Esquema de una función

A. Palacios

A. Carballido

S. Martorelli

Supongamos que a cada elemento de un conjunto A se asigne como correspondiente un elemento de un conjunto B, y solamente uno.Tal asignación se llama FUNCIÓN de A en B y podemos indicarla así:

f : A→B

Que se lee “f es función de A en B”

Hemos establecido así, la definición de función sobre la base del término “correspondencia”.

DEFINICIÓN:

Diremos que está dada una FUNCIÓN cuando:

Se tiene un par de conjuntos A,B;
Además, una “CORRESPONDENCIA UNÍVOCA de A en B”; esto es: cada elemento de A tiene asignado como correspondiente uno y sólo un elemento del conjunto B.

Al conjunto A se lo llama dominio de la función y al conjunto B codominio.

Ejemplo 1

Nos dice Oscar Varsavsky (1964):

“Si a cada alumno de esta división le hago corresponder el banco en que se sienta, tengo una función F, pues cada alumno tiene asignado un solo banco. No importa que, si hay bancos dobles, haya dos alumnos a quienes corresponda el mismo banco. Tampoco que haya bancos que nunca son ocupados por alumnos. Lo que interesa es que a cada alumno no le toque más de un banco”.

“Nos podemos imaginar esta función tomando por una parte el conjunto de los alumnos, A, por otra el de los bancos, B, y la función F por flechitas que parten de un elemento de A y terminan en uno de B: una sola flecha por cada elemento de A”.

“A es el dominio, pues todo alumno se sienta en algún banco”.

“El codomnio es B”. En el codominio puede haber bancos desocupados.

F: A→B significa que F es una función.

A es su dominio y B su codominio y se lee “función de A en B”.

x es la imagen de a por F: x = F(a);

si la función se representa por una letra minúscula, por ejemplo f, será x es la imagen de a por f : x = f(a)

Si a cada persona le hacemos corresponder su fecha de cumpleaños, tenemos una función F cuyo dominio son las personas y su codominio, los días del año.

Si a cada persona le hacemos corresponder el número de su documento nacional de identidad, tenemos una función.

Si a cada alumno de esta clase le hacemos corresponder su nota de matemática en abril, tenemos una función.

NOTA

“Padre” es una función.

La relación familiar “x tiene por padre a y” establece que para cada persona “x” hay una sola persona “y” que es su padre.

En cambio, “Hijo” no es una función.

La relación familiar “x tiene por hijo a y” nos permite establecer que cada persona “x” puede tener más de un hijo o puede no tener hijo alguno.

► EJERCICIO 1

De las siguientes relaciones familiares: hermano, abuelo, tío, primo, madre.

¿Cuáles son funciones?

Ejemplo 2

Sean A = {a,b,c} y B = {1,2}

Mostraremos todas las funciones con dominio A y codominio B.

Cada función quedará definida por cada “correspondencia de A en B” establecida.

Por ejemplo:

a→1; b→1; c→2

define una función.

Esta misma función puede ser descripta por la tabla de valores:

En otros términos, si utilizamos la letra f como nombre de la función, podemos registrarla así:

por imágenes.

f(a) =1; f(b) = 2; f(c) = 2

Esto se puede representar también por el diagrama sagital.

A continuación daremos todas las funciones distintas posibles de A en B; las llamaremos f1, f2, … Tenemos cada función con sus distintas formas de escribirla:

Y con estas ocho funciones agotamos todas las posibilidades.

► EJERCICIO 2

a) DAR todas las funciones del conjunto A ={1,2} en sí mismo. Esto es, todas las f: {1,2} → {1,2} Utilizar los tres tipos de representación mostrados en el ejemplo anterior, es decir: diagrama sagital, tabla de valores y por imágenes.

b) Construir todas las funciones f: {0,1} → {0,1,2} con los tres tipos de representación ya utilizados: diagrama sagital, tabla de valores y por imágenes.

► EJERCICIO 3

Completar justificando. ¿ES FUNCIÓN DE A EN B?