Las implicaciones de la palabra joya —valiosa pequeñez, delicadeza que no está sujeta a la fragilidad, facilidad suma de traslación, limpidez que no excluye lo impenetrable, flor para los años— la hacen de uso legítimo aquí. No sé de mejor calificación para la paradoja de Aquiles, tan indiferente a las decisivas refutaciones que desde más de veintitrés siglos la derogan, que ya podemos saludarla inmortal. Las reiteradas visitas del misterio que esa perduración postula, las finas ignorancias a que fue invitada por ella la humanidad, son generosidades que no podemos no agradecerle. Vivámosla otra vez, siquiera para convencernos de perplejidad y de arcano íntimo. Pienso dedicar unas páginas —unos compartidos minutos— a su presentación y a la de sus correctivos más afamados. Es sabido que su inventor fue Zenón de Elea, discípulo de Parménides, negador de que pudiera suceder algo en el universo.
La biblioteca me facilita un par de versiones de la paradoja gloriosa. La primera es la del hispanísimo Diccionario hispano-americano, en su volumen vigésimo tercero, y se reduce a esta cautelosa noticia: "El movimiento no existe: Aquiles no podría alcanzar a la perezosa tortuga." Declino esa reserva y busco la menos apurada exposición de G. H. Lewes, cuya Biographical History of Philosophy fue la primera lectura especulativa que yo abordé, no sé si vanidosa o curiosamente. Escribo de esta manera su exposición: Aquiles, símbolo de rapidez, tiene que alcanzar la tortuga, símbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces más ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro; Aquiles corre ese decímetro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la tortuga un milímetro; Aquiles el milímetro, la tortuga un décimo de milímetro, y así infinitamente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla. Así la paradoja inmortal.
Paso a las llamadas refutaciones. Las de mayores años —la de Aristóteles y la de Hobbes están implícitas en la formulada por Stuart Mill. El problema, para él, no es más que uno de tantos ejemplos de la falacia de confusión. Cree, con esta distinción, abrogarlo:
En la conclusión del sofisma, para siempre quiere decir cualquier imaginable lapso de tiempo; en las premisas, cualquier número de subdivisiones de tiempo. Significa que podemos dividir diez unidades por diez, y el cociente otra vez por diez, cuantas veces queramos, y que no encuentran fin las subdivisiones del recorrido, ni por consiguiente las del tiempo en que se realiza. Pero un ilimitado número de subdivisiones puede efectuarse con lo que es limitado. El argumento no prueba otra infinitud de duración que la contenible en cinco minutos. Mientras los cinco minutos no hayan pasado, lo que falta puede ser dividido por diez, y otra vez por diez, cuantas veces se nos antoje, lo cual es compatible con el hecho de que la duración total sea cinco minutos. Prueba, en resumen, que atravesar ese espacio finito requiere un tiempo infinitamente divisible, pero no infinito. (Mill, Sistema de lógica, libro V, capítulo VII).
No anteveo el parecer del lector, pero estoy sintiendo que la proyectada refutación de Stuart Mill no es otra cosa que una exposición de la paradoja. Basta fijar la velocidad de Aquiles a un segundo por metro, para establecer el tiempo que necesita.
10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1.000 + 1/10.000 ...
El límite de la suma de esta infinita progresión geométrica es doce (más exactamente, once y un quinto; más exactamente, once con tres veinticincoavos), pero no es alcanzado nunca. Es decir, el trayecto del héroe será infinito y éste correrá para siempre, pero su derrotero se extenuará antes de doce metros, y su eternidad no verá la terminación de doce segundos. Esa disolución metódica, esa ilimitada caída en precipicios cada vez más minúsculos, no es realmente hostil al problema: es imaginárselo bien. No olvidemos tampoco de atestiguar que los corredores decrecen, no sólo por la disminución visual de la perspectiva, sino por la disminución admirable a que los obliga la ocupación de sitios microscópicos. Realicemos también que esos precipicios eslabonados corrompen el espacio y con mayor vértigo el tiempo vivo, en su doble desesperada persecución de la inmovilidad y del éxtasis.
