Contar bien es lo que cuenta, que contar cualquiera cuenta

Mercader indio sacando sus cuentas en Ajmer. El Correo de la Unesco, noviembre de 1993

Contar bien es lo que cuenta...

Alfredo R. Palacios

Laura A. Etcheverry

🔷El poder del pensamiento matemático

El proceso formativo debería comenzar por instrumentar al alumno en el arte del pensamiento claro.Pensar bien lleva a ahondar en la realidad,  lo cual es indispensable para llegar a comprender el mundo formando una cosmovisión. El aprendizaje matemático, sin duda una valiosa herramienta para educar el pensamiento, es instrumento privilegiado para penetrar en los secretos de lo real. San Agustín lo expresó así: "Mira el cielo y la tierra y el mar y cuantas cosas hay en ellos, ya brillen en lo alto o se arrastren, naden o vuelen acá abajo. Todo está investido de forma porque todo tiene números. Suprime éstos y los seres se convierten en nada..."

En sus estudios sobre el conocer, Piaget llega a la conclusión de que los conocimientos no proceden de las solas sensaciones, sino que hay que añadir a esto lo adquirido mediante las acciones. Conocer es transformar.

La experiencia lógico-matemática consiste en actuar sobre los objetos pero abstrayendo conocimiento a partir de la acción realizada, no a partir de los objetos mismos. El sujeto puede prescindir de los objetos físicos cuando ha interiorizado aquellas actividades llegando al manejo simbólico. Es un proceso que enlaza concepto y acción.

Dicen C. Freinet y M. Beaugrand en La enseñanza del cálculo, Barcelona, Laia, 1973:

"Hay contar y contar, como hay leer y leer. No denominamos leer al hecho de descifrar, es decir de reproducir un sonido que corresponda al signo indicado. Esto se trata de un vulgar condicionamiento que tiene éxito con ciertos animales y que puede tener sus ventajas técnicas y sociales. Si bien no es de por sí un elemento de cultura y progreso, puede ser, en cambio, el principio de un envilecimiento y de un embrutecimiento del individuo.

Leer es, ante todo, comprender el significado de los signos escritos, sean cuales fueren los procesos de reconocimiento. Hay niños que logran leer de una manera casi perfecta sin por eso haber llegado a dominar todos los mecanismos de los elementos silábicos. Pero lo contrario no es verdad: dominar a la perfección los elementos silábicos no significa poder lograr una buena lectura. La adquisición mecánica es insuficiente si no existe comprensión inteligente."

Lo mismo sucede con el cálculo o con el proceso de contar. Las palabras numéricas son algunas de las muchas cosas que el niño pequeño utiliza por imitación de los adultos entre los que vive. "Cuenta" y "suma" mucho antes de haber logrado entender las abstracciones con las que está tratando. Traduce signos o cuenta de manera automática pero no existe comprensión inteligente. La adquisición de mecanismos no predispone en absoluto a la comprensión del cálculo. Es a la inversa: la cultura en la disciplina favorece en cambio el aprendizaje de técnicas cuya necesidad ha hecho sentir. En este terreno, como en muchos otros sin duda, no se asciende desde los mecanismos hacia la cultura; se desciende desde la cultura hacia los mecanismos.

Por eso afirmamos que lo que cuenta es hacerse preguntas.

Tan importante como dar respuestas es ayudar a formular preguntas. ¿Qué es lo prenumérico? ¿Cuáles son los componentes matemáticos previos al número? Esta pregunta lleva vertiginosamente a esta otra: ¿Qué es un número? Sin respuesta a esta última, no hay respuesta para la primera. Luego llegan, asaltándonos, las siguientes: ¿Por qué es la clasificación una de las relaciones prenuméricas? ¿Por qué la llamada correspondencia biunívoca? ¿Cuántas condiciones exige esta correspondencia término a término? ¿Tienen que ver los conjuntos con los números? ¿Por qué el enfoque conjuntista? ¿Qué significa realmente la operación de contar? ¿Es necesario el orden matemático para poder contar? Si no tenemos respuestas ajustadas para cada una de estas preguntas, no podremos aceptar el desafío, que es tan grande como su objetivo: la actividad matemática en los primeros años reviste el carácter de fundamento. Es en este período cuando el niño comienza a desarrollar hábitos de pensamiento y sobre todo la afición y el placer por emplearlos. No temamos que es ta construcción del número pueda ser calificada de lenta. El temor debiera asaltarnos frente a la comprobada ineficacia de la enseñanza tradicional con su ostentosa repetición memorística de palabras que generalmente no tienen asidero alguno para el niño.Reivindicamos la necesidad de "perder" todo el tiempo que sea necesario si se trata de la formación integral de nuestros niños. Si la construcción genuina del número representa el fundamento del futuro aprendizaje matemático, será preciso invertir en ella todo el tiempo que sea necesario. El proceso de la educación matemática del niño debe ser un reto a la inteligencia y a la creatividad, no un fastidioso y estéril desafío a la memoria.

