Dios creó los números enteros.
Todo lo demás es obra del hombre.
KRONECKER
🔷 Observar y compararUna piedra,
dos casas,
tres ruinas,
cuatro sepultureros,
un jardín,
flores,
un mapache...
J. PRÉVERT
Una observación, por elemental que sea, por primitivo que sea el que a ella se entrega, tiene automáticamente como consecuencia una comparación. Incluso los animales son capaces de reconocer el parecido que existe entre dos árboles o entre dos ríos. Todos los objetos que nos rodean son de esta manera catalogados en unas categorías bastante vagas. Se trata del primer acto de la ciencia, que consiste en formar una especie de catálogo, realizando un uso sistemático de la comparación.
Un pastor (ejemplo clásico, si los hay, pero ¿por qué los pastores sólo habrían de servir a los poetas?) conoce bien sus ovejas. La costumbre de verlas le permite, si algunas han huido, darse cuenta de ello inmediatamente. La impresión global que le produce el rebaño ya no es la mis ma. Si otro pastor pasa cerca de él, puede incluso decir cuál de los dos rebaños es el más importante.
Una comparación entre dos colecciones de objetos (o de seres) que se parecen mucho entre sí es muy fácil, si una sola ojeada permite evaluar a la vez las dos colecciones. Lo que es más difícil, por el contrario, y que requiere un verdadero espíritu científico, es la comparación de colecciones de objetos de naturaleza distinta. La sabiduría de las naciones nos enseña que, en efecto, no se pueden mezclar «trapos con toallas» o que no se añaden «coles a zanahorias», pero ello no impide decir que cierto montón de coles contenga un número mayor, menor o igual de coles que el número de zanahorias que se halla en un montón de zanahorias. Basta para comprobarlo el disponer las coles en una línea, las zanahorias en otra línea, tratando de poner cada una de éstas frente a cada una de las otras. Se observa perfectamente si quedan o no lugares vacíos en una u otra línea y puede sacarse la conclusión correspondiente. Por otra parte, la conclusión puede presentar un carácter sorprendente si, por ejemplo, se da el caso de que tengamos que decir que el montón de zanahorias es más «importante» que el montón de coles, siendo así que éste es más «voluminoso» que aquél.
Por lo tanto, la importancia de una colección es una noción delicada y paradójica; el ojo no puede ser un instrumento de medida suficientemente preciso. Incluso en el caso de colecciones de objetos todos ellos idénticos, la confianza que ponemos ya en la vista es arriesgada. Son conocidas la famosas ilusiones de óptica que conducen a impresiones engañosas.
Una de las más famosas es la comparación de dos colecciones de puntos separados regularmente uno de otro un milímetro por ejemplo, y que llenan, respectivamente, un círculo de tres centímetros de diámetro, y la corona circular que rodea a este círculo y que está comprendida entre dos circunferencias de cuatro y cinco centímetros de diámetro. Hay tantos puntos en una colección como en la otra.
Estas dos colecciones de puntos espaciados
regularmente en un milímetro son iguales.
🔷 Comparar y contar
Así, pues, los primeros hombres que reflexionaron acerca de estas cuestiones, tropezaron con grandes dificultades. Para comprender cómo llegaron a vencerlas, vamos a tomar un ejemplo muy simple.
Con objeto de evitar que una sala de teatro se vea invadida por un número de espectadores mayor que el que ella puede contener, su director procura, en el momento de abrir sus puertas, disponer de un plano. En éste hay tan tas casillas como butacas en el interior. Cada vez que deja entrar un espectador, tacha una casilla, y aunque fuese tan ignorante que no supiera contar hasta ciento, este método sencillo le impedirá seguramente que deje entrar una sola persona de más en la sala. Esta operación elemental, aplicada dos veces (tantas butacas como casillas, tantas casillas como espectadores admitidos en el interior) e incluso una tercera (tantas entradas como espectadores), se denomina correspondencia biunívoca, es decir, unívoca en los dos sentidos, lo que los ingleses expresan muy bien con la locución one-to-one (uno a uno).
