Patatín y Patatán. Por Alfredo Raúl Palacios

Ilustración de John Tenniel de Tweedledum y Tweedledee para el capítulo 4º de Alicia a través del espejo.

 Para Agustina, Valentín, Conrado y Faustina.

Alicia y el pequeño cervatillo caminaban juntos por el sendero que atraviesa el bosque. Al llegar a un claro el animalito dio un repentino salto y huyó velozmente. Alicia quedó mirándolo irse ―a punto de llorar― apesadumbrada por haber perdido a su querido compañero de viaje.

 ―Y ahora ―se preguntó― ¿cuál de esos "dedos indicadores" debo elegir para continuar mi camino?  

En realidad la pregunta no era de difícil respuesta puesto que sólo había un camino que cruzaba el bosque y ambos "dedos" indicaban el mismo sentido.

―Lo resolveré  ―se dijo Alicia― cuando el camino se divida y los "dedos" señalen direcciones distintas. Hasta aquí no hay senderos que se bifurquen.

Caminó y caminó durante un largo rato y por fin enfrentó bifurcaciones, pero cada vez que el camino se dividía, los carteles indicadores señalaban la misma dirección, y en ella, el mismo sentido.

Uno de los carteles decía:

Y el otro:

―¡Creo que los dos viven en la misma casa! ―exclamó Alicia.

―¿Cómo no se me ocurrió antes? De cualquier manera no podré entretenerme allí mucho tiempo; simplemente les preguntaré como están y si, por favor, pueden indicarme el sendero para salir del bosque antes del anochecer.

Alicia siguió andando y hablando consigo misma mientras caminaba, cuando al dar la vuelta en un recodo del camino, se topó tan repentinamente con dos hombrecitos gordos, que no pudo evitar retroceder. Y pensó

―Estos son y aquí están

Patatín y Patatán―.

Parados bajo un frondoso árbol y cada uno rodeando con un brazo el cuello de otro, no advirtieron la presencia de Alicia o no quisieron advertirla. Absortos continuaron en la ardua discusión.

―Lo primero es decidir cuál será el día de la semana en el que visitaremos al Sombrerero Loco ―dijo Patatán.

―¡ Al revés me las calcé! ―exclamó Patatín― lo primero es tratar de averiguar cuál es el día de la semana fijado por el Sombrerero para nuestra visita.

―Eso está claro en la invitación ―replicó Patatán.

― Al escucharlo Patatín respondió ―si fuera así, podría ser, y si lo fuera, sería; pero como no lo es, no es. Es cuestión de Lógica. ―

Y ambos volvieron a leer, en voz alta y al unísono, el texto de la original invitación.

―¡Es el jueves! ―dijo Patatán.

―Al revés ―prorrumpió Patatín― ¡No es el jueves!―.

―¡Fue el domingo! ―terció Alicia.

Los dos hombrecitos la miraron sorprendidos y luego de descubrirla y de mirarse el uno al otro, Patatán preguntó

―¿Y tú quién eres?, ¿estás invitada al té?, ¿por qué dices "fue"?

Con voz firme pero en amable tono respondió

―Yo soy Alicia, y el domingo estuve tomando el té con quienes también son mis amigos, la liebre, el lirón y el Sombrererо.

― ¡Muy bien! ―dijo Patatín― entonces nosotros iremos el domingo.

―Por supuesto ―asintió Patatán― Todos sabemos que el té del Sombrerero es infinito. 

―Alicia conmovida preguntó ―¿Qué quieres decir con "infinito"?

―Bueno, bueno... ―dijo Patatán― según la Teoría de los Conjuntos ―del maese cuyo nombre se escribe Cantor y que debe leerse Cántor ―un conjunto es infinito si tiene la extraordinaria propiedad de que...

―Deja eso de los conjuntos ―interrumpió Patatín― que ya en las escuelas no se enseñan porque no se usan más.

―¿No se usan más las escuelas? ―exclamó sorprendido Patatán.

―¡Al revés!― baladro de Patatín. 

―¡Ah! ―afirmó Patatán― las escuelas no se usan más. ¡Ahora está claro!

―Lo que Patatán quiere decirte ―continuó― es que después de un domingo siempre viene otro y después de ese otro y así sucesivamente. Sin término. Sin un último domingo.

Con una voz teñida por la duda Alicia preguntó ―¿Hablan los dos de lo mismo?

Patatín y Patatán no contestaron y al unísono repreguntaron   ―¿Estuvo bueno el té de tu domingo? 

La tarde venía cayendo y una dulce tristeza invadía el bosque. Todo  ―las aves, las flores y la luz― se iba de viaje. Un canto interior repetía y repetía  "¡Qué quietas están las cosas y qué bien se está con ellas!... y qué bien se está con ellas!". Un ensordecedor silencio interrumpió el tardío canto de un jilguero. 

Tras un profundo suspiro, Alicia comenzó su relato.

 ―Estuvo re-bueno. Con nuestros amigos Kasner y Newman pudimos bosquejar el mapa del Jardín de los Infinitos.

 ― ¡Ah sí, sí... con Edward y con James!  ―dijo Patatín.

 ―Así  ―es confirmó Alicia ― con ellos.

 ―¡Ah! sí, sí...  dijo Patatán ― No los conocemos. Pero cuéntanos más del bosquejo de ese mapa  ―agregó.

 ―¿En serio les interesa?  ―preguntó Alicia.

 ―¡Sí!  ―fue la respuesta al unísono.