Leamos a Juan J. Rousseau, en sus consideraciones sobre el tema:

"Nunca llegué tan lejos como para comprender adecuadamente las aplicaciones del álgebra en geometría. No me gustaba esa forma de trabajar en la que no sabía lo que estaba haciendo; me pareció que resolver un problema geométrico por medio de ecuaciones era como tocar una canción girando simplemente la manivela del organillo.

He dicho que la geometría (deductiva euclídea) está más allá de la capacidad de los niños, pero eso es por culpa nuestra (...). En lugar de enseñarnos a hallar demostraciones, se nos dictan; en lugar de enseñar al alumno a razonar, el maestro razona por él y se dedica sólo a ejercitar su propia memoria." David Wells. (2000). El curioso mundo de las matemáticas. Barcelona:Gedisa .

🔷La magia de la palabra

El ser humano es hablante, se comunica por la palabra. Con la palabra cuenta (numera) y también con la palabra cuenta (dice, narra). Habla para que otros lo escuchen, necesita expresar su pensamiento. Así como la palabra no puede vivir fuera del grupo humano, tampoco hay comunidad humana desnuda de lenguaje. Los animales se comunican entre sí, pero en ellos el lenguaje no está ensamblado con la razón.

Para comprender plenamente lo que significa pensar, es necesario recordar el significado de la palabra "sentido". Cuando comprendemos el sentido de algo, reconocemos una luz, una fuerza interna, una energía esencial que determina la realidad, aclarándola. Por la vía del pensamiento estamos descubriendo lo que cada cosa es, aquello por lo cual es esto y no otra cosa; aprehendemos su sentido, aquello que hace de cada individuo algo especial. Hay un camino que va desde la apariencia al sentido. Lo transitamos para conocer la realidad que nos rodea. Debemos salir de nosotros mismos para captar ese núcleo luminoso que es el ser de las cosas.

La racionalidad del hombre se proyecta en su lenguaje, que es simbólico porque no muere en la materialidad del sonido, sino que apunta a un sentido, a un significado, mucho más allá del mismo signo. Toda educación se vehicula a través del lenguaje; la palabra vertebra el proceso educativo. La cultura no se hereda, se transmite; la aprehendemos por medio del lenguaje. Con la palabra el hombre aprehende también el mundo y se apropia de él, lo recrea re presentándolo.

Siempre está presente el poder de la palabra, sostenida por el entendimiento. Ya en Grecia, hace 25 siglos, la razón era denominada logos o discurso. "Yo entiendo" marca la relación entre palabra y pensamiento. El ser humano, en quien se conjugan pensamiento y acción, se expresa por la palabra. Hay palabras porque entendemos. No podría haber lenguaje sin razón. El lenguaje se imbrica en lo más profundo de nuestra humanidad.

🔷La duda metódica

Una reforma educativa deberá tender a reforzar la capacidad de interrogación como plataforma de base para el progreso del conocimiento, vinculando el conocer a la duda. El ser humano es el único que puede tomar conciencia de su no-saber, puede saber que no sabe, a diferencia del animal que ni siquiera llega a plantear se duda alguna acerca de ello. Sócrates ya lo proclamaba: lo específico del hombre es saber que no sabe en un sabio no-saber. Es la docta ignorancia de la que hablarán más tarde Nicolás de Cusa y San Agustín. Las preguntas que nos hacemos y nos llevan a progresar en nuestros conocimientos no provienen de las cosas mismas, sino que surgen de ese "sé que ignoro" tan humano.

