CÁLCULO ▅▅▅▅▅▅▅▅
Del latín calculus, "guijarro", "piedrecita", diminutivo de calx. Compárese su relación semántica con "cálculo biliar" o "cálculo renal". Los niños romanos llevaban a la escuela una bolsita con piedritas, que utilizaban para contar u operar.
Cf.: cal, caliza, calcárea, calcinar, calculosis, calzado.
Dice Francisco Vera (1):
ábaco
Del griego ábax, tabla, a través de latín abacus, cuadro. Aparato usado antiguamente para facilitar los cálculos y que puede considerarse tan viejo como la Aritmética. Su forma varió con el tiempo, adaptándose su disposición a las necesidades del sistema de numeración usado en cada pueblo.
Del griego ábax, tabla, a través de latín abacus, cuadro. Aparato usado antiguamente para facilitar los cálculos y que puede considerarse tan viejo como la Aritmética. Su forma varió con el tiempo, adaptándose su disposición a las necesidades del sistema de numeración usado en cada pueblo.
El ábaco primitivo era un tablero rectangular sobre el cual se extendía una capa de polvo -y de aquí la posible etimología, del hebreo abak, polvo- en la que el calculador escribía con el dedo o con un estilete los signos que representaban los números, haciendo luego las cuentas por medio de piedrecitas.
Dicen, al respecto, J. Rey Pastor y F. Toranzos (2):
CÓMO CALCULABA PITÁGORAS. Para que el alumno aprecie mejor el alto valor práctico de la numeración, vea las dificultades con que tropezaban los antiguos para calcular con piedrecillas (calculi). Pitágoras parece ser el inventor del ábaco, que consiste en una tabla dividida en 8 columnas, que representan de derecha a izquierda las unidades simples, de primer orden, de segundo, etc. En cada columna existen cuatro bolitas que representan unidades, y aparte (en la figura es negra y ocupa la parte inferior) una bolita que vale por 5.
Para formar por ej., el número 7, se agrupan dos bolitas blancas y una negra, como se ve en la 5ª columna. El número representado en la figura es el 972603. Para sumar, basta proceder de derecha a izquierda en forma análoga a como hacemos con las cifras.
El ábaco fue llamado tabla pitagórica, y este nombre bien justificado de tabla, por ser un tablero de madera, se ha extendido a todo cuadro o catálogo de números.
Más tarde se construyó el ábaco que actualmente se usa en las escuelas, en el cual las bolitas están atravesadas por un alambre; pero el ábaco clásico, único instrumento de cálculo en todo el orbe más de quince siglos, era más rudimentario.
CARDINAL ▅▅▅▅▅▅▅
Del latín cardinalis, "referido a los goznes" y, de allí, "principal". De cardo, "pivote", "gozne"; "punto sobre el que gira todo". En aritmética se habla de los números cardinales, también llamados naturales.
En un libro llamado De figuris numerorum, el gramático latino Prisciano de Cesarea, del siglo VI, utiliza la expresión cardinales numeri, para referirse a los números naturales.
Cf.: virtudes cardinales; puntos cardinales.
Dice Tobías Dantzig (3):
Entramos en una sala de espectáculos. Tenemos delante de nosotros dos conjuntos: el de los asientos de la sala, y el de los espectadores. Sin contar, nosotros podemos asegurar si esos dos conjuntos tienen o no igual número de elementos, y si no lo tiene, cuál es el que tiene mayor número. En efecto, si cada asiento está ocupado y nadie está de pie, sabemos sin contar que los dos conjuntos tienen igual número; y si todas las sillas están ocupadas y hay gente de pie en la sala, sabemos sin contar que hay más personas que asientos.
Nosotros obtenemos este conocimiento gracias a un procedimiento que domina todas las matemáticas, y que ha recibido el nombre de correspondencia biunívoca, el cual consiste en atribuir a cada objeto de un conjunto un objeto de otro, y continuar así hasta que uno o ambos conjuntos se agoten.
La técnica del número, en muchos pueblos primitivos, se reduce precisamente a tales apareamientos o a la hechura de incisiones.