Otra voluntad de refutación fue la comunicada en 1910 por Henri Bergson, en el notorio Ensayo sobre los datos inmediatos de la conciencia: nombre que comienza por ser una petición de principio. Aquí está su página:
"Por una parte, atribuimos al movimiento la divisibilidad misma del espacio que recorre, olvidando que puede dividirse bien un objeto, pero no un acto; por otra, nos habituamos a proyectar este acto mismo en el espacio, a aplicarlo a la línea que recorre el móvil, a solidificarlo, en una palabra. De esta confusión entre el movimiento y el espacio recorrido nacen, en nuestra opinión, los sofismas de la escuela de Elea; porque el intervalo que separa dos puntos es infinitamente divisible, y si el movimiento se compusiera de partes como las del intervalo, jamás el intervalo sería franqueado. Pero la verdad es que cada uno de los pasos de Aquiles es un indivisible acto simple, y que después de un número dado de estos actos, Aquiles hubiera adelantado a la tortuga. La ilusión de los Eleatas provenía de la identificación de esta serie de actos individuales sui generis, con el espacio homogéneo que los apoya. Como este espacio puede ser dividido y recompuesto según una ley cualquiera, se creyeron autorizados a rehacer el movimiento total de Aquiles, no ya con pasos de Aquiles, sino con pasos de tortuga. A Aquiles persiguiendo una tortuga sustituyeron, en realidad, dos tortugas regladas la una sobre la otra, dos tortugas de acuerdo en dar la misma clase de pasos o de actos simultáneos, para no alcanzarse jamás. ¿Por qué Aquiles adelanta a la tortuga? Porque cada uno de los pasos de Aquiles y cada uno de los pasos de la tortuga son indivisibles en tanto que movimientos, y magnitudes distintas en tanto que espacio: de suerte que no tardará en darse la suma, para el espacio recorrido por Aquiles, como una longitud superior a la suma del espacio recorrido por la tortuga y de la ventaja que tenía respecto de él. Es lo que no tiene en cuenta Zenón cuando recompone el movimiento de Aquiles, según la misma ley que el movimiento de la tortuga, olvidando que sólo el espacio se presta a un modo de composición y descomposición arbitrarias, y confundiéndolo así con el movimiento" (Datos inmediatos, versión española de Barnés, páginas 89, 90. Corrijo, de paso, alguna distracción evidente del traductor). El argumento es concesivo. Bergson admite que es infinitamente divisible el espacio, pero niega que lo sea el tiempo. Exhibe dos tortugas en lugar de una para distraer al lector. Acollara un tiempo y un espacio que son incompatibles: el brusco tiempo discontinuo de James, con su perfecta efervescencia de novedad, y el espacio divisible hasta lo infinito de la creencia común.
Arribo, por eliminación, a la única refutación que conozco, a la única de inspiración condigna del original, virtud que la estética de la inteligencia está reclamando. Es la formulada por Russell. La encontré en la obra nobilísima de William James, Some Problems of Philosophy, y la concepción total que postula puede estudiarse en los libros ulteriores de su inventor —Introduction to Mathematical Philosophy, 1919; Our Knowledge of the External World, 1926—, libros de una lucidez inhumana, insatisfactorios e intensos. Para Russell, la operación de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series. Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron muertos por el Ángel, salvo los que habitaban en casa que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras operaciones hay en que es infinita también. La serie natural de los números es infinita, pero podemos demostrar que son tantos los impares como los pares.
" 3 " " 4
" 5 " " 6, etcétera.
La prueba es tan irreprochable como baladí, pero no difiere de la siguiente de que hay tantos múltiplos de 3.018 como números hay.
" 2 " " 6.036
" 3 " " 9.054
" 4 " " 12.072, etcétera.
Lo mismo puede afirmarse de sus potencias por más que éstas se vayan rarificando a medida que progresemos.
" 2 " " 3.0182, el 9.108.324
" 3..., etcétera.