El camino educativo es un movimiento natural pues la educación desenvuelve desde el interior de cada hombre las fuerzas en potencia, sus disposiciones latentes. Una cabeza bien formada tratará de establecer relaciones integrando los saberes particulares a un contexto global y a la propia vida. El conocimiento progresa tanto por abstracción como por la capacidad de contextualizar, de integrar, de relacionar.

La filosofía juega aquí un papel decisivo. Hablamos de filosofía no como una disciplina más sino como el poder de reflexión aplicable a los grandes problemas, al conocimiento, a la condición humana. 

Vivimos en un mundo en el que la incomprensión se ha enseñoreado en todos los ámbitos, con su poder disgregante. Sólo la fuerza de integración que tiene el pensamiento reflexivo y la eficacia comunicadora de la palabra pueden ayudarnos a luchar contra la amenaza de la incomunicación, de la cual devienen los graves problemas sociales fundados en el desprecio, el odio, la discriminación, la violencia.

Los intentos de reforma educativa, por bienintencionados que fueren, han girado siempre en torno de un vacío que atañe a la necesidad profunda de una reforma del pensamiento. Una reforma no programática, sino que se remita a la aptitud humana para organizar el conocimiento. Una reforma que permita al conocimiento elevarse sobre su propia semilla formando la copa ramificada de un árbol, no la reunión inconexa de unos cuantos saberes extraños entre sí, como las lenguas de una Babel.

La educación del pensamiento resulta incomprensible para quienes no alcanzan a ver el enorme desafío de la complejidad del mundo actual.

Aprender a integrar los saberes, entendiendo que mezclar no es lo mismo que integrar, desarrollar conductas que nos lleven a operar mejor con nuestra inteligencia, enseñar a relacionar —no a separar— lo que forma el tejido de la cultura de la humanidad: he ahí el desafío enfrentamos. 

🔷Aprender a elegir lo más conveniente dentro del marco legal

Realizar una elección correcta implica siempre comportarse libre y responsablemente. 

Elegir lo que conviene dentro del marco de lo permitido exige sopesar, medir, reflexionar, dejar de lado conductas caprichosas, jugar respetando las reglas del juego.

Actuar libremente representa un esfuerzo porque el libre albedrío tiene como componentes esenciales la voluntad y la responsabilidad. Voluntad para mantenerse en el camino elegido y responsabilidad para hacerse cargo de las consecuencias de esa elección. No es una senda fácil, sino más bien escarpada y de dura subida, pero asegura logros importantes al llegar a la meta. 

Rechazar ese camino por difícil redundaría en un obrar sin motivación interior, cumpliendo sin pensar reglas externas a las cuales se está sometido. Ésa es una posición mucho más cómoda: no se pone en juego el sentido de responsabilidad, no está presente en la conciencia "tener que hacerse cargo de"; la voluntad, maravilloso poder del espíritu humano, se ha anulado. 

Pero... ¿acaso no se es esclavo obedeciendo sólo a reglas externas? ¿Cuánto tiempo se puede soportar esa presión sin intentar recuperar la libertad? 

Tratemos de hacer una analogía trasladándonos al campo de la educación. 

Cuando el ser humano que se educa es consciente de que está obrando voluntariamente en pos de su propio progreso personal, quiere aprender y trabaja para conseguirlo. Elegirá entonces lo que le sea más conveniente dentro del marco legal. En cada acto de elección deberá jugarse: al aceptar una posibilidad, estará rechazando otras. Se encontrará haciendo uso pleno de su libertad.

El caso contrario muestra una situación muy diferente.

Sin un compromiso personal, sin posibilidad de elegir libre y responsable mente, sin el fuego de la motivación interior, el acto educativo no encuentra lugar. Se tratará entonces de cubrir las apariencias, haciendo lo posible para "cumplir", sin preguntar los porqués, repitiendo de memoria fórmulas ciegas que ayuden a superar la situación de la manera menos dolorosa. ¿No es ésta una de las formas de la hipocresía?

Sólo quienes puedan actuar según su libre arbitrio, conocedores de las normas que deben respetar y haciéndose cargo de sus propias acciones, podrán vivir el proceso educativo en profundidad.