Registran ellos el número de sus rebaños o de sus soldados por medio de incisiones hechas en un árbol o por medio de piedras puestas en una pila. Tenemos una prueba del empleo de procedimientos análogos por nuestros antepasados en la etimología de las palabras inglesas tally (tarja) y calculate (calcular); la primera viene de la palabra latina del mismo significado talea (talla) y la segunda de calculus (piedra).
Parecería a primera vista que el procedimiento de correspondencia biunívoca sólo nos puede suministrar un medio de comparar dos conjuntos, pero que es incapaz de crear el número en el sentido absoluto de la palabra; sin embargo, la transición del número relativo al absoluto no es difícil; basta crear conjuntos modelos, de los cuales cada uno caracteriza una agrupación posible. La evaluación de cualquier conjunto dado queda entonces reducida a la selección, entre los conjuntos modelos, de aquél que pueda ser puesto en correspondencia biunívoca con el conjunto dado.
El hombre primitivo encuentra tales modelos en las cosas que lo rodean: las alas de un pájaro pueden simbolizar el números dos; las hojas del trébol el tres; las patas de un animal el cuatro; los dedos de su mano el cinco. Evidencias de que ése es el origen de los nombres de los números pueden encontrarse en varios idiomas primitivos. Es claro que, una vez que el nombre del número ha sido creado y adoptado, se vuelve un modelo tan útil como el objeto que representaba originariamente. La necesidad de distinguir entre el nombre del objeto de que nos servimos y el propio símbolo numérico debe de haber conducido naturalmente a producir un cambio en su expresión oral, hasta que finalmente, en el transcurso del tiempo, la conexión entre los dos desapareció completamente de la memoria. A medida que el hombre aprendió a servirse más y más de su lenguaje, los sonidos reemplazaron a las imágenes para las cuales fueron creados, y los modelos concretos originales tomaron la forma abstracta de los nombres de los números. La memoria y el hábito dieron una forma concreta a estas abstracciones, y es así como simples palabras se transformaron en medidas de pluralidad.
El concepto que acabamos de describir recibe el nombre de número cardinal. El número cardinal está basado sobre el principio de correspondencia; no implica la acción de contar. Para crear el proceso de contar, no es suficiente disponer de una variada agrupación de modelos, por extensa que sea; es necesario que organicemos un sistema de números, que dispongamos nuestro conjunto de modelos según una sucesión ordenada, una sucesión que progrese en el sentido de las magnitudes crecientes, la sucesión natural: uno, dos, tres... Una vez creado este sistema, contar una colección significa asignar a cada elemento un término de la sucesión natural en el orden de ésta, hasta que la colección se agote. El término de la sucesión natural asignado al último elemento de la colección se llama el número ordinal de la colección.
El sistema ordinal puede tomar la forma concreta de un rosario, pero bien entendido que esto no es indispensable. Un sistema ordinal adquiere existencia cuando la memoria ha registrado los nombres de los primeros números en el orden en que se suceden, cuando se ha imaginado un sistema fonético para pasar de un número cualquiera, por grande que sea, al siguiente. Nosotros hemos aprendido a pasar con tal facilidad del número cardinal al número ordinal, que los dos aspectos se nos presentan como uno solo. Cuando queremos determinar la pluralidad de una colección, o sea su número cardinal, no nos molestamos en encontrar una colección modelo con la cual podamos compararla; simplemente, la contamos; y al hecho de haber aprendido a identificar los dos aspectos del número se deben nuestros progresos en matemáticas. En efecto, a pesar de que en la práctica es el número cardinal el que realmente nos interesa, éste último es incapaz de servir de base a una aritmética. Las operaciones aritméticas están basadas sobre la hipótesis tácita de que siempre podemos pasar de un número cualquiera al siguiente, y ésta es la esencia del concepto de número ordinal.
Y así, el apareamiento por sí solo es incapaz de crear un arte de calcular. Sin nuestra facultad de disponer los objetos en sucesión ordenada, pocos progresos podrían haberse obtenido. Correspondencia y sucesión, los dos principios que impregnan toda la matemática, mejor dicho, todos los dominios del pensamiento exacto, están entretejidos en la verdadera trama de nuestro sistema numérico.