He arribado al final de mi noticia, no de nuestra cavilación. La paradoja de Zenón de Elea, según indicó James, es atentatoria no solamente a la realidad del espacio, sino a la más invulnerable y fina del tiempo. Agrego que la existencia en un cuerpo físico, la permanencia inmóvil, la fluencia de una tarde en la vida, se alarman de aventura por ella. Esa descomposición, es mediante la sola palabra infinito, palabra (y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata. (Hay otros escarmientos antiguos contra el comercio de tan alevosa palabra: hay la leyenda china del cetro de los reyes de Liang, que era disminuido en una mitad por cada nuevo rey; el cetro, mutilado por dinastías, persiste aún). Mi opinión, después de las calificadísimas que he presentado, corre el doble riesgo de parecer impertinente y trivial. La formularé, sin embargo: Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Aceptemos el idealismo, aceptemos el crecimiento concreto de lo percibido, y eludiremos la pululación de abismos de la paradoja.
¿Tocar nuestro concepto del universo, por ese pedacito de tiniebla griega?, interrogará mi lector.
En Discusión (1932)
Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador
de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del
infinito. Yo anhelé compilar alguna vez su móvil historia. La numerosa Hidra
(monstruo palustre que viene a ser una prefiguración o un emblema de las
progresiones geométricas) daría conveniente horror a su pórtico; la coronarían
las sórdidas pesadillas de Kafka y sus capítulos centrales no desconocerían
las conjeturas de, ese remoto cardenal alemán —Nicolás de Krebs, Nicolás de
Cusa— que en la circunferencia vio un polígono de un número infinito de ángulos
y dejó escrito que una línea infinita sería una recta, sería un triángulo,
sería un círculo y sería una esfera (De docta ignorantia, I, 13). Cinco, siete
años de aprendizaje metafísico, teológico, matemático, me capacitarían (tal
vez) para planear decorosamente ese libro. Inútil agregar que la vida me
prohíbe esa esperanza, y aun ese adverbio.
A esa ilusoria Biografía del infinito pertenecen de alguna
manera estas páginas. Su propósito es registrar ciertos avatares de la segunda
paradoja de Zenón.
Recordemos, ahora, esa paradoja.
Aquiles corre diez veces más ligero que la tortuga y le da
una ventaja de diez metros. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre
uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro; Aquiles corre ese
decímetro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la
tortuga un milímetro; Aquiles Piesligeros el milímetro, la tortuga un décimo de
milímetro y así infinitamente, sin alcanzarla... Tal es la versión habitual.
Wilhelm Capelle (Die Vorsokratiker, 1935, pág. 178) traduce el texto original
de Aristóteles: “El segundo argumento de Zenón es el llamado Aquiles. Razona
que el más lento no será alcanzado por el más veloz, pues el perseguidor tiene
que pasar por el sitio que el perseguido acaba de evacuar, de suerte que el más
lento siempre le lleva una determinada ventaja”. El problema no cambia, como se
ve; pero me gustaría conocer el nombre del poeta que lo dotó de un héroe y de
una tortuga. A esos competidores mágicos y a la serie
Debemos a la pluma de Aristóteles la comunicación y la
primera refutación de esos argumentos. Los refuta con una brevedad quizá
desdeñosa, pero su recuerdo le inspira el famoso argumento del tercer hombre
contra la doctrina platónica. Esa doctrina quiere demostrar que dos individuos
que tienen atributos comunes (por ejemplo dos hombres) son meras apariencias
temporales de un arquetipo eterno, Aristóteles interroga si los muchos hombres
y el Hombre —los individuos temporales y el Arquetipo— tienen, atributos
comunes. Es notorio que sí; tienen los atributos generales de la humanidad. En
ese caso, afirma Aristóteles, habrá que postular otro arquetipo que los abarque
a todos y después un cuarto..., Patricio de Azcárate, en una nota de su
traducción de la Metafísica, atribuye a un discípulo de Aristóteles esta
presentación: “Si lo que se afirma de muchas cosas a la vez es un ser aparte,
distinto de las cosas de que se afirma (y esto es lo que pretenden los
platonianos), es preciso que haya un tercer hombre. Es una denominación que se
aplica a los individuos y a la idea. Hay, pues, un tercer hombre distinto de
los hombres particulares y de la idea. Hay al mismo tiempo un cuarto que estará
en la misma relación con éste y con idea de los hombres particulares; después
un quinto y así hasta el infinito”. Postulamos dos individuos, a y b, que
integran el género c. Tendremos entonces
a + b + c + d = e
a + b + c + d + e = f...