La formación de toda persona debería tener como un objetivo importante enseñarle a adaptarse justamente a la realidad, a ser justo en la plenitud de lo que ese término significa. Quien sabe descubrir el sentido liberador que conlleva  la obediencia a las leyes, cuando éstas son fecundas y valiosas para la vida en comunidad, está preparado para superar la falsa contradicción que con frecuencia se quiere establecer entre libertad y norma.

🔷La voz del poeta

Paroles, Paris, Gallimard, 1977.

EL NÚMERO Y SUS CLASES

José Otero Espasandín

 

🔷¿Qué es el número?

La vida mental del hombre culto está de tal modo entretejida con la noción de número que cuando los hombres se preguntaron por primera vez qué es número, qué es lo que distingue dicha noción de otras afines, se ha visto cuán difícil resulta salir del aprieto, tanto que, hoy por hoy, no existe una definición satisfactoria de lo que sea número en general. Podemos decir en ciertos casos si el número de cosas u objetos de una colección o conjunto es igual, mayor o menor que el número de cosas de otro con junto, y si un número es suma, diferencia, producto o cociente de otros dos, etc., pero decir lo que es número en sí y en general es tarea en que se hallan enzarzados matemáticos, filósofos, psicólogos... 

Y es que, como dice Bertrand Russell, así como las cosas resultan difíciles de ver tanto por demasiado cercanas como por demasiado lejanas, así ciertas nociones son difíciles de comprender tanto por demasiado simples como por demasiado complejas, y la noción de número se halla en este caso: es demasiado simple, o al menos nos lo parece.

  

La noción de número puede derivarse de dos tipos fundamentales de experiencias; uno se refiere al orden en que las cosas se consideran o se suceden, a los casos en que interesa el puesto que una cosa u objeto dado ocupa con relación a los demás. Por ejemplo, con relación a los participantes en una carrera o prueba deportiva en general, el interés está polarizado por el orden en que los participantes en ella llegan a la meta. En cambio en el otro tipo de experiencias lo fundamental es la cuantía, la numerosidad, el total de dichas cosas, con indiferencia de otra consideración. Nacen así la noción de número ordinal y la de número cardinal. Según Cantor esta última nace en cuanto nuestra mente hace caso omiso o se abstrae del orden y naturaleza de los elementos de un conjunto. Cuando decimos que nuestra mano tiene 5 dedos no pensamos ni en el tamaño particular de cada uno, ni en el número de sus falanges, ni en su grosor, ni en cualquier otra particularidad, sino que nos referimos a un algo que se halla al margen de todas estas consideraciones y es común a los conjuntos de dedos de todas las manos normales.

Esta noción de número cardinal se apoya en la noción de equivalencia, semejanza o coordinabilidad de conjuntos.

Dos conjuntos H  y J dícense equivalentes, semejantes o coordinables si entre sus respectivos elementos se puede establecer una correspondencia o apareamiento tal que a todo elemento del H corresponda o venga asociado un elemento, y uno solo, del J, y, viceversa, a todo elemento de este último corresponda un elemento, y uno solo, del primero.

  

El conjunto de las sillas y el de los comensales de un banquete son equivalentes, semejantes o coordinables, puesto que para cada comensal hay una silla, y una sola, y para cada silla un solo comensal. Del mismo modo el conjunto de los dedos de mi mano derecha es equivalente al de los dedos de mi mano izquierda.

De esta definición de equivalencia (semejanza o coordinabilidad) se deduce que todo conjunto es equivalente a sí mismo; que si un conjunto H es equivalente a otro J, el segundo es equivalente al primero, y, finalmente, que si un conjunto H es equivalente a otro J, y el J es equivalente a un conjunto K, el primero H es equivalente al tercero K. 

   

Una interrogante que se presenta con relación a la equivalencia de conjuntos es la de si el modo de asociación o apareamiento de los elementos de uno y otro puede hacer que dos conjuntos no equivalentes para un cierto modo de asociación lleguen a serlo si sus elementos se aparean en otra forma, o de si siendo equivalentes pueden dejar de serlo al cambiar el orden de asociación de los elementos respectivos.

Desde luego esta cuestión no puede ser dilucidada por métodos experimentales o empíricos, salvo para conjuntos de muy escaso número de elementos. 