CATETO ▅▅▅▅▅▅▅▅
Del griego káthetos, que significa "que cae" o "que es lanzado hacia abajo". Del verbo verbo kathíemi, "lanzar hacia abajo" o "caer".
Se aplica a cada a cada uno de los dos lados del triángulo rectángulo que bajan, del vértice del ángulo recto, a la hipotenusa, o línea horizontal tendida por debajo.
▪ HIPOTENUSA
Del verbo griego hypotéino, que significa “tender por debajo”, “sugerir”, “tender con fuerza”, “estirar". El sustantivo hypotéinusa, aparece en el diálogo Timeo, de Platón.
CATORCE ▅▅▅▅▅▅▅▅
Del latín quattuordecim, de quattuor, "cuatro" y decim, "diez". Similar formación tienen:
- once..................... undecim
- doce..................... duodecim
- trece......................tredecim
- quince..................quindecim
El término quattuor da origen, a su vez, a varias palabras del lenguaje matemático y, por extensión, a otras del lenguaje usual.
Cf.: cuadrado, cuadrante, cuadrilátero, cuaderno, cuádriga, cuádriceps, cuartear, cuadrúpedo, cuarteto, cuatrero.
Dice Tobías Dantzig (3):
¿Qué edad tiene nuestro lenguaje numérico? Es imposible indicar el período exacto en el cual se originaron las palabras numéricas; pero hay indudable evidencia de que precedieron en varios miles de años a la aparición de la escritura. Un hecho mencionaremos ya: todas las trazas de la significación inicial de las palabras numéricas en las lenguas europeas, con la posible excepción de cinco, están perdidas, y este hecho es tanto más notable si se tiene en cuenta que, como regla, las palabras numéricas poseen una estabilidad extraordinaria. Mientras el transcurso del tiempo ha producido cambios radicales en todos los otros aspectos, encontramos que el vocabulario de los números ha quedado prácticamente inalterado, hasta el punto de que esta estabilidad ha sido utilizada por los filólogos para establecer parentescos entre grupos lingüísticos aparentemente alejados. Basta para convencerse echar una ojeada a la tabla expuesta al final del capítulo, donde se comparan las palabras numéricas de las principales lenguas indoeuropeas.
¿Cómo es entonces que, a despecho de esta estabilidad, no se encuentra ningún vestigio de la significación original? Una hipótesis plausible es la siguiente: mientras que los nombres de los números han quedado invariables desde los días de su creación, los nombres de los objetos concretos que les dieron nacimiento han sufrido una metamorfosis completa.
CIFRA ▅▅▅▅▅▅▅▅▅
Del árabe sifr, "vacío", "hueco"; nombre dado al número cero. Se aplicó, posteriormente, para nombrar a cualquiera de los diez signos -cifras o guarismos- mediante los cuales se pueden simbolizar los números, en el sistema de numeración posicional de base diez.
Otros nombres del cero
- naugth, "nada".
- sunya, "vacío", de origen hindú.
- as-sifr, zifer, de origen árabe.
- zephirum (Fibonacci, 1202).
- tziphra (Planudes, 1340).
- zevero, zepiro, sipos, null, zeron, cifra, figura nihili, circulum parvulum; Buteo (1559) lo llamaba omicron.
Cifra quiere decir, también, "signo secreto", significado conservado en el vocablo descifrar.
Cf.: J. L. Borges, La Cifra, Buenos Aires, Ediciones Emece, 1981.
CILINDRO ▅▅▅▅▅▅▅▅
Del griego kylindros, "rodillo". Proviene del verbo kylindéo, "dar vueltas”, “rodar”.
▪ CUBO
Del griego kybos, palabra que en su origen designaba "la curvatura", tanto cóncava como convexa. Por eso se llamaba así a la cavidad ventral del animal, de donde "lo saliente", "la vértebra". De allí pasó a designar el hueso con el que se jugaba (como la taba), de donde "el dado".
CÍRCULO ▅▅▅▅▅▅▅▅
Del latín circulus, diminutivo de circus, "cerco", "círculo" o "circo".
▪ CICLO
Del latín cyclus y éste del griego kyklos, "círculo" o "todo objeto circular". En su origen significaba "giro".
