Relaciones.

Dice Oscar Varsavsky:

Todas las proposiciones que se refieren a dos objetos nos dan relaciones. “H es abuelo de R” nos da la relación “ser abuelo” entre personas; “20 es menor que 25”, la relación “menor” entre números. Otra importante relación entre números que se llama “sucesor” es la que existe entre cada número natural y el siguiente: “20 tiene por sucesor a 21”.

• Si a cada relación le ponemos por nombre una letra o cualquier otro símbolo, necesitaremos dos letras más para designar los dos objetos a que se refiere la relación. Así, si la relación “es abuelo de” la representamos por A, escribiremos:

aAp

para simbolizar “a es abuelo de p”, donde a y p son los nombres de dos personas.

• Si N simboliza “es la capital de”,

rNm

se lee “r es la capital de m”, donde r es el nombre de una ciudad, y m el nombre de un país.

• Si a y b son números y S simboliza la relación de ser el siguiente o sucesor,

aSb

se leerá: “a tiene por sucesor a b”, o “el sucesor de a es b”.

• La relación “es menor que” entre números se usa tanto que ya tiene un símbolo propio: “<”

a<b

se lee “a es menor que b”.

• Si a es 20 y b 21 la proposición que resulta “20<21” es verdadera. Si a es 21 y b es 20, la proposición “a<b” significa 21<20, lo cual es falso. Pero 21<20 es, lo mismo, una proposición. Cada vez que formemos una de estas proposiciones con una relación y dos objetos, si es verdadera la escribiremos sin hacer ninguna aclaración:

13<15    ;     Napoleón murió en 1819

• En cambio, si es falsa lo diremos explícitamente:

10<5     es falsa       ;     Napoleón murió en 1900     es falsa

En símbolos, si R es una relación y a y b dos objetos, aRb a secas, significará que aRb es verdadera.

Si es falsa, lo diremos.

Primero y segundo sujeto de una relación

En todos los ejemplos dados, el orden de los objetos es importante; vamos a llamarlos primer sujeto y segundo sujeto de la relación y tiene que estar claro cuál es el primero y cuál es el segundo.

Al escribir pondremos siempre el primero a la izquierda y el segundo a la derecha del símbolo de la relación. Los dos sujetos forman un par ordenado.

En 20<21, el par ordenado está formado por 20 y 21, en ese orden, y se lo escribe así: (20,21).

En “Miguel es abuelo de Pablo” el par ordenado es (Miguel, Pablo).

Para la Gramática las proposiciones tienen un solo sujeto; por ejemplo, el sujeto gramatical de la oración “Alicia es amiga de Laura” es Alicia. Nosotros llamaremos sujeto tanto al sujeto gramatical como al otro objeto que interviene en la relación (Laura).

Referencia bibliográfica:

Varsavsky, O. (1964). Álgebra para las escuelas secundarias. Tomo I. Buenos Aires: Eudeba.