Sin embargo al dueño de un restaurante no le cabe la menor duda de que, sea cual fuere el orden en que los comensales decidan sentarse, el número de sillas y de platos no necesita ser aumentado ni  disminuído. Así pues, todos damos por cierto que si dos o más conjuntos son equivalentes para una cierta correspondencia de sus elementos lo son para todas las correspondencias posibles, sea cual fuere el número de elementos de que estén formados, y si no son equivalentes para una dada asociación de sus elementos es inútil que ensayemos otras, pues siempre llegaríamos al mismo resultado. Por ello en la definición de Cantor del número cardinal se prescinde del orden de los elementos y de su naturaleza particular.

La noción de equivalencia de conjuntos y otras igualmente sencillas llevaron primero a Frege y después a Bertrand Russell a la siguiente definición de número cardinal:

El número cardinal de un conjunto K (o el número de sus elementos) es la clase de todos los conjuntos equivalentes (semejantes o coordinables) con K.

Acaso el lector se extrañe de que se llame número de un conjunto a la clase de todos los conjuntos equivalentes a él, y no se haga referencia a sus elementos, pero la noción de equivalencia lleva implícita la igualdad del número de elementos y, como ha demostrado Russell y otros, esta definición equivale lógicamente a esta otra más sencilla para el principiante:

Dos o más conjuntos tienen igual número de elementos o pertenecen al mismo número si —y solamente si — son equivalentes o coordinables.

La definición de equivalencia y la de número cardinal no suscitan el menor recelo cuando se refieren a cierta clase de conjuntos, entre ellos a los compuestos de elementos materiales. Es muy natural que el número 3 sea lo común a todos los tríos imaginables y hasta que se identifique con la clase de todos los tríos, pues dicha clase es tan única como el número de elementos de cada trío en particular.

🔷La voz del poeta

*"La doctrina de los ciclos", en Historia de la eternidad, Buenos Aires, EMECÉ, 1971, p. 77. 

NÚMEROS PARA CONTAR

Irving Adler

Estamos totalmente familiarizados con las caras de la gente con la que vivimos. Sin embargo, rara vez somos conscientes de los detalles de sus rasgos faciales. Si, cuando miramos una cara que nos es familiar, prestamos atención a sus detalles, tal como una curva de los labios, o una línea de la frente, nos parece que la estamos observando por primera vez. Entonces, observando estas características que nunca hemos advertido, repentinamente tenemos la sensación de que observamos la cara de una persona extraña. Viviremos una experiencia similar con los números familiares de la vida diaria. Cuando utilizamos estos números, aprovechamos ciertas propiedades que éstos poseen. Sin embargo, estamos tan acostumbrados a estas propiedades que, cuando las utilizamos, rara vez nos enteramos de ello. Ahora prestaremos particular atención a estas propiedades y las citaremos en forma explícita. Observando las características familiares de los números ordinarios, veremos la extraña nueva cara que nos presenta la matemática moderna.

Los primeros números que todos aprendemos a utilizar son aquellos que necesitamos para contestar la pregunta: "¿Cuántos?". Son los números 1, 2, 3, 4, 5, etc. Existe una cadena sin fin de estos números. Los utilizamos para contar y efectuamos cálculos con ellos, tales como la adición y la multiplicación. Consideremos más deten damente estas operaciones simples.

🔷 Contar

Supongamos que en la tarde del martes deseamos saber cuántos días faltan para que termine la semana. Es probable que efectuemos la cuenta de esta manera: Mencionaremos los nombres de los días miércoles, jueves, viernes y sábado, y para cada día que mencionemos doblaremos un dedo de nuestra mano derecha. Después de completar la lista de los días, nos encontraremos con que hemos doblado todos los dedos de la mano derecha, salvo el pulgar. Así llegaremos a la conclusión de que aún faltan cuatro días para que termine la semana. Hallamos ocultos en este procedimiento tres conceptos matemáticos importantes: la idea de una aplicación, la idea de una correspondencia biunívoca y la idea de número cardinal. 

Una aplicación es una operación de apareamiento entre dos conjuntos de objetos: se le asigna a cada miembro de un conjunto un miembro del otro conjunto en calidad de homólogo. En este caso los dos conjuntos son: el conjunto de días que se han de contar y el conjunto de dedos de nuestra mano. Efectuamos una aplicación cuando decidimos doblar un dedo determinado por cada día que contamos. La aplicación puede ser resumida en la siguiente tabla:

                                      

Las flechas indican que la aplicación tiene una dirección. Elegimos un dedo para cada día que citamos. No es lo mismo que elegir un día para cada dedo. Para especificar la dirección de la aplicación decimos que es una aplicación del conjunto de días citados en el conjunto de dedos. Hacemos referencia al dedo al cual se aplica un día como su imagen en la aplicación.