En rigor no se requieren dos individuos: bastan el individuo y el género para determinar el tercer hombre que denuncia Aristóteles. Zenón de Elea recurre a la infinita regresión contra el movimiento y el número; su refutador, contra las formas universales.[2]
El próximo avatar de Zenón que mis desordenadas notas
registran es Agripa, el escéptico. Éste niega que algo pueda probarse, pues
toda prueba requiere una prueba anterior (Hypotyposes, I, 166). Sexto Empírico
arguye parejamente que las definiciones son vanas, pues habría que definir cada
una de las voces que se usan y, luego, definir la definición (Hypotyposes, II,
207). Mil seiscientos años después, Byron, en la dedicatoria de Don Juan,
escribirá de Coleridge: “I wish he would explain His Explanation.”
Hasta aquí, el regressus in infinitum ha servido para negar;
Santo Tomás de Aquino recurre a él (Suma Teológica, 1, 2, 3) para afirmar que
hay Dios, Advierte que no hay cosa en el universo que no tenga una causa
eficiente y que esa causa claro está, es el efecto de otra causa anterior. El
mundo es un interminable encadenamiento de causas y cada causa es un efecto.
Cada estado proviene del anterior y determina el subsiguiente, pero la serie
general pudo no haber sido, pues los términos que la forman son condicionales,
es decir, aleatorios. Sin embargo, el mundo es; de ellos podemos inferir una no
contingente causa primera que será la divinidad. Tal es la prueba cosmológica;
la prefiguran Aristóteles y Platón; Leibniz la redescubre.[3]
Hermann Lotze apela al regressus para no comprender que una
alteración del objeto A pueda producir una alteración del objeto B. Razona que
sí A y B son independientes, postular un influjo de A sobre B es postular un
tercer elemento C, un elemento que para operar sobre B requerirá un cuarto
elemento D, que no podrá operar sin E, que no podrá operar sin F...
Para eludir esa multiplicación de quimeras, resuelve que en
el mundo hay un solo objeto: una infinita y absoluta sustancia equiparable al
Dios de Spinoza. Las causas transitivas se reducen a causas inmanentes; los
hechos, a manifestaciones o modos de la sustancia cósmica.[4]
Análogo, pero todavía más alarmante, es el caso de K H. Bradley. Este razonador (Appearance and Reality, 1897, páginas 19-34) no se limita a combatir la relación causal; niega todas las relaciones. Pregunta si una relación está relacionada con sus términos. Le responden que sí e infiere que ello es admitir la existencia de otras dos relaciones, y luego de otras dos. En el axioma la parte es menor que el todo no percibe dos términos y la relación menor que: percibe tres (parte, menor que, todo) cuya vinculación implica otras dos relaciones, y así hasta lo infinito. En el juicio Juan es mortal, percibe tres conceptos inconjugables (el tercero es la cópula) que no acabaremos de unir. Transforma todos los conceptos en objetos incomunicados, durísimos. Refutarlo es contaminarse de irrealidad.
Lotze interpone los abismos periódicos de Zenón entre la
causa y el efecto; Bradley, entre el sujeto y el predicado, cuando no entre el
sujeto, y los atributos; Lewis Carroll (Mind, volumen cuarto, página 278) entre
la segunda premisa del silogismo y la conclusión. Refiere un diálogo sin fin,
cuyos interlocutores son Aquiles y la tortuga. Alcanzado ya el término de su
interminable carrera, los dos atletas conversan apaciblemente de geometría.
