, A., Mathématiques moderne, mathématique vivante
(20) Goutard, M., Les mathématiques et les enfants (Neuchâtel y París, 1963).
(21) Dupont, E., Apprentissage mathématique, 1 (París, 1965).
(22) Revuz, A. y G., Le cours de l'A.P.M. (3 vol.) (París, 1962, 1963, 1965).
(23) Papy, G., Géométrie affine plane et nombres réels (Bruselas, 1962).
Initiation aux espaces vectoriels (Bruselas, 1963). Groupoïdes (Bruselas y Paris, 1965)
(24) Papy, G. y F., Mathématique moderne, I (Bruselas y París, 1963).
(25) Bulletin de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseigne ment public (París, 5 números por año).
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA
Bruner, J. S., The process of education (Harvard, 1960).
Churchill, Eileen, Counting and measuring in the infant school (Londres, 1961).
Dienes, Z. P., The power of mathematics (Londres, 1963).
Dienes, Z. P., An experimental study of mathematics-learning (Londres, 1963).
Dienes, Z. P. "On abstraction and generalization" (Harvard Educational Review, vol. 31, nº 3, verano, 1961).
Dienes, Z. P., "On the learning of mathematics" (The Arithmetic Teacher, marzo, 1963).
Dienes, Z. P., Mathematics in the Primary school (Melburne, 1964).
Hale, T. y McRoy, E., "UICSM's decade of experimentation" (The Mathematics Teacher, LIV, diciembre 1961).
Hendrix, Gertrude, "Learning by discovery" (The Mathematics Teacher, LIV, mayo, 1961).
Rasmussen, D. y L., "The Miquon mathematic program" (The Arithmetic Teacher, abril, 1962).
Sealey, L. y Gibbon, V., Communications and learning (Oxford, 1963).
Skemp, R., "The teaching of mathematical concepts" (Mathematics Teaching, núm. 20, otoño, 1962); "Schematic and rote learning", núm. 21 (Invierno, 1962); "Sensorimotor intelligence and reflective intelligence", núm. 22 (Primavera, 1963).
Skemp, R., Understanding mathematics (Londres, 1964).
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Tomado de Dienes, Z. P. (1970). La construcción de las matemáticas. Barcelona: Vicens-Vives.
Hemos terminado de publicar el capítulo 2 de La construcción de las matemáticas de Zoltan Dienes y su lectura nos permite comentarles nuestras primeras inmediatas reflexiones.
►Recordando a Miguel de Unamuno surge la primera reflexión.
"Cuando alguno trata de agitar aisladamente este o aquel problema, una u otra cuestión, se lo atribuyen o a negocio o a afán de notoriedad y ansia de singularizarse... Se preguntan los esclavos: ¿qué irá buscando en eso? ¿a qué aspira? Unas veces creen y dicen que lo hace para que le tapen la boca con oro; otras que es por ruines sentimientos y bajas pasiones de vengativo o envidioso; otras que lo hace no más sino por meter ruido y que de él se hable, por vanagloria; otras que lo hace por divertirse y pasar el tiempo, por deporte.
¡Lástima grande que a tan pocos les dé por deportes semejantes!"
►Segunda reflexión.
Recordando a Antonio Machado(mutatis mutandis):
Lo primero, en educación, es hacer las cosas bien.
Lo segundo no hacerlas.
Lo tercero y último, realmente abominable, es hacerlas mal.
►Tercera reflexión.
Recordando a Alfred North Whitehead
"Cultura es actividad del pensamiento, y receptividad a la belleza y sentimientos humanos. Los fragmentos de información no tienen nada que ver con ella. Un hombre simplemente bien informado es lo mas fastidioso e inútil que hay sobre la tierra. Lo que debemos tratar de producir es hombres que posean al mismo tiempo cultura y un conocimiento experto en determinada especialidad".
►Y recordando a nuestro gran amigo el filósofo Jaime Barylko, surge nuestra cuarta reflexión.
"Hay que tener valor, fundamentalmente, cuando lo que está en juego no son los valores de la bolsa, ni cosas, ni elementos que se adquieren con tarjetas de crédito, sino las relaciones humanas.
Allí, en las relaciones humanas están los valores superiores, y ahí, justamente ahí, es donde a menudo flaqueamos y carecemos de valor para apostar. Porque ya no se apuestan monedas ni cheques ni pedazos de oro, sino pedazos de uno mismo".
Impreso en España . Editado por Editorial Vicens-Vives. Av. de Sarriá, 132- Barcelona-17.
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