 ―Bien  ―dijo Alicia ― y tomando una pequeña rama seca por lápiz gigante y el suelo por pizarra, así dibujó diciendo:

 ―Partiendo de un triángulo equilátero de lado 1, dividimos cada lado en tres partes iguales en medida y levantamos un triángulo equilátero de lado ⅓ sobre cada una de las partes centrales como bases, siempre hacia la región exterior del triángulo inicial. Así

Figura 1. Estado inicial

Luego en cada uno de estos tres nuevos triángulos construidos, suprimimos sus respectivas bases. El resultado es una poligonal de doce lados. Así

Figura 2. Primera iteración

Ahora, dividiendo cada uno de estos doce lados en tres partes iguales en medida y luego levantando los correspondientes doce triángulos equiláteros sobre las partes centrales como bases y suprimiendo después cada una de estas doce nuevas bases, obtenemos otra poligonal pero ahora de 48 lados. Así

Figura 3. Segunda iteración

Repitiendo este proceso, tanto como queramos, iremos logrando, en cada vez, mejores aproximaciones al mapa del Jardín de los Infinitos.

―Parece un copo de nieve ―dijo Patatán― que había repetido el procedimiento una vez más.

Figura 4. Tercera iteración

―Es curioso ―afirmó Patatín― ¿Quieres decirnos que no podemos dibujar el mapa del Jardín de los Infinitos totalmente terminado?

―Exactamente ―sentenció Alicia― El dibujo no define el mapa, sólo lo sugiere, sólo lo insinúa.

―Si no lo puedo dibujar ―arguyó Patatán― entonces tal mapa no existe.

―¡Sí existe! ―exclamó Alicia― y no olvides que "más cosas hay, Patatán, en cielo y tierra que las que sueña tu filosofía".

Patatín, junto a ellos, sumido en la sorpresa buscaba en el arcón de sus recuerdos.

Y de pronto

―¡Santo revés! ― exclamó para luego comenzar su relato:

―En una pequeña cabaña, rodeada por pinos aciculares, vive ―del otro lado del bosque― un señor a quienes sus vecinos llaman Maese Sierpinski.

―¿Sierpinski? ―dijo Patatán y continuó ¿y por qué lo llaman así?

―Pues, porque ese es su apellido ―contestó Patatín, y asi continuó ―Este tal maese Sierpinski contó que él pensaba construir un tamiz, pero que nunca había podido dibujarlo terminado siendo, sin embargo, que el conocía el proceso. La dificultad surgía porque el proceso era infinito. Y es más, este hecho le permitía conjeturar que tampoco podría construirlo. Es decir que su tamiz siempre sería como la idea de un sueño o como el sueño de una idea; como una cosa de otro mundo.

La curiosidad de Alicia desbordó su silencio y estalló en una pregunta

―¿Les contó cómo se genera?―.

―Sí ―respondió Patatín y así dijo―.

Comenzamos con un triángulo equilátero generado por una poligonal cerrada que comienza, por ejemplo, en el punto A y recorre así

Ahora, tomando como nuevos vértices los puntos medios de cada lado podemos dibujar una nueva poligonal que determina un triángulo equilátero interior (D E F)

Resulta muy interesante ―subrayó Patatín― observar atentamente "la marcha", paso a paso, de la poligonal al pasar del estado inicial al de la primera generación.

El paso siguiente consiste en quitar el triángulo interior (D E F) y entonces se reduce la superficie inicial.

 Así

―¿Vamos bien? ―preguntó Patatín.

―Sí ―respondieron Alicia y Patatán. ¡Y estamos en la región interior del triángulo! ―agregó Patatán.

―Podemos entonces continuar el proceso ―dijo Patatín― ahora estamos en condiciones de repetir lo hecho en el triángulo ABC en cada uno de los tres triángulos que nos quedan y que son ADE, DBF y EFC. 

En este caso, hemos pasado de 

la primera generación a la segunda.

Segunda generación o segunda iteración.

Estos nuevos 27 lados de la poligonal nos generan otros tres triángulos (los rayados) que volvemos a quitar y así nuevamente disminuimos la superficie inicial.

―En los triángulos no sombreados podemos repetir el procedimiento y así continuarlo indefinidamente. El proceso termina nunca; sin embargo podemos vislumbrar que el área se irá acercando a cero, en tanto que la longitud de la poligonal crecerá sin fin. 

―¡Es muy bello el tamiz del maese Sierpinski! ―dijo Alicia― pero debo seguir mi camino. Ya es muy tarde.

Al unísono Patatín y Patatán le dijeron

―Nos encantó tu grata compañía. Puedes salir del bosque caminando por el sendero que está a tu derecha. Y mientras lo transitas, juega con tu pensamiento tratando de resolver este problemita.

―En un viejo almacén del paseo Partalguna, donde van los que saben sumar y restar, compramos una botella con jugo de melopo, sabiendo que la botella y el tapón valían cinco pesos y además, que la botella valía cuatro pesos más que el tapón. ¿Puedes decirnos cuánto vale el tapón?

¡Buen viaje, querida Alicia! 

Adiós amigos ―dijo Alicia―. Lo pensaré.

BIBLIOGRAFÍA

Lewis Carroll, Alicia anotada. Edición de Martín Gardner. Akal, España, 1984.

Alfredo Palacios, Pedro Luis Barcia y otros, La Matemagia del Laberinto. Magisterio del Río de La Plata, Buenos Aires, 1997.

Leonardo Peusner, Los Límites del Infinito. New World Science Press, E.E. U.U., 1994.

Raymond Smullyan, Alicia en el País de las Adivinanzas. Cátedra, España, 1982.

Charles Barry Townsend, Acertijos Clásicos. Selector, México, 1991.

E. y C. Elecar, Juegos de Ingenio. S. A. Editorial Bell, Buenos Aires, 1963. 

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