¿Que estamos lejos de nuestros problemas de comparación, dice usted? En modo alguno. En efecto: imaginemos un pastor que desea, cada noche, saber si su rebaño ha variado de volumen. Debe tener un montón de guijarros y dos buenos recipientes. Cuando hace desfilar su rebaño por delante de él en fila «india», le basta con hacer pasar un guijarro de la caja A a la caja B, por cada animal que pasa por delante de él. Al día siguiente, la operación inversa le ofrece en seguida la información deseada. Es lo mismo que acabamos de observar en el caso de nuestro director de teatro. Basta con tener una señal cómoda (unas muescas en un bastón para el panadero rural, unos guijarros para el pastor, entradas de teatro para la taquillera, análogas en cierto modo a las bolitas de miga de pan que sobre el camino que recorría iba sembrando Pulgarcito), para poder evaluar la importancia de un rebaño cualquiera. Por otra parte, poco importa si el conjunto contiene ovejas, carneros o vacas. A cada individuo, sea cual fuere su naturaleza, se le hace corresponder, mediante el pensamiento, un guijarro. Paseando con muchos guijarros, uno puede medir cualquier rebaño, y esto es ya contar.
Como consecuencia de algunos de estos ejercicios, que ciertamente fueron durante mucho tiempo el único medio para evaluar unas colecciones tan diversas como animales, miembros de una tribu o trofeos de caza, la gente se dio cuenta de que resultaban muy incómodos: los guijarros pesan demasiado... Incluso en el caso de que este procedimiento fuera perfeccionado empleando señales trazadas en el hollín del interior de las cavernas, esta correspondencia de uno a uno no sería del todo cómoda. A medida que iba progresando la evolución de la mente humana, que cada vez puede llegar a un mayor grado de abstracción, se formaba la idea de una serie de guijarros «ideal».
Vamos a construir una de ellas con la fábula de El Cuervo y la Zorra: el cuervo, en la rama de un árbol, tenía un queso en el pico, la zorra, atraída por la fragancia...
En lugar de depositar un guijarro cada vez que pasa por delante de nosotros una oveja, podemos pronunciar una palabra de la fábula y retener la última palabra en la cual nos hemos detenido. Para evaluar los días de la semana, terminaríamos nuestra enumeración en la palabra «un», para los dedos de una mano, en la palabra «rama», etc. La última palabra simboliza la importancia de la colección que estamos investigando, y esto también es contar.
Evidentemente, habrán reconocido ustedes en ello la enumeración habitual que enseñamos a los niños; en lugar del cuervo y la zorra, nos servimos de la serie «uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce, trece, catorce, quince, dieciséis...», palabras que no quieren decir nada, y que en realidad son una lista de palabras arbitrarias. Para contar los elementos de un conjunto, a medida que los examinamos uno a uno, no hacemos sino recitar esta letanía. Es exactamente el proceso indica do con nuestra fábula. Los guijarros testigos se han con vertido en simples símbolos abstractos.
Diremos, pues, que «siete» es el número* de elementos de un conjunto si, agotando éstos uno tras otro, nos detenemos en «siete» en nuestra numeración. De la misma manera que las palabras «Napoleón» o «Austerlitz» representan algo, llamaremos número a ese objeto abstracto que lleva como patronímico una de las palabras de nuestra serie. Su naturaleza es difícil de definir exactamente. Podemos decir que el número que lleva el nombre tres (o, por elipsis (1) elipse, el número «tres») es lo que hay de común entre una familia compuesta de padre, madre e hijo, las Gracias de la Mitología, la Trinidad cristiana, los Mosqueteros de Alejandro Dumas (¡ antes de D'Artagnan !), los electrones del litio, etc. Poco importa que se le llame «tres», «<trois» ,«drei», «three», sigue siendo siempre la misma idea. En este capítulo no distinguiremos entre las palabras: número, número entero, o, mejor, entero; «tres» es un entero. (El adjetivo «entero» quizá causará sorpresa, pero todo se aclarará cuando consideremos las fracciones que representan, como indica su nombre, pedazos de los números uno, dos, tres...)
(1) elipsis -(lat. ellipsis < gr. elleipsis =falta). Omisión en la frase de una o varias palabras cuyo sentido puede sobreentenderse.