Cf.: bicicleta, triciclo, ciclón, cíclope, Islas Cícladas, encíclica, enciclopedia.
▪ CIRCUNFERENCIA
Del latín circumferentia, de circum, "alrededor" y ferens, "que lleva"; es decir, "que lleva alrededor".
Cf.: circunvalación, circunstante, circumpolar.
▪ DIÁMETRO
Del griego dia, "a través de" y metron, "medida".
Cf.: diapositiva, diagrama, diapasón.
▪ PERÍMETRO
Del griego peri, "alrededor" y metron, "medida".
Cf.: periferia, pericardio, perífrasis, periplo, peristilo.
Dice I. Asimov (4):
En primer lugar, ¿qué es π? Pues bien, es la letra griega pi, que representa el cociente entre el perímetro de una circunferencia y la longitud de su diámetro. Perímetro proviene del griego perimetron, que quiere decir "la medida alrededor", y diámetro viene del griego diametron, que significa "la medida a través". Por alguna razón desconocida, mientras es costumbre hablar del perímetro de los polígonos, también se acostumbra a cambiar por la palabra latina circunferencia al referirse a los círculos. Supongo que está bien (no soy un purista), pero esto tiende a ocultar el origen del símbolo π.
Allá por el 1600 el matemático inglés William Oughtred, al discutir el cociente entre el perímetro de un círculo y su diámetro, empleó la letra griega π para representar al perímetro y la letra griega δ (delta) para representar al diámetro. Eran las iniciales de perimetron y diametron, respectivamente.
Pero los matemáticos simplifican las cosas muy a menudo igualando a la unidad todos los valores que pueden. Por ejemplo, pueden hablar de un círculo de diámetro unidad. En ese círculo la longitud del perímetro tiene un valor numérico que es igual al cociente entre el perímetro y el diámetro. (Supongo que esto es evidente para algunos de ustedes, y los demás pueden aceptar mi palabra de que es así).
Como en un círculo de diámetro unidad, el perímetro es igual al cociente, este cociente puede representarse por medio de π, el símbolo del perímetro. Y como los círculos de diámetro unidad se encuentran con frecuencia, el hábito acaba por convertirse en regla.
El primer hombre de alto vuelo que empleó π como símbolo del cociente entre el perímetro de un círculo y la longitud de su diámetro fue el matemático suizo Leonhard Euler, en 1737, y lo que a Euler le pareció bien les pareció bien a todos los demás.
Ahora sí puedo volver a llamar circunferencia a la curva que encierra al círculo.
Pero ¿cuánto vale en cifras el cociente entre la circunferencia y su diámetro?
Parece ser que esta pregunta siempre preocupó a los antiguos, incluso mucho antes de que se hubiera inventado la matemática pura. En cualquier clase de construcción que sea más complicada que un gallinero, uno tiene que calcular de antemano todo tipo de mediciones, para no tener que pasarse la vida gritándole a algún peón: "¡Imbécil, a estas vigas les faltan diez centímetros!" Y para hacer las mediciones, siendo el universo como es, siempre hay que usar el valor de π para multiplicar. Aún cuando usted no trabaje con círculos, sino solamente con ángulos (y a los ángulos no los puede evitar) va a tener que tropezar con π.
Es de suponer que los primeros calculistas empíricos que observaron que el cociente es importante, deben de haber determinado ese cociente dibujando una circunferencia y dividiendo directamente las longitudes del diámetro y de la circunferencia. Por supuesto que medir la longitud de la circunferencia es un problema difícil que no se puede resolver empleando la regla común de madera pues ésta resulta demasiado poco flexible para la medición.
Lo que probablemente hicieron los constructores de las pirámides y sus predecesores fue colocar con mucho cuidado una cuerda de lino a lo largo de la circunferencia, trazar una marca pequeña en el punto donde se completaba la circunferencia, para después enderezar la cuerda y medirla con el equivalente de una regla. (Los matemáticos teóricos actuales se enojan por esto y hacen comentarios despreciativos como: "... pero usted está suponiendo sin ninguna garantía que después de enderezar la cuerda, ésta tiene la misma longitud que tenía cuando estaba curvada". Yo me imagino que el honesto trabajador que organizaba la construcción del templo local, puesto frente a esta clase de objeciones, habría resuelto las cosas arrojando el criticón al Nilo.).