Estudian este claro razonamiento:
a) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
b) Los dos lados de este triángulo son iguales a MN.
z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
La tortuga acepta las premisas a y b, pero niega que
justifiquen la conclusión. Logra que Aquiles interpole una proposición
hipotética,
a) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
b) Los dos lados de este triángulo son iguales a MN.
c) Si a y b son válidas, z es válida,
z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
Hecha esa breve aclaración, la tortuga acepta la validez de
a, b y c, pero no de z. Aquiles, indignado, interpola:
d) Si a, b y c son válidas, z es válida.
Carroll observa que la paradoja del griego comporta una
infinita serie de distancias que disminuyen y que en la propuesta por él crecen
las distancias.
Un ejemplo final, quizá el más elegante de todos, pero
también el que menos difiere de Zenón. William James (Some Problems of
Philosophy, 1911, pág. 182) niega que puedan transcurrir catorce minutos,
porque antes es obligatorio que hayan pasado siete, y antes de siete, tres
minutos y medio, y antes de tres y medio, un minuto y tres cuartos, y así hasta
el fin, hasta el invisible fin, por tenues laberintos de tiempo.
Descartes, Hobbes, Leíbniz, Mill, Renouvier, Georg Cantor,
Gomperz, Russell y Bergson han formulado explicaciones —no siempre
inexplicables y vanas— de la paradoja de la tortuga. (Yo he registrado algunas.)
Abundan asimismo, como ha verificado el lector, sus aplicaciones. Las
históricas no la agotan: el vertiginoso regressus in infinitum es acaso
aplicable a todos los temas. A la estética: tal verso nos conmueve por tal
motivo, tal motivo por tal otro motivo... Al problema del conocimiento: conocer
es reconocer, pero es preciso haber conocido para reconocer, pero conocer es
reconocer... ¿Cómo juzgar esa dialéctica? ¿Es un legítimo instrumento de
indagación o apenas una mala costumbre?
Es aventurado pensar que una coordinación de palabras (otra
cosa no son las filosofías) pueda parecerse mucho al universo. También es
aventurado pensar que de esas coordinaciones ilustres, alguna —siquiera de modo
infinitesimal— no se parezca un poco más que otras. He examinado las que gozan
de cierto crédito; me atrevo a asegurar que sólo en la que formuló Schopenhauer
he reconocido algún rasgo del universo. Según esa doctrina, el mundo es una
fábrica de la voluntad. El arte —siempre— requiere irrealidades visibles. Básteme
citar una: la dicción metafórica o numerosa o cuidadosamente casual de los
interlocutores de un drama... Admitamos lo que todos los idealistas admiten: el
carácter alucinatorio del mundo. Hagamos lo que ningún idealista ha hecho:
busquemos irrealidades que confirmen ese carácter. Las hallaremos, creo, en las
antinomias de Kant y en la dialéctica de Zenón.
“El mayor hechicero (escribe memorablemente Novalis) sería
el que se hechizara hasta el punto de tomar sus propias fantasmagorías por
apariciones autónomas. ¿No sería ése nuestro caso?”. Yo conjeturo que así es.
Nosotros (la indivisa divinidad que opera en nosotros) hemos soñado el mundo.
Lo hemos soñado resistente, misterioso, visible, ubicuo en el espacio y firme
en el tiempo; pero hemos consentido en su arquitectura tenues y eternos
intersticios de sinrazón para saber que es falso.
[2] En el Parménides —cuyo carácter zenoniano es
irrecusable— Platón discurre un argumento muy parecido para demostrar que el
uno es realmente muchos. Sí el uno existe, participa del ser; por consiguiente,
hay dos partes en él, que son el ser y el uno» pero cada una de esas partes es
una y es, de modo que encierra otras dos, que encierran también otras dos:
infinitamente. Russell (Introduction to Mathematical Philosophy, 1919, pág.
