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| Narciso,(Michelangelo Merisi da Caravaggio,1600) |
La noción de transformación funcional es lo suficientemente intuitiva como para ser susceptible de investigación por parte de niños, mediante manipulaciones y juegos con material estructurado. Por otra parte, se trata de una idea rectora dentro del universo matemático. Baste recordar su utilización en la construcción del número (concepto de correspondencia biunívoca) y en la elaboración de las operaciones numéricas (los operadores" transformando un estado inicial en un estado final).
Nota 1.
- Consideremos una relación entre un conjunto de partida A y otro de llegada B. La relación está formada por las parejas de elementos (primer elemento perteneciente a A y segundo elemento perteneciente a B que satisfacen un determinado criterio. En los ejemplos siguientes, cada pareja de elementos correspondientes será representada mediante una flecha.
Ejemplos:
ii) Relación de A en B, dada por "tener la misma forma que".
iii) De A en B dada por "tener el mismo número de puntos que".
iv) De A en B, dada por "tener el mismo tamaño que".
Esta última relación de A en B es el único ejemplo de relación funcional a cada elemento de A le corresponde por lo menos un elemento en B y a cada elemento de A le corresponde a lo sumo un elemento en B.
Nota 2.
- Insistamos en la aclaración del concepto de función, mediante un detenido comentario sobre la noción de correspondencia biunívoca. Histórica y matemáticamente, el concepto de correspondencia es uno de los primitivos más notables. Subyace en el origen del concepto de número y desde allí —nacimiento de la aritmética — proyecta su potencia sobre matemática toda. Su presencia, clarificadora y clasificadora, es notoria en lo temas matemáticos de apariencia más diversa.
Sean A y B los respectivos nombres de dos conjuntos no vacíos. Si a cada elemento de A hacemos corresponder uno y sólo un elemento de B, diremos que hemos establecido una correspondencia unívoca entre A y B. Por ejemplo, consideremos una biblioteca que tenga varios libros en cada anaquel; hay en este caso, una correspondencia unívoca entre el conjunto de los libros de dicha biblioteca y el conjunto de los anaqueles de la misma. A cada libro corresponde un anaquel y sólo uno, a saber aquel en el cual está colocado el libro. He aquí explicitada nuevamente la noción de función.
Ahora bien, si a cada elemento de un conjunto A le corresponde uno y sólo un determinado elemento del conjunto B, de manera tal que, recíprocamente, cada elemento de B corresponde a uno y sólo un elemento del conjunto A, diremos que la correspondencia así establecida, es biunívoca entre A y B. Biunívoca significa univoca en los dos sentidos. Nuestro ejemplo anterior —libros/anaqueles — muestra una correspondencia univoca pero no biunívoca: a cada anaquel le corresponde más de un libro.
Trataremos de analizar con cierto detalle el concepto de correspondencia biunívoca. Para ello recordemos que dos conjuntos, A y B, poseen el mismo número de elementos, cuando es posible establecer entre ellos una correspondencia tal que, a cada elemento de A haga corresponder uno y sólo uno de B , y (por la misma correspondencia) a cada elemento de B corresponda uno y sólo uno de A
La correspondencia ha de cumplir según la anterior caracterización, cuatro (4) requisitos distintos:
i) a cada elemento de A debe hacer corresponder, por lo menos, uno de B;
ii) a cada elemento de A debe hacer corresponder, a lo sumo, uno de B;
iii) a cada elemento de B debe hacer corresponder, por lo menos, uno de A;
y iv) a cada elemento de B debe hacer corresponder, a lo surmo, uno de A.
Para que la correspondencia garantice la equinumerosidad, son necesarios los cuatro requisitos. Dicho de otro modo, es posible establecer correspondencias que verifiquen tres cualesquiera de los cuatro requisitos mencionados, entre conjuntos con distinto número de elementos, pero no es posible establecer una correspondencia que verifique i), ii) y iv) entre conjuntos de distintos número de elementos.
En I se ha establecido una correspondencia que cumple ii), iii) pero no i), entre conjuntos de distinto número de elementos.