Otra aplicación está indicada en el diagrama que figura más adelante. En ésta se aplica un conjunto de nombres de personas en el conjunto de números enteros comprendidos entre 20 y 24, asignando a cada nombre la edad en años de las personas:

Esta aplicación difiere de la otra en un aspecto importante. Los nombres Ricardo y Guillermo están aplicados ambos al mismo número. Éste es un ejemplo de una aplicación de varios a uno, en la cual un único objeto puede ser la imagen de más de un objeto. En la aplicación de los días a dedos, en cambio, no se aplicaron dos días al mismo dedo. Éste es un ejemplo de una aplicación biunívoca en la cual cada

objeto es a lo sumo la imagen de un objeto. 

En la aplicación del conjunto de días a los dedos de la mano derecha, uno de los dedos, el pulgar, no fue utilizado en ningún momento. Por esta razón la aplicación del conjunto de días al conjunto de dedos de la mano derecha no es reversible. Si tratamos de invertirla, hallamos que no existe aplicación del pulgar a un día. Entonces no la consideramos una aplicación, porque una aplicación debe proveer una imagen para cada objeto en el cual la aplicación se ha efectuado. No obstante, si solo consideramos el conjunto de dedos doblados, entonces la aplicación es reversible. Cada día citado tiene un dedo diferente como imagen, y en la aplicación inversa, cada dedo doblado tiene como imagen un día distinto. En este caso decimos que los dos conjuntos están en correspondencia biunívoca. Decimos que dos con juntos están en correspondencia biunívoca cuando existe una aplicación reversible que asigna a cada miembro de uno de ellos uno (y solo uno) homólogo en el otro. El diagrama que se muestra a continuación, que utiliza flechas con dos puntas, indica la correspondencia biunívoca entre el conjunto de días y el conjunto de dedos doblados:

Cuando los elementos de dos conjuntos pueden ser puestos en una correspondencia biunívoca, decimos que esos conjuntos contienen el mismo número de objetos, o que tienen el mismo número cardinal. Es posible establecer correspondencias biunívocas entre todos los conjuntos que tienen el mismo número cardinal. Forman una familia de conjuntos asociados a ese número cardinal. Cada número cardinal tiene su propia familia de conjuntos. Por ejemplo, los conjuntos que constan de un único objeto pertenecen a la familia de conjuntos asociados con el número que llamamos uno. Los conjuntos de pares de objetos pertenecen a la familia de conjuntos asociados con el número que llamamos dos. Los conjuntos de tríos pertenecen a la familia de conjuntos asocia dos con el número que llamamos tres, etc.

Cualquier conjunto que consideremos pertenece a una de esas familias. Cuando formulamos la pregunta: "¿Cuántos objetos hay en el conjunto?", en realidad equivale a preguntar: "¿A cuál familia de conjuntos pertenece?". Para contestar la pregunta seguimos este procedimiento: Escogemos un conjunto de cada familia, y lo utilizamos como un conjunto patrón para efectuar comparaciones.

Comparamos el conjunto en el que estamos interesados con estos conjuntos patrones has ta que encontramos un conjunto con el cual puede ser puesto en correspondencia biunívoca. De esta manera identificamos la familia de conjuntos a la cual pertenece y el número cardinal asociado con esta familia. Esto es precisamente lo que hacemos cuando comparamos días y dedos. Utilizamos el conjunto que consiste solamente en nuestro dedo meñique como un conjunto patrón para representar el número uno. Utilizamos el conjunto que consiste en nuestros dedos meñique y anular como un conjunto patrón para representar el número dos. Utilizamos el conjunto que consiste en nuestros dedos meñique, anular y mayor como un conjunto patrón para representar el número tres. El conjunto que comprende el dedo meñique, el anular, el mayor y el índice es nuestro conjunto patrón que representa el número cuatro. Es por esto por lo que llegamos, en este caso, a la conclusión de que aún faltan cuatro días para que termine la semana.

