por Alfredo Raúl Palacios(*)
En el intento por efectuar una caracterización de los métodos educativos, debemos considerar, como factor muy importante, la manera de adquirir los conocimientos. Si tomamos este punto de vista, clasificamos a ésta en Dogmática o Heurística.
En el caso particular de la matemática sabemos que la ciencia puede presentarse como una cosa hecha, con sus métodos propios de estructuración y con el ordenamiento clásico de su material. Para esta presentación el alumno oye, expone o lee en los textos y trata de comprender y aprender con la actitud contemplativa de quien tiene ante sí un complicado mecanismo ya terminado de construir. Sabe que es "cerrado" y "perfecto" y debe tratar de conocerlo.
Esta concepción dogmática actual, concordante con la concepción pedagógica clásica que asigna al alumno una función contemplativa de pasivo auditor y repetidor, tiene sus raíces en una desvirtuada y parcial proyección de las filosofías de Platón y de Aristóteles en la enseñanza de la matemática, y su modelo matemático en la obra de Euclides, de la cual, abusivamente, se extrajo un método de enseñanza para esta ciencia cuando en el autor no alentó preocupación metodológica didáctica alguna. El corpus geométrico euclidiano fue considerado no sólo como una herencia del pasado matemático sino como el portador de una velada metodología para la enseñanza de la matemática del porvenir. Nos permitimos suponer que en el campo de la enseñanza de la matemática se produjo un fenómeno de pensamiento confuso, con marcada interferencia de campos. Esta situación se advierte en la respuesta, legendariamente profética, que Euclides dio al rey Ptolomeo II Philadelpho cuando éste le preguntó si había un camino más cómodo que el de los Elementos "para la enseñanza y estudio de la matemática", a lo cual el griego replicó con orgullo: "En matemática no existe camino real". Esta frase nos obliga a un análisis conjetural. La respuesta euclidiana revela que, como dijera Bossuet a su discípulo, el esforzado Delfín de Francia –tal vez adaptando la citada anécdota antigua– "En matemática no existen facilidades principescas", en este sentido el camino es arduo y no hay manera de allanarlo. Pero, al tiempo, evidenciaría en Euclides una absoluta despreocupación por la cuestión metodológica respecto de la enseñanza de la matemática, centrado en el problema del conocimiento matemático alcanzado e indiferente a los posibles pasos graduados para el aprendizaje de la disciplina.
Es, en verdad, sorprendente el milagro por el cual dentro de ciclos culturales rigurosamente cerrados, surgen hombres que con sus ideas llegan a influir sobre futuras civilizaciones. Por esta vertiente que corresponde al concepto más dinámico y real de valores eternos, se llegó a concebir a la matemática griega no como una realidad pretérita sino como un legado del pasado aún vigente y actuante para la forma de educación matemática.
Frente a la presentación dogmática, la escuela nueva propone como eje fundamental el método heurístico. Según éste, no se deben presentar al alumno teorías hechas e inmutables para que él las fije en su mente. Deben presentársele cuestiones y problemas que el alumno, por su propio esfuerzo y bajo la dirección del maestro, tiene que tratar de resolver. En pequeña escala, deberá efectuar la labor que el investigador científico realiza para descubrir nuevas verdades. Es el esfuerzo creador del alumno el elemento educativo más valioso. La enseñanza es más difícil, la labor del maestro más delicada, pero el aprendizaje más eficaz.
La heurística, en metodología, es el conjunto de procedimientos que nos ayudan a descubrir una verdad científica, y entre esos procedimientos están todas las motivaciones psicológicas e intuitivas que nos auxilian en la indagación,
Es en la base misma de esta dualidad para las formas de adquisición del conocimiento donde reside la diferencia del cuerpo de doctrina que sustentará la enseñanza de la matemática. Esta diferencia se subraya aún más si establecemos una separación conceptual que consideramos necesaria. Método y demostración no son la misma cosa. La demostración consiste en hallar la razón por la cual una proposición es verdadera. El método trata de hallar la proposición verdadera. Es por esto que Renato Descartes (1596-1650) sentenciaba que su Discurso del Método fue escrito "para conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias".
►La enseñanza tradicional. Conjetura para su origen
Aristocles de Atenas, o sea Platón (427-347 a J.C.) no fue matemático; no aportó nada nuevo a la matemática. Pero estaba informado de ella por amigos y discípulos. Sin embargo, tenía algo así como la obsesión por la matemática y la influencia de sus ideas filosóficas es muy notoria en la obra de Euclides de Alejandría (306–238 a J.C.), el recopilador y organizador del conocimiento geométrico de los griegos: sus Elementos (13 libros con 93 problemas y 372 teoremas) son la base de la geometría plana actual. Nos permitimos suponer que aquí está el germen de la concepción "tradicional" para la enseñanza de la matemática. Detallemos nuestro supuesto.
