Con el tema de números enteros, los docentes podemos pasarnos gran parte del año distinguiendo los signos de los números de los signos de las operaciones. Por ejemplo: (-2) + (+5). Pero esta escritura se torna difícil de mantener y en cualquier libro nos encontramos con cálculos del tipo:
a) -2 + 5.7 - 32: (-16) =
b) 3 - 6 + 8 - 4 -10 + 1=
Surgen entonces las preguntas acostumbradas: -¿Ese menos es el signo del número o el de la operación?.
Conviene tener una posición tomada y respetarla a lo largo del año para no confundirlos.
Una de las posibles: "los números negativos deben llevar su signo para indicar que lo son; a los positivos no les hace falta".
Por lo tanto, en el caso a), 2 es negativo, se le suma el producto de dos números positivos (el 5 y el 7) y se les resta el cociente entre un número positivo (32) y uno negativo (-16); en el caso b), todos los números son positivos y los signos que aparecen corresponden a las operaciones de sumar y restar.
Por supuesto hay otras posturas. Todo consiste en que el docente tome una y la respete para no confundir con muchas interpretaciones diferentes.
La resta es una operación "ficticia", una operación que en realidad no existe y que se inventa para aliviar un poco la escritura. En efecto, si consultamos los axiomas de los números reales, veremos que estos nos hablan únicamente de dos operaciones la suma y el producto. La suma se indica con el simbolo "+" y el producto con el símbolo "."
Con referencia a la suma, los axiomas nos dicen que existe un número (que se indica con el símbolo 0) que es el neutro de la operación. También existe un neutro para el producto, este último es indicado con el simbolo 1 y el axioma correspondiente agrega que 1≠ 0. Nótese que hablamos de 1 y no de +1, "1" carece de significado pues "+" es el símbolo de una operación binaria y debe estar siempre indicando la suma de dos números. Si podemos hablar, por ejemplo, de "1+ 1" o de "1 + 0", pero nunca de "+1"
Los axiomas nos dicen también que, dado cual quier número real x, existe al menos un número real y tal que x + y =0, se puede probar además que este número y es único. A este número y se lo llama el opuesto de x, y se adopta la notación y = -x. El número -x es entonces aquél que sumado a x da por resultado cero. El simbolo "-" significa simplemente "el opuesto de", no indica ninguna operación binaria y, ciertamente, no indica que el número en cuestión es negativo, ya que, de hecho, -x puede ser tanto positivo como negativo.
El número -1 es el opuesto de 1; es decir, es el número que está caracterizado por la propiedad siguiente: -1 + 1 = 1 + (-1) = 0. El número -1 tiene también su opuesto; este opuesto es el número que sumado a -1 da por resultado 0. Ahora bien, el número que sumado a -1 da por resulta do 0 es el número 1. Por lo tanto 1 es el opuesto de -1, en símbolos -(-1) = 1.
Cuando escribimos "-5" el signo "-" no está indicando que hablamos de un número negativo, indica que estamos hablando del opuesto de 5. Se da la coincidencia de que -5 es en verdad negativo, sin embargo -(-1) no lo es.
Para facilitar la escritura adoptamos la siguiente notación a la suma x + (-y) la indicamos x - y. Aquí es donde aparece la supuesta "operación" de resta. La resta es en verdad una suma escrita abreviadamente. Así, por ejemplo, 5 - 4 es una forma breve de escribir la suma 5+ (-4) (al 5 le sumamos el opuesto de 4). Cuando escribimos 6-(-3) en realidad estamos escribiendo la suma siguiente: 6 + (-(-3)); a 6 le sumamos el opuesto de -3. Como el opuesto de -3 es 3, entonces se tiene que 6+ (-(-3)) = 6 +3.
En la operación -2 + 5.7 - 32:(-16), al opuesto de 2 le sumamos el producto de 5 por 7 y al resultado de esta operación le sumamos el cociente entre el opuesto de 32 y el opuesto de 16.
En 3 - 6 + 8 - 4 - 10 + 1, sumamos los números siguientes: 3, el opuesto de 6, 8, el opuesto de 4, el opuesto de 10 y 1.
Esperamos que los ejemplos previos permitan aclarar debidamente el significado correcto de los símbolos "+” y “-”. El símbolo "-" significa "el opuesto de" y no indica jamás una operación binaria (la "resta" es en realidad una suma escrita en forma abreviada). El símbolo "+", por el contrario, indica la operación binaria de suma y jamás se aplica a un número "aislado"; "+5" carece de significado.
Una observación similar a la hecha para la "resta" puede hacerse también para el "cociente" de dos números. El cociente es en realidad un producto escrito en forma abreviada. "Dividir" por y es multiplicar por el inverso multiplicativo de y. Como 0 no tiene inverso multiplicativo, entonces la división por 0 carece de sentido.
Para finalizar, también en 1° año: -¿Por qué un menos delante del paréntesis cambia los signos que este encierra?
Esta pregunta está estrechamente relacionada con tercer comentario; -(x + y) = -x- y significa que el opuesto de "x + y" es igual a la suma del opuesto de x más el opuesto de y. Este hecho se demuestra verificando que la suma de "x + y " más "(-x) + (-y)" es 0.
Tenemos así por ejemplo que -(4-7) = -[4+(-7)] = -4 + (-(-7)) = -4 + 7. El resultado final es que han cambiado los signos de los números que están dentro del paréntesis, pero ésta es simplemente una descripción abreviada de una serie de operaciones de suma.
Lectura recomendada:
*Gentile, Enzo - Notas de Álgebra I - Eudeba.
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