En otras ocasiones utilizamos un método para contar que es más complicado, pero que esencialmente es el mismo. Contamos cuatro objetos diciéndonos a nosotros mismos: "uno, dos, tres, cuatro ". Cuando contamos, establecemos una correspondencia biunívoca entre los objetos que estamos contando y los conjuntos de nombres de números que mencionamos. El primer objeto es comparado con el conjunto que consiste en la única palabra: "uno". Los primeros dos son comparados con el conjunto que consiste en las palabras: "uno, dos". Los primeros tres son comparados con el conjunto que consiste en las palabras: "uno, dos, tres". Y así sucesivamente. Utilizando los nombres de los números según el orden de magnitud de éstos, podemos continuar aumentando el conjunto patrón paso a paso. Cuando la cuenta termina, sabemos que el último nombre de número utilizado indica el número cardinal del último conjunto patrón con el cual hemos comparado los objetos que estamos contando. Luego, es también el número cardinal de los objetos contados. Utilizando los conjuntos patrones formados por los nombres de los números dispuestos según cierto orden, introducimos una serie completa de operaciones de comparación y finalizamos con la respuesta a la pregunta: "¿Cuántos?" 

🔷La voz del poeta

Las manos del día , Buenos Aires, Losada, 1975, p.49.

🔷Dice Ernesto Sábato en Uno y el Universo:

El pitagorismo, en tanto que arte de cubilete y magia combinatoria, nada tiene que hacer con el pensamiento moderno. La grandeza del pitagorismo reside en algo menos popular pero que permite colocarlo como iniciador de la matemática moderna: el descubrimiento de que el número pertenece a un

universo que no es el universo físico en que vivimos.

Tres pirámides y tres panteras no tienen casi nada de común: aquéllas son inertes, geométricas, no se reproducen, no tienen garras, no son cuadrúpedos ni carnívoros. Y sin embargo, entre ambos grupos hay un núcleo idéntico que queda cuando todos los caracteres físicos han sido descartados: la trinidad de los

dos grupos.

 Los niños no saben razonar con números puros: necesitan sumar manzanas o libros; mucho más tarde, inconscientemente, prescinden de los objetos físicos y calculan con números puros, abstraídos de la realidad física por un largo proceso mental. Es muy probable que en los pueblos primitivos haya pasado algo semejante y es Pitágoras a quien el mundo occidental debe el primer atisbo de este notable hecho: aunque participan en este mundo, los números y las formas geométricas son entes abstractos que pertenecen a una realidad más pura y esencial.

Sin embargo, que para llegar hasta el ente matemático se necesite un proceso mental no significa que sea inventado por la mente: el hombre no inventa el carácter común a un grupo de pirámides y uno de panteras; descubre algo preexistente. El tres y el triángulo existieron antes de aparecer los hombres y

subsistirán, por toda la eternidad, después que estos seres hayan desaparecido del Universo.

Cheops, construida con dura piedra y con el sacrificio de miles de esclavos, es implacablemente derruida por la arena y el viento del desierto; la pirámide matemática que forma su alma, invisible, ingrávida, impalpable, resiste el embate del tiempo; más, todavía, está fuera del tiempo, no tiene origen, no tiene

fin.

Este mundo de los entes matemáticos es un mundo rígido, eterno, invulnerable, un helado Museo de formas petrificadas que nuestro universo físico, en un proceso sin fin y sin eficacia, intenta copiar.

Mucho tiempo después de la muerte de Pitágoras, Platón intentó, con el mito de Pedro, explicar el misterioso acceso del hombre mortal e imperfecto a ese museo de las formas eternas: el espíritu y el apetito son dos caballos alados que arrastran el carro conducido por el alma; todavía no se ha corporizado, todavía tiene algo de los dioses y marcha con ellos hacia el lugar donde residen las

formas puras. Cuando alcanzaba a entrever el resplandor divino de las formas, el alma pierde el gobierno de sus caballos y cae a tierra, donde se encarna y olvida el maravilloso mundo que entrevió. Ahora estará condenado a ver las groseras encarnaciones de las formas puras que constituyen este universo cotidiano,

fluyente y contradictorio. Su inteligencia es quizá un resto de su confraternidad con los dioses; las ciencias exactas del peso, del cálculo y de la medida, le advierten en un arduo proceso que este mundo fluyente es quizá una ilusión y que por detrás del árbol que tímidamente crece y muere, de los hombres que luchan y de las civilizaciones que aparecen y desaparecen, hay un mundo rígido donde imperan el Número y las Formas Eternas.