La séptima epístola de Platón es muy clara en materia de condiciones para el conocimiento y trae un ejemplo que conviene retener. Para todo lo existente hay varias etapas a través de las cuales adviene el conocimiento.
1. el nombre de la cosa,
2. la definición (descripción) de la cosa,
3. la imagen sensible de la cosa,
4. el conocimiento de la cosa, (la ciencia misma), у
5. lo que se trata de conocer, a saber, la verdad (la cosa verdadera).
El concepto eleático sobrevive en la enseñanza platónica de las ideas eternas, prototipo de todo cuanto existe, de toda realidad confusa e impura. Partiendo de ahí, esa doctrina fundamental de una eternidad inmóvil llega hasta Euclides, pasando por Aristóteles. Hay que tener en cuenta el paso de los años. Cuando Euclides recopila, ya ha pasado Platón, y eso no pudo haber sido en vano. Este es el motivo por el cual la matemática euclidiana es estrictamente estática y desaforadamente clara.
En efecto, para Euclides de Alejandría –el matemático– una circunferencia no es el resultado de un giro de compás, ni tampoco el del ya más abstracto movimiento de un radio, sino que es el conjunto de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de un determinado punto llamado centro. Esta expresión (lenguaje eleático) da la esencia misma y no la construcción de la circunferencia.
Todo el esquema platónico de acceso al conocimiento está vigente en la obra euclidiana y es columna vertebral subyacente al tratamiento matemático específico. La ciclópea obra de Euclides respeta el lineamiento platónico y solamente viste con ropaje matemático de corte aristotélico el esqueleto que Platón postula como camino para el conocer.
Tres interesantes preguntas nos asisten:
1. La matemática euclidiana tiene como marco de referencia la teoría platónica del conocer y la teoría aristotélica del deducir. ¿Son aplicables esas etapas del conocimiento a la enseñanza de la matemática?
3. ¿Tiene algún sentido enseñar la geometría correspondiente a la cultura Griega clásica, construida con los mismos métodos y las mismas ideas que eran progresistas hace dos mil años?
Intentaremos responder en función del espíritu filosófico que anima nuestro trabajo. Creemos prudente recordar que Francis Bacon, al igual que Descartes y Galileo, piensa que la deducción aristotélica sólo sirve como método demostrativo, pero no para descubrir nuevos hechos.
Consideramos que la educación es, en uno de sus aspectos esenciales, integración del hombre con el sistema de conocimientos que le es contemporáneo. Hay dos vertientes capitales que puntualizar. La ciencia matemática moderna tiene el poder del espíritu humano para crear un lenguaje de símbolos ajenos a lo particular y contingente capaz de ascender a sistemas de relaciones racionales universales y necesarias. Pero desde el punto de vista de la educación, la nueva matemática está orientada a estimular en el niño las capacidades del pensador del inventor de caminos lógicos. "La matemática, en esta nueva pedagogía, se ofrece como una promoción de la persona humana, a fin de que el alumno argumente rigurosamente ante sí mismo, alentando desde dentro su disciplina ante los símbolos más severos y exigentes, alimentando su libertad ante las estructuras lógicas. He aquí lo decisivo para una ciencia, la educación, cuya grandeza consiste justamente en que mira el conocimiento general, la cultura, la sociedad y la historia no como realidades discontinuas sino más bien como elementos de un único conjunto, integrado con la persona humana, sus problemas cotidianos, su destino permanente y su esencia de libertad."
"Bien miradas las cosas, la nueva matemática (o la antigua si se enseña con los propósitos actuales) aspira a restaurar el ideal pedagógico platónico del esclavo que, conducido por la mayéutica del maestro, descubre por sí un teorema matemático y lo formula con rigor y precisión. Podría afirmarse, pues, que la revolución de hoy recoge las muy antiguas iridiscencias de la doctrina platónica. Ello es cierto en parte. Pero hay algo más.