🔷 Contar y nombrar
Nuestro sistema es perfecto, con tal de que no sobrepasemos, por ejemplo, la importancia de una sala de clase. Tan pronto como el hombre pudo concebir conjuntos más vastos, fue imposible dar un nombre especial a cada número (¡ imaginad lo que deberíamos saber de memoria, para expresar el precio de venta de un simple 2 CV Citroën !).
Además, un verdadero objeto de escándalo es el que plantea un problema espantoso: si sabemos construir un conjunto de «n» elementos, como sabemos que no hay nada más sencillo que añadir un objeto suplementario a una colección, obtendremos en seguida un conjunto de «n + I » elementos. Esto quiere decir que, por muy grande que sea un número, siempre existirá otro que le seguirá inmediatamente; la sucesión de los enteros no tiene fin, lo cual se expresa también con la frase: «Hay una infinidad de números enteros». En tales condiciones, es imposible construir una lista que permita dar un nombre a cada número. Estamos, pues, obligados a adoptar una solución de la misma clase que la de algunas tribus salvajes que solamente tienen tres números: uno, dos y ... «muchos». Su aritmética es forzosamente muy sencilla; anticipando las notaciones claras, 1, 2, y M (inicial de «muchos»), tenemos:
1 + 1 = 2, 1 + 2 = M, 1 + M = M, 2 + M = M, M + M = M
y
1 x 1 = 1, 1 x 2 = 2, 1 x M = M, 2 x M = M, M x M = M.
Los alumnos de esos países tienen fácil tarea, pero ésta puede llevar lejos, y de ello nos ofrecerán una prueba los resultados paradójicos del capítulo dedicado al infinito. Así, no existe ningún medio que permita nombrar, numerar todos los números, ya sea por la voz, ya sea por la escritura. No insistiremos en las notaciones abreviadas conocidas, 1, 2, 3... que permiten no escribir los números con todas sus letras. De momento, no son para nosotros más que simples signos tipográficos, taquigrafía, por decirlo así. Y sin embargo... la historia del procedimiento genial que permitió superar esta dificultad es apasionante. [...]
[...] Léxico
NUMERACIÓN.
Técnica de revestir los números con una envoltura visual (como 327) o auditiva (trescientos veintisiete) que vuelve automática la atribución de un nombre y de un símbolo a cada número entero.
Tomado de Warusfel, A. (1968). Los números y sus misterios. Barcelona: Ediciones Martínez Roca.
🔷Ejercicio para pensar
Lee analiza y compara:
Vamos a inventar los números. Gianni Rodari
- ¿Por qué no inventamos los números?
- Bueno, empiezo yo. Casi uno, casi dos, casi tres, casi cuatro, casi cinco, casi seis.
- Es demasiado poco. Escucha estos: un remillón de billonazos, un ochete de milenios, un maravillar y un maramillón.
- Yo entonces me inventaré una tabla.
tres por uno, concierto gatuno,
tres por dos, peras con arroz
tres por tres, salta al revés
tres por cuatro, vamos al teatro
tres por cinco, pega un brinco
tres por seis, no me toquéis
tres por siete, quiero un juguete
tres por ocho, nata con bizcocho
tres por nueve, hoy no llueve
tres por diez, lávate los pies.
- ¿Cuánto vale este pastel?
- Dos tirones de orejas.
- ¿Cuánto hay de aquí a Milán?
- Mil kilómetros nuevos, un kilómetro usado y siete bombones.
- ¿Cuánto pesa una lágrima?
- Depende: la lágrima de un niño caprichoso pesa menos que el viento, y la de un niño hambriento pesa más que toda la tierra.
- ¿Cuánto mide este cuento?
- Demasiado.
- Entonces inventémonos rápidamente otros números para terminar. Los digo yo, a la manera de Modena: unchi, doschi, treschi, cuara cuatrischi, mi mirinchi, uno son dos.
Yo entonces voy a decirlos a la manera de Roma: unci, dusci, trisci, cuale cualinci, mele melinci, rife rafe y diez.
Cuentos por teléfono. Gianni Rodari.
Encontrado en: http://files.elcuentoavilista.webnode.com.
Encontrado en: http://files.elcuentoavilista.webnode.com.
Comentarios
Publicar un comentario