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| "Gran Ola de Kanagawa" por Hokusai (1780-1848). |
INTRODUCCIÓN
Euclides (siglo III) edificó su geometría a partir de la intuición, por nuestros sentidos, del espacio exterior. Los conceptos básicos se adaptaban a la experiencia sensible, dependiente del grado de aproximación de las formas y extensiones que el hombre podía percibir directamente. También la mecánica, muy vinculada con la geometría, dependió de los intervalos de tiempo adaptados a nuestra vida fisiológica y a la duración media de la misma. Si nuestros ojos hubieran sido microscopios electrónicos y la duración de la vida de miles de años o fracciones de segundo, el concepto del mundo exterior hubiera sido muy distinto e igualmente diferentes hubieran sido, seguramente, la geometría y la mecánica, aún conservando las mismas características del razonamiento deductivo para descubrir y ordenar los conocimientos.
Pensemos en la idea de curva. Para los griegos, y durante siglos, la idea de curva se correspondía con la de trayectoria de un punto móvil y, por tanto, en cada punto debía haber una dirección de llegada y otra de salida, las cuales podían coincidir, como ocurría de manera general, excepto en algunos, puntos singulares en los que el cambio brusco de dirección se traducía en una discontinuidad de la tangente o bien, desde Newton, en una discontinuidad de la derivada de la función cuyo gráfico era la curva considerada. Las curvas sin tangente en ningún punto (Weierstrass) o las que llenan un área (Peano) no aparecen hasta el siglo XIX, ya con una matemática muy evolucionada, y aun así fueron consideradas como casos patológicos, producto del poder razonador de la matemática, pero lejos de toda intuición y, con ello, lejos de toda interpretación vinculante con algún fenómeno natural apreciable por la intuición.
Las ideas simples de recta y plano, o de otras figuras elementales de la geometría tradicional, no tendrían interpretación en la naturaleza vista con ojos-microscopio, como tampoco existiría la regularidad y la armonía de los movimientos de los cuerpos celestes si se pudieran contemplar, condensados, a través de miles o millones de años. Si se mide la longitud de una costa en kilómetros, despreciando pequeñas irregularidades, se obtiene un valor finito y una forma dibujable en un mapa corriente a una escala no demasiado grande. Pero si se intenta medir o dibujar la misma costa con precisión de milímetros o unidades menores, teniendo en cuenta todos los pequeños entrantes y salientes, se obtiene un curva completamente irregular, es decir, lo que en un mapa ordinario es una curva regular y simple, en la realidad, si se toma una escala mucho mayor, resulta un continuo de zigzagues con pequeños segmentos de longitud tendiente a cero, y con una longitud total tendiente a infinito. Este es el primer ejemplo de "fractal" propuesto por Mandelbrot (8), (9).
Todo esto hace que hoy se piense en una nueva geometría, cuyos objetos se presentan muy irregulares y los sucesos poco o nada predecibles (sistemas caóticos). Es la llamada geometría fractal, de la que vamos a dar algunas ideas generales. El nombre de fractal procede de que estudia conjuntos de puntos para los cuales se puede definir, de cierta manera, una dimensión fraccionaria, dimensión que permite medir el grado de complejidad del conjunto, variando desde las curvas corrientes de dimensión uno, hasta curvas que llenan áreas del plano, de dimensión dos. También se han estudiado fractales en el espacio y espacios de más dimensiones, pero aquí no los vamos a considerar (9).
A primera vista, puede parecer una geometría artificial, sin conexión con la realidad, pero como observa Mandelbrot (introductor de la palabra "fractal") es solamente una cuestión de escala y, en realidad, los fractales aparecen en la Naturaleza con mucha más frecuencia que las curvas regulares, las cuales resultan solamente al tomar la realidad en primera aproximación. En el movimiento browniano de partículas, la distribución de las estrellas en las galaxias, las formas del relieve terrestre, los fenómenos turbulentos y en muchos otros casos, aparecen los fractales de manera natural. Según Mandelbrot, "la geometría de la naturaleza es caótica y está mal representada por el orden perfecto de las formas usuales de Euclides o del cálculo infinitesimal".
Los fractales aparecen muchas veces como iteración de procesos geométricos regulares, al estilo clásico, pero que al repetirse sucesivamente van complicando su forma. Los modelos de estas repeticiones son solamente realizables a través de computadoras, que pueden operar con números grandes y con muchas cifras decimales. Por esto los fractales están muy unidos al uso de las computadoras y es a través de ellas que se están estudiando en su gran variedad de forma que, a su vez, dan lugar a muchos interesantes y difíciles problemas teóricos.
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De Revista Elementos de Matemática, publicación didáctico científica de la Universidad CAECE Volumen VI, N. XXIII, marzo 1992, Buenos Aires.
(8) Mandelbrot, B., Los objetos fractales, Barcelona, Editorial Tusquets, 1988.
(9) Mandelbrot, B.,The fractal geometry of nature, Nueva York, W.F. Freeman, 1983.
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