Bajo el cielo de Calabria, ayudado por la Música, la Aritmética y la Geometría, fue el poderoso cerebro de Pitágoras el primero que tuvo la intuición de este topos uranos.

🔷 Terminamos como siempre leyendo a Dienes.

[…]El número es una abstracción. Los números no tienen existencia real. Los números son propiedades, pero se trata de propiedades relativas a conjuntos de objetos, no a los objetos mismos. La propiedad designada por el vocablo "dos" no podrá nunca aplicarse a objetos definidos, a sucesos o entidades de cualquier naturaleza, sino solamente a los conjuntos de tales objetos, sucesos o entidades. Por eso existe un mundo intermedio entre el de los objetos y el de los números, a saber el mundo de los conjuntos. Hasta una época reciente este mundo no formaba parte de situaciones vividas en nuestras escuelas, quedaba reservado a los estudiantes de las Universidades.

Las relaciones entre  conjuntos llevan a consideraciones de orden lógico, mientras que las propiedades de los conjuntos nos conducen  a relaciones de orden matemático.

[…] «Tener tres elementos» es una propiedad de los conjuntos que permite aislar un cierto conjunto de conjuntos a partir del universo de los conjuntos, a saber, el conjunto de los conjuntos en los que cada conjunto-elemento posee precisamente tres elementos. Es importante apercibirse de que «tener tres elementos», o «tres» para abreviar, es una propiedad que concierne a los conjuntos y no a los elementos de los conjuntos. Las propiedades tales como «ser un muchacho», «ser grueso»  o «tener el pelo negro» se aplican a los elementos del universo de los seres, no al universo de cualesquiera conjunto de criaturas.

Un conjunto de muchachos no puede ser un muchacho; por consiguiente «ser un muchacho » no puede aplicarse a ningún conjunto de criaturas, sino solamente a una criatura.  Inversamente el «tener tres elementos» no puede aplicarse a una criatura aislada, sino solamente a un conjunto de criaturas aisladas. No se facilitan las adquisiciones del niño cuando se escriben en los libros de texto del alumno cosas como ésta:

                         

El primer miembro de la «ecuación» es un conjunto o mejor todavía el símbolo de un conjunto; el segundo miembro es una propiedad del conjunto. No se puede decir que una propiedad es idéntica a aquello que posee la propiedad. La rojez no es idéntica al objeto que es rojo, de la misma forma que «tres» no es idéntico a un conjunto de tres objetos. 

[…]Como ya hemos dicho los números son propiedades de los conjuntos. Cuando se habla de números, se habla de propiedades. El universo en que se aplican estas propiedades está formado por conjuntos; los elementos de estos conjuntos son generalmente objetos o sucesos. A partir del universo de todos los conjuntos posibles, se pueden extraer aquellos que tienen la propiedad de comprender precisamente dos elementos. En efecto,«dos» es la propiedad común a todos los conjuntos posibles que comprenden dos elementos. De la misma forma que «creando» conjuntos a partir de sus elementos creamos esta vez un nuevo universo, el de los números. No es necesario añadir que este proceso es ilimitado. El arte del matemático consiste en la creación continua de nuevos Universos y en la investigación de las propiedades en torno  a los elementos de estos universos. Los niños pueden desde la escuela maternal entrar en el juego de estas creaciones, así como en el juego del examen de cada nueva especie de criaturas(...)

🔷La voz del poeta

*"El enamorado", en Historia de la noche, Buenos Aires, EMECÉ, 1977, p. 93.

BIBLIOGRAFIA

• Palacios, A. y otro. (2001).Contar bien es lo que cuenta, que contar cualquiera cuenta. Buenos Aires: Lumen
• Espasandín,  J. Otero. (1948). La magia de los números. Buenos Aires: Atlántida
• Adler, Irving. (1967). La nueva matemática . Buenos Aires: Eudeba
• Sábato, E. (1968). Uno y el universo. Barcelona: Seix Barral, S.A.
• Zoltan, P. D.(1965). La matemática moderna en la Enseñanza Primaria. Barcelona: Teide

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