En II se ha establecido una correspondencia que cumple i) pero no ii), entre conjuntos con distinto número de elementos.
En III se ha establecido una correspondencia que cumple i), ii) y iv) pero no iii)), entre conjuntos con distinto número de elementos.
En IV se ha establecido una correspondencia que cumple i), ii) pero no iv), entre conjuntos con distinto número de elementos.
El lector debería tratar de construir correspondencias que cumplan i), ii), iii) y iv) entre conjuntos con distinto número de elementos hasta convencerse de que esto es imposible.
La dificultad suele residir en establecer una detallada formulación de la correspondencia que cumple i), ii), iii) y iv). Esto quiere decir, que si no analizamos todos y cada uno de los requisitos establecidos, el concepto de correspondencia se verá debilitado.
Por ejemplo, si en una habitación hay un determinado conjunto de sillas, y se cumple que todas las sillas están ocupadas y no hay persona alguna de pie, resulta frecuente decir que, sea cual fuere el número de personas o el de sillas, sin duda alguna, son iguales.
¿Cuales son los requisitos que fundamentan nuestra afirmación? ¿Cómo está concretada la correspondencia biunívoca? En realidad, una detallada formulación de la condición presentada en el ejemplo seria:
i) toda silla está ocupada, por lo menos, por una persona ,
ii) todo silla está ocupada, a lo sumo, por una persona,
iii) toda persona está ocupando, por lo menos, una silla y
iv) toda persona está ocupando, a lo sumo, una silla.
Se ve ahora que el problema presentaba la relación ocupar- estar ocupada (según se considere desde el punto de vista de la persona o de la silla) como la correspondencia biunívoca en cuestión que garantiza la equinumerosidad.
Cuando dan las condiciones requeridas para el establecimiento de una correspondencia biunívoca entre un conjunto A y un conjunto B, estamos en presencia de las denominadas funciones biyectivas de A en B.
Coordinabilidad de conjuntos
Por Cesar Alfredo Trejo.
"Preguntémonos: ¿hay aquí tantos asientos como personas? Un modo de averiguarlo es contar los asientos y contar las personas. Si los resultados son iguales, o sea el mismo número, la respuesta es sí. Si los resultados son diferentes, la respuesta es no. Al proceder así hemos logrado una información mayor que la necesaria para responder a la pregunta, a saber: el número de personas y el número de asientos.
Hay otra manera de responder a la pregunta: pedir que cada persona se siente en un asiento diferente. Pueden ocurrir tres casos:
1. no quedan personas de pie, pero sí, asientos desocupados;
2. no quedan asientos desocupados, pero sí, personas de pie 3;
3. no quedan personas de pie ni asientos desocupados.
Sólo en el caso tres, la respuesta a la pregunta de si hay tantos asientos como personas es afirmativa. Entonces, diremos también que el conjunto de asientos y el conjunto de personas son coordinables. Este método nos muestra que el concepto de coordinabilidad —o sea, tener el mismo número de elementos— puede darse independientemente del concepto de número de elementos. En esta observación se basa precisamente el método de Cantor-Frege-Russell: en lugar de utilizar el número para verificar la coordinabilidad, se utiliza la coordinabilidad de conjuntos para definir el número.
El número cardinal de un conjunto C es la clase de conjuntos coordinables con C.
Diremos que dos conjuntos, A y B, son equivalentes o coordinables si A tiene tantos elementos como B."
Recreo
Si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron matados por el Ángel, salvo los que habitaban en casas que tenían en la puerta una señal roja , es evidente que se salvaron tantos como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron." Jorge Luis Borges
Referencias bibliográficas:
Dienes, Zoltan P. (1977). Juegos con materiales estructurados en la actividad matemática. Tomo II: Bloques lógicos. Buenos Aires: Gram Editora.
Trejo, César A. (1968). Matemática elemental moderna. Buenos Aires: Eudeba.
Borges, Jorge L. (1953). Historia de la eternidad. Buenos Aires: Emecé.
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