"La nueva pedagogía en la enseñanza de la matemática está dirigida nada menos que a preparar al niño de hoy para vivir con dignidad en el mundo construido por la técnica y que amenaza con segar su espontaneidad y su libertad. Lo que hay de fundamental en ella es que subraya la necesidad de comprender, por el camino de la propia invención, las estructuras lógicas y que es un puente entre la cultura del sujeto y la cultura objetiva de las sociedades que ahora se mueven en la historia del mundo. Lo decisivo es que afirma los poderes racionales de la persona y trata de desarrollar esta misma persona hasta la asíntota más alta de su capacidad individual. La matemática no es primariamente para el educador un instrumento de dominación sobre la naturaleza o la sociedad ni un modelo para otras ciencias ni una ciencia universal. Es, sencillamente, ocasión para que, manteniendo constante la iniciativa de su pensamiento lógico libre, el hombre de hoy pueda hacer frente a los problemas de su tiempo y a las servidumbres con que la técnica podría llegar a sepultarlo". (1)
El bajo rendimiento que se observa en la formación matemática de los jóvenes y la creciente y generalizada actitud de rechazo hacia la matemática en los alumnos de todos los niveles, requiere que se analicen los aspectos del proceso de enseñanza que conducen a esos resultados.
La declamación sobre "que la actividad matemática debe apuntar fundamentalmente a desarrollar aptitudes de razonamiento lógico y no a la mera adquisición de técnicas", no se corresponde con la realidad; por encima de cuantiosos esfuerzos de aquellos docentes que reconocen el problema, la enseñanza de la matemática sólo culmina, en el mejor de los casos, como el aprendizaje de procesos mecanizados. Más aún: los alumnos encuentran resultados correctos, con procedimientos que no comprenden, a problemas que no interpretan. En el nivel primario, "dividir" correctamente sin saber qué significa dividir. En el nivel medio, resolver "ecuaciones" con "pasajes de términos" misteriosos sin saber qué significa una ecuación.
Para obtener una plena comprensión matemática, con alumnos que pongan en juego el dinamismo constructivo de su pensamiento, es necesario que su aprendizaje de procedimientos sea la culminación de su descubrimiento de las estructuras matemáticas que los generan. Ver esos procesos como formando un enlace de estructuras cada vez más complejas, donde la visión de esa estructura es más importante que el simbolismo formal que los expresa. Se trata de ponerlos en situación de descubrir cuáles son esas estructuras, cómo están constituidas y cómo se enlazan unas con otras.
En este punto es inevitable abordar el verdadero nudo de la cuestión: la metodología tradicional ha olvidado el simple hecho psicológico de que la construcción debe preceder al juicio y al análisis; la construcción debe preceder al análisis o no tendrá sentido analizar. El alumno, aplastado por conceptos cuyo marco estructural no conoce y en cuya construcción no ha participado, deriva su actitud de "aprendizaje" hacia la repetición memorística. El maestro o el profesor actúa como fuente autoritaria de la información. El alumno, receptor pasivo de la misma, sólo intenta repetirla adecuadamente, sin discernir nunca claramente el porqué y el cómo de las cosas. Este esquema emisor-receptor no cumple con el propósito de brindar al niño y al joven la formación matemática deseada; la carga de la memoria acaba por ser mayor de lo que puede soportarse porque no está apoyada por la comprensión de las conexiones que existen en el fondo de lo que se ha "aprendido".
Para Zoltan Paul Dienes, el problema del aprendizaje consiste, esencialmente, en encontrar un ajuste apropiado entre lo que exige la estructura de la materia por aprender y la estructura del pensamiento del alumno. A esos efectos, sostiene que la organización de la enseñanza de la matemática, si se pretende que todos los jóvenes accedan a ella, habrá de tener en cuenta ciertas etapas que caracterizan al proceso del aprendizaje.
Primera etapa
Entendiendo que, de alguna manera, todo aprendizaje equivale a un proceso de adaptación del organismo a su entorno, esta etapa introduce al alumno en el medio, construido especialmente para poder inferir ciertas estructuras matemáticas. Esta fase de adaptación, se puede denominar fase de juego libre. Ese entorno requiere la utilización de material concreto, concebido como instrumento de investigación y descubrimiento puesto en manos de los alumnos.
Segunda etapa
El alumno, que ha descubierto en el medio ciertas regularidades, está dispuesto a jugar sobre la base de ciertas restricciones convenidas arbitrariamente. Estamos en la etapa de los juegos estructurados. Las reglas del juega representan las limitaciones en las situaciones matemáticas.
Tercera etapa
Cuando el alumno ha jugado juegos con apariencia distinta, pero que poseen la misma estructura, llega a descubrir las conexiones de naturaleza abstracta que existen entre los elementos de un juego y los elementos del otro. Obtiene la estructura común de los juegos y deja de lado los aspectos carentes de interés. Es la etapa del juego de diccionario o juego de isomorfismo.
Cuarta etapa
Se representa la estructura común de una manera gráfica o esquemática. Esta representación le permite observar desde afuera y hablar de lo que ha abstraído, como así también examinar los juegos y reflexionar sobre ellos. Estas representaciones no son todavía un lenguaