Por José del Río Sánchez.
Profesor de Secundaria de Salamanca.
En el prólogo a la Geografía fantástica del alfabeto español que escriben los miembros de la Real Academia Española inspirándose en la letra del sillón que en ella ocupan, el director, García de la Concha, citando a S. Sosnowski, explica la génesis del relato borgiano y de su título. Borges quería encontrar un objeto que pudiera contener dentro de sí todo el espacio cósmico de la misma manera que, en la eternidad, coexiste todo el tiempo —pasado, presente y futuro—; por eso inventa —¿no es la eternidad también una invención?— esa “esfera de dos o tres centímetros de diámetro” a la que, en principio, llama mihrab, nombre del espacio sagrado de las mezquitas árabes. Pero, al leer el cuento ya ultimado, Borges, más que bautizarlo, reconoce el verdadero nombre de ese objeto, aleph, el nombre de la letra hebrea que, aunque no puede ser articulada, permite articular las demás y, por extrapolación lingüísticoliteraria, encierra en sí el universo. En la posdata del cuento, Borges escribe dos observaciones
sobre la naturaleza y el nombre de ese objeto; en una de ella menciona que, para la teoría de conjuntos, el aleph representa a los números transfinitos. ¿Existe alguna relación entre el aleph borgiano y el aleph matemático? En caso de que exista, ¿el escritor la conocía y la utilizó conscientemente en la elaboración de su cuento? Y si no existe, ¿por qué hace esa referencia en el apéndice?
sobre la naturaleza y el nombre de ese objeto; en una de ella menciona que, para la teoría de conjuntos, el aleph representa a los números transfinitos. ¿Existe alguna relación entre el aleph borgiano y el aleph matemático? En caso de que exista, ¿el escritor la conocía y la utilizó conscientemente en la elaboración de su cuento? Y si no existe, ¿por qué hace esa referencia en el apéndice?
Para contestar a estas preguntas, debo empezar recordando brevemente lo que son los números
transfintos. La operación de contar, por primaria y natural que parezca, fue precedida históricamente
(y es precedida en el desarrollo evolutivo de cada persona) por la operación de comparar. Sin saber nada de números, un hombre primitivo, por comparación, puede decidir si la cantidad de sus flechas es mayor, menor o igual que la de los dedos de una mano. Cuando existe una correspondencia uno a uno (biunívoca) entre los elementos de un conjunto y los de otro, dichos conjuntos son equiparables, y matemáticamente se dice que tienen el mismo “cardinal”.
Al cardinal de todos los conjuntos equiparables con los dedos de una mano, en nuestra cultura lo representamos por el símbolo “5”, pero los romanos lo representaron por “V”, los mayas por “-“, los etruscos por “^” , etc. El signo es convencional, el concepto universal. De este modo, se ha construido un conjunto ordenado
1, 2, 3, 4, 5...
que sirve como patrón abstracto para comparar y para contar. Por ejemplo, si deseamos contar las caras de un dado, “ponemos” en cada cara un número de esta serie empezando por el 1; el último, 6, nos indica cuántas caras tiene el dado. Estos números se llaman, como sabemos, números naturales o enteros positivos y, a partir de ellos, se construyen las demás clases de números: racionales, reales, complejos, etc. En el último cuarto del s. XIX, a George Cantor, un atormentado profesor de matemáticas de una universidad alemana poco relevante, se le ocurrió la idea revolucionaria de extender este proceso a conjuntos infinitos, es decir, “comparar” conjuntos infinitos mediante correspondencias entre sus elementos. De este modo descubrió, por ejemplo, que entre los números naturales y los números pares existe una correspondencia biunívoca:Números naturales: 1 2 3 4 5 ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Números pares: 2 4 6 8 10 ...
Ahora ya podemos volver a la primera de las preguntas: ¿Qué tienen que ver estos alephs con la esfera de Borges? En la narración se encuentran tres “definiciones” de ese objeto más o menos explícitas y no contradictorias (recordemos que analizamos un texto literario):
1. Un lugar del espacio que contiene todos los puntos.
2. Un lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe.
3. Un objeto secreto y conjetural cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.
Ninguna de esta caracterizaciones relaciona, en sentido estricto, el aleph de Borges con los alephs matemáticos, porque éstos, como hemos visto, expresan la “cantidad” de elementos de un conjunto infinito, pero no son “puntos” donde estén contenidos todos los “puntos” de un conjunto. Estas definiciones apuntan más bien hacia la geometría. ¿Existen otros conceptos matemáticos que puedan ilustrar, explicar, realizar, convertir en metáfora el aleph de Borges?
Creo que sí. La clave para empezar se encuentra en la tercera “definición" : el inconcebible universo. ¿Es inconcebible el universo? Al margen de lo que opinen los demás científicos, los matemáticos han probado que Borges tiene razón: el “universo absoluto” es inconcebible. Lo explicaré con un ejemplo. Consideremos el conjunto de las tres primeras letras de nuestro alfabeto: {a, b, c}. Podemos formar tres subconjuntos distintos con una letra cada uno:
pertenece al conjunto completo, y lo mismo le sucede al conjunto vacío. Ahora formamos otro conjunto con todos ellos:
de cualquier número entero por uno de éstos sigue siendo un múltiplo de 3 o 0. Estos subconjuntos se llaman “ideales” y con ellos se construye un espacio denominado “espectro del anillo” donde cada punto representa un ideal. Podemos imaginarlo, en el caso de los números enteros, como una sucesión numerable de puntos alineados:
1. Un lugar del espacio que contiene todos los puntos.
2. Un lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe.
3. Un objeto secreto y conjetural cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.
Ninguna de esta caracterizaciones relaciona, en sentido estricto, el aleph de Borges con los alephs matemáticos, porque éstos, como hemos visto, expresan la “cantidad” de elementos de un conjunto infinito, pero no son “puntos” donde estén contenidos todos los “puntos” de un conjunto. Estas definiciones apuntan más bien hacia la geometría. ¿Existen otros conceptos matemáticos que puedan ilustrar, explicar, realizar, convertir en metáfora el aleph de Borges?
Creo que sí. La clave para empezar se encuentra en la tercera “definición" : el inconcebible universo. ¿Es inconcebible el universo? Al margen de lo que opinen los demás científicos, los matemáticos han probado que Borges tiene razón: el “universo absoluto” es inconcebible. Lo explicaré con un ejemplo. Consideremos el conjunto de las tres primeras letras de nuestro alfabeto: {a, b, c}. Podemos formar tres subconjuntos distintos con una letra cada uno:
{a} , {b} , {c}
También podemos formar otros tres con dos letras:{a, b} , {a, c} , {b, c}
El conjunto de las tres letras también se considera un subconjunto porque cada uno de sus elementospertenece al conjunto completo, y lo mismo le sucede al conjunto vacío. Ahora formamos otro conjunto con todos ellos:
{ {a} , {b} , {c} , {a,b} , {a,c} , {a,d} , {a,b,c} , { } }
Este nuevo conjunto contiene a nuestro conjunto inicial y a otros más. Ahora imaginemos que existiera el “conjunto universal”, es decir, el conjunto que contiene a todos los conjuntos. Con el procedimiento anterior, construiríamos un conjunto mayor que él, lo cual contradice su hipotética naturaleza de universal. En consecuencia, el conjunto universal no existe, no es un concepto matemático, es inconcebible. En matemáticas sólo existen universos “referenciales”: son el marco en el que suceden ciertas clases de fenómenos; por ejemplo, la aritmética más elemental se desarrolla en el ámbito de los números enteros: ése es su “universo”. Pues bien, como sabemos, este conjunto y otros muchos análogos, llamados “anillos”, contienen algunos subconjuntos especiales que se caracterizan por estas dos propiedades: la diferencia de dos de sus elementos siempre pertenece al subconjunto y el producto de un elemento cualquiera por uno del subconjunto siempre da como resultado un elemento del subconjunto. Por ejemplo, consideremos por múltiplos de 3 junto con el cero:{ 0, 3, 6, 9 ... }
La diferencia de dos cualesquiera de estos números también es un múltiplo de 3 o 0, y el productode cualquier número entero por uno de éstos sigue siendo un múltiplo de 3 o 0. Estos subconjuntos se llaman “ideales” y con ellos se construye un espacio denominado “espectro del anillo” donde cada punto representa un ideal. Podemos imaginarlo, en el caso de los números enteros, como una sucesión numerable de puntos alineados:
• • • • • …
(0) (1) (2) (3) (4)
Pero hay un punto más: el correspondiente al conjunto completo que es también un ideal. Este punto contiene a todos los ideales, es decir, a todos los puntos del espectro, y evidentemente no podemos dibujarlo, sólo imaginarlo; se llama “punto genérico”. La esfera de Borges, su Aleph, sería ese punto. Por lo tanto, a mi juicio, la explicación más coherente que puede darse sobre el sentido matemático de la metáfora borgiana sería esta: si el cosmos fuera el espectro de un anillo, el Aleph de Borges sería su Punto Genérico. En conclusión, creo que el escritor no conocía la teoría espectral y que la referencia a la teoría conjuntista en el apéndice de su relato no tiene como objeto la justificación del nombre asignado a su esfera cósmica, sino mostrar la potencia semántica de la letra hebrea. De todos modos, el descubrimiento de la relación, siquiera metafórica, entre el cuento de Borges y una teoría matemática ¿es algo casual o más frecuente de lo que creemos?Tomado de: SIGMA. Revista de Matemática. Nº 21. Octubre 2002.
"Sospecho que la palabra infinito fue alguna vez una insípida equivalencia de inacabado; ahora es una de las perfecciones de Dios en la teología y un discutidero en la metafísica y un énfasis popularizado en las letras y una finísima concepción renovada en las matemáticas (...) y una verdadera intuición al mirar al cielo".
Jorge Luis Borges
 Ana María Montes, D'Après Rafael LA ESCUELA DE ATENAS (Detalle: Platón y Aristóteles) | |||
Tomado de: José Edmundo Clemente y Alfredo Raúl Palacios. Biografía del Infinito. Jockey Club de la Provincia de Buenos Aires. Ciclo Cultural 1983
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