¡Nene! El triángulo no se toca
por Alfredo Raúl Palacios (*)
Creemos firmemente que la utilización de modelos en el aprendizaje de la geometría facilitará el cultivo de una comunicación intensiva. Si el alumno individual deja que el modelo "hable"; si luego los alumnos discuten sus personales interpretaciones y si, finalmente, el maestro habla con sus alumnos sobre el modelo, entonces mejorará, en mucho, la busca y la verba de cada uno de ellos.
Pero para poder obtener buenos resultados en este intento por educar el pensamiento, es necesario un claro registro de las diferencias que existen entre:
a) Los objetos matemáticos.
b) Los materiales concretos utilizados para el aprendizaje de la matemática.
c) Los nombres, palabras o símbolos de cualquier tipo, utilizados para referirnos a los objetos.
a) Los objetos matemáticos son objetos ideales, no son objetos materiales, no son realidades físicas como una piedra, una planta, un hombre o una estrella. Podemos ver y tocar un trozo de madera o una chapa de zinc, podemos romper o partir ese pedazo de madera y también, podemos doblar o perforar esa chapa de zinc. Pero no podemos realizar alteración física alguna en un objeto matemático por el simple hecho de que tales objetos no son objetos materiales. Más aún: Nunca persona alguna ha visto o tocado un número, un triángulo, un cubo o uno cualquiera de los entes matemáticos. Una recta no es la arista de una mesa, ni un círculo es una moneda. La proposición: "Hay un número llamado 7" se refiere a algo que tiene una existencia diferente de la existencia de los objetos referida por la proposición: "Hay peces en el mar". Existencia, para ser considerada en los objetos matemáticos, es completamente distinta de la existencia de los objetos del mundo físico. "Una bola de billar –dice Kasner– puede tener como una de sus propiedades, en adición a su blancura, redondez, dureza, etc., una relación de circunferencia a diámetro que involucra al número 𝝅 (pi). Estamos de acuerdo en que tanto la bola de billar como el número 𝝅 (pi) existen; debemos también convenir en que la bola de billar y 𝝅 (pi) llevan diferentes clases de vida."
Los objetos matemáticos no son realidades físicas; poseen plena objetividad y una estructura formal permanente e indeformable, ajena al arbitrio del sujeto que los piensa. No se deterioran con el tiempo, son extraños al tiempo, no dependen de las variaciones del clima ni de las variaciones del ámbito (espacio físico) donde nos movemos. Están fuera del tiempo y del espacio físico real.
Dice Ernesto Sábato (en Uno y el Universo, Buenos Aires, Ed. Sudamericana, 1973, p. 106):
"Cheops, construida con dura piedra y con el sacrificio de miles de esclavos, es implacablemente derruida por la arena y el viento del desierto; la pirámide matemática que forma su alma, invisible, ingrávida, impalpable, resiste el embate del tiempo; más todavía, está fuera del tiempo, no tiene origen, no tiene fin."
b) Los materiales concretos utilizados para el aprendizaje de la matemática son objetos reales o sensibles. Podemos verlos o tocarlos, o pintarlos, o rayarlos. Podemos recortarlos o cambiarlos de lugar o superponer los. Existen en el tiempo y en el espacio. También las representaciones gráficas dibujadas en pizarrones, en hojas, en cuadernos o en las arenas de la playa de Siracusa, son objetos concretos. Pueden borrarse, pintarse, acariciarse. La experiencia de representar un "punto" marcando en el pizarrón un pequeño signo con la tiza, (al que nombramos asignando una letra cualquiera, por ejemplo p) sólo manifiesta concretamente un modelo de punto. El punto matemático es algo abstracto y el dibujo del pizarrón –huella minúscula compuesta por gránulos de tiza– es un burdo modelo concreto. Un "triángulo" de cartulina es, en realidad, un trozo de cartulina. La forma de triángulo que concibe nuestra mente es un modo intelectual especial de abstracción. Destruido el pedazo de cartulina, continuará en nosotros el modelo ideal de triángulo matemático
¿Quién ha visto la recta o la circunferencia? Nadie.
La recta o la circunferencia que vemos dibujadas
son imágenes representativas; es decir, siempre imperfectas.
Jorge Luis Borges diría: Esta advertencia es antigua. Quizás en los años 100 a. C., la "disparó" el "divino" Platón en La República:
" —Sabés también, por consiguiente —seguí— que se valen de las figuras visibles y que razonan apoyándose en estas figuras, aunque al hacerlo no piensen ciertamente en ellas, sino en aquellas a las que éstas representan. Es decir, que cuando razonan sobre el cuadrado o sobre la diagonal piensan en el cuadrado propiamente dicho y en la diagonal en sí, y no en el cuadrado y diagonal que han trazado, y lo mismo respecto a las demás figuras. Es decir, que todas estas figuras que modelan o dibujan, figuras capaces de producir sombras o de reflejarse en el agua, son empleadas por ellos como si fuesen a su vez imágenes, y con el único objeto de llegar al conocimiento de esos objetos superiores que solamente son advertidos por el pensamiento. —Así es—dijo".
Platón. La República, Madrid, Ediciones Ibéricas, 1959, pp. 324, 325.
Cuando un alumno trabaja con, por ejemplo, los bloques lógicos de Dienes, no está manipulando figuras ni cuerpos geométricos. Ningún bloque es un triángulo, ni un círculo, ni un rectángulo, ni un cuadrado, tampoco es un cuerpo geométrico: ni un cilindro, ni un prisma. Cada bloque es, ni más ni menos y por decepcionante que a algunos les parezca un trozo de madera, pintado. Se puede rajar, se puede partir, se puede lijar y puede ser usado para "empezar" el fuego cuando nos preparamos para un asadito.
c) En cuanto a los nombres, palabras, dibujos o símbolos de cualquier tipo, utilizados para referirnos a los objetos, nos atrevemos a afirmar que estamos ante la presencia de una vital y muy delicada cuestión: LA COMUNICACIÓN.
Nos dice certeramente Richard R. Skemp:
"Un concepto es un objeto puramente mental –inaudible e invisible– .
Puesto que no tenemos un medio para observar directamente el contenido de la mente de los demás, ni para permitir el acceso de otros a la propia, tenemos que utilizar medios que sean audibles o visibles - palabras habladas u otros sonidos, palabras escritas u otras marcas sobre el papel (anotaciones). Un símbolo es un sonido, o algo visible, conectado mentalmente a una idea. Esta idea es el significado del símbolo. Sin una idea ligada, un símbolo es vacío, carente de significación." (...)
(...) "Tomemos, como punto de partida:
I. que un símbolo, y el concepto asociado, son dos cosas diferentes;
II. que esta distinción no es trivial, siendo la que hay entre un objeto y su denominación.
Si un objeto es llamado por otro nombre, no cambiamos el objeto mismo: y esto es un acierto para un objeto de pensamiento – en el presente contexto, una idea matemática– Por ejemplo, "cinco", "five", "cinq", "5", "V", "101" todos se refieren al mismo número, en diferentes notaciones."
Richard R. Skemp, Psicología del aprendizaje de las matemáticas, Madrid, Ediciones Morata, 1980.
Esta breve y profunda referencia de Skemp, marca por si sola la profundidad del tema. Es interesante recordar que: lenguaje y matemática han sido descritos por Bruner como "un cálculo de pensamiento", y son sus sistemas simbólicos los que hacen que sean así. Sin un lenguaje apropiado, gran parte del potencial de la inteligencia humana queda sin realizarse. Éste es el verdadero problema que la educación debe enfrentar.
(*)Tomado de: Palacios, A, R, y Giordano, E, H. (1996). Geometría de papel. El arte del bien plegar. Buenos Aires: MAGISTERIO DEL RÍO DE LA PLATA.
Te recomendamos leer:
Comentarios
Publicar un comentario