▪ RADIO
Del latín radius, que significaba "vara", "rama"; "regla del geómetra"; "rayo de rueda", "lanzadera del telar"; "rayo proyectado por un objeto luminoso".
El término latino, a su vez, proviene del griego rabdos, "vara".
Cf.: radbomancia.
CÓNCAVO ▅▅▅▅▅▅▅
Del latín concavus, "hueco", "arqueado", formado por cum (con, junto a) y cavus (hueco, ahuecado, profundo; lo que no está lleno, vacío, vano, sin consistencia).
▪ CONVEXO
Del latín convexus, "redondeado, de forma circular", "curvado". Formado por cum (con, junto con) y veho (llevar, transportar).
Cf.:
CONCRETO- ABSTRACTO ▅▅▅▅▅
Si bien estos dos términos se suelen relacionar con "singular" y "universal", su significación es totalmente diversa.
Concreto proviene del latín concretum, participio del verbo concresco, formado por cum (con, junto con) y cresco (crecer) de modo que el término latino significa "crecer una cosa con otra" y, de allí, "espesarse", "tomar consistencia". Por eso "concreto" es la cosa con todo lo que le corresponde y la acompaña, la cosa "consistente" (de cum y sistere = "establecer", "colocar", "poner" y, de allí "estar", "mantenerse", "detenerse"). De modo que todo lo que nos rodea es concreto, en cuanto está allí con todas sus características y sus propiedades.
Abstracto, en cambio, deriva del latín abstractum, también participio, pero del verbo abstraho, compuesto de abs (de, desde, de junto a) y traho (tirar, traer), es decir, "llevar", "sacar", "retirar", "separar", "arrancar", "apartar". "Abstracto" es lo que se ha separado de su contexto, se ha sacado de su circunstancia y se ha tomado separadamente, sin todo aquello que conforma la totalidad de su existencia real.
Abstracto y concreto no se distinguen, pues, como lo universal y lo singular, sino como lo que se ha tomado separadamente, sin tener en cuenta todo lo demás que lo acompaña o le pertenece, lo que se ha tomado desde un solo punto de vista, lo que se considera en un solo orden o perspectiva, frente a la cosa en su totalidad y con toda su "circunstancia".
Los entes matemáticos -números, triángulos, prismas, conjuntos, etc.- son abstractos.
CURDA
Como consecuencia de tanta bebida, llegamos a CURDA y CURDELA, términos que registra la Academia con la misma acepción familiar, y que usados en femenino (la curda) significan borrachera, embriaguez, y en masculino (el curda) borracho, ebrio.
Su etimología está llena de gracia.
Bien sabemos que en todas las épocas hubo comerciantes deshonestos que adulteraban sus mercancías para ganar más dinero, siendo un ejemplo clásico el agregado de agua al vino.
España no fue una excepción y jocosamente se dio en llamarlo vino bautizado.
Pero la cosa no terminó ahí pues el genuino, el no bautizado no podía quedar sin su apelativo gracioso; hubo de dársele un nombre y nada mejor que el del hereje, o sea que se lo llamó vino turco. Como era más fuerte que el otro, se suponía que todo aquél que se embriagaba lo hacía con vino puro, naciendo la expresión "se agarró una turca".
Posteriormente la tornadiza imaginación popular efectuó una modificación geográfica, cambiando Turquía por Curdestán y el resultado fue "se agarró una curda" aceptado también por la Academia.
Referencias Bibliográficas
(1) VERA, F.-Matemática. Lexicón Kapelusz. Buenos Aires, Kapelusz, 1960.
(2) REY PASTOR, J. Y TORANZOS F. - Geometría, Buenos Aires, Espasa-Calpe, Argentina, 1940.
(3) DANTZIG, T.- El número: lenguaje de la ciencia. Buenos Aires, Hobbs- Sudamericana, 1971.
(4) ASIMOV, I.- De los números y su historia. Buenos Aires, Librería "El Ateneo" Editorial, 1981.
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