138) sustituye a la progresión geométrica de Platón una progresión aritmética.
Sí el uno existe» el uno participa del ser; pero como son diferentes el ser y
el uno, existe el dos; pero como son diferentes el ser y el dos, existe el
tres, etc. Chuang Tzu (Waley: Three Ways of Thought in Ancient China, pág. 25)
recurre al mismo interminable regressus contra los monistas que declaraban que
las Diez Mil Cosas (el Universo) son una sola. Por lo pronto —arguye— la unidad
cósmica y la declaración de esa unidad ya son dos cosas: esas dos y la
declaración de su dualidad ya son tres; esas tres y la declaración de su
trinidad ya son cuatro... Russell opina que la vaguedad del término ser basta
para invalidar el razonamiento. Agrega que los números no existen, que son
meras ficciones lógicas.
[3] Un eco de esa prueba, ahora muerta, retumba en el
primer verso del Paradiso: “La gloria de Colviche tutta move”.
[4] Sigo la exposición de James (A Pluralistic Universe,
1909. págs. 55-60). Cf. Wentscher: Fechner and Lotze, 1924, páginas 166-171.
En Discusión (1932)
Nota (en Discusión p. 165)
Edward Kasner and James Newman Mathematics and The Imagination (Simón and Schuster)
Revisando la biblioteca, veo con admiración que las obras que más he releído y abrumado de notas manuscritas son el Diccionario de la filosofía de Mauthner, la Historia biográfica de la filosofía de Lewes, la Historia de la guerra de 1914-1918 de Liddell Hart, la Vida de Samuel Johnson de Boswell y la psicología de Gustav Spiller: The Mind of Man, 1902. A ese heterogéneo catálogo (que no excluye obras que tal vez son meras costumbres, como la de G.H. Lewes) preveo que los años agregarán este libro amenísimo. Sus cuatrocientas páginas registran con claridad los inmediatos y accesibles encantos de las matemáticas, los que hasta un mero hombre de letras puede entender, o imaginar que entiende: el incesante mapa de Brouwer, la cuarta dimensión que entrevió More y que declara intuir Howard Hinton, la levemente obscena tira de Moebius, los rudimentos de la teoría de los números transfinitos, las ocho paradojas de Zenón, las líneas paralelas de Desargues que en el infinito se cortan, la notación binaria que Leibniz descubrió en los diagramas del I King, la bella demostración euclidiana de la infinitud estelar de los números primos, el problema de la torre de Hanoi, el silogismo dilemático o bicornuto.
De este último, con el que jugaron los griegos (Demócrito jura que los abderitanos son mentirosos; pero Demócrito es abderitano: luego Demócrito miente: luego no es cierto que los abderitanos son mentirosos : luego Demócrito no miente: luego es verdad que los abderitanos son mentirosos; luego Demócrito miente; luego...) hay casi innumerables versiones que no varían de método, pero sí de protagonistas y de fábula. Aulo Gelio (Noches áticas, libro quinto, capítulo X) recurre a un orador y a su alumno; Luis Barahona de Soto (Angélica, onceno canto), a dos esclavos; Miguel de Cervantes (Quijote, segunda parte, capítulo LI), a un rio, a un puente y a una horca; Jeremy Taylor, en algunos de sus sermones, a un hombre que ha soñado con una voz que le revela que todos los sueños son vanos; Beltrand Russell (Introduction to Mathematical Philosophy, página 136), al conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos.
A esas perplejidades ilustres, me atrevo agregar esta:
En Sumatra, alguien quiere doctorarse de adivino. El brujo examinador le pregunta si será reprobado o si pasará. El candidato responde que será reprobado... Ya se presiente la infinita continuación.
Tomado de Borges, Jorge Luis (1964). Discusión. Buenos Aires: EMECÉ EDITORES.S.A.
Puede resultar interesante saber que Discusión fue publicado originalmente en 1932. Emecé Editores lo publicó en 1964, con edición revisada por el propio autor.
👉Borges algunas veces matematiza
Comentarios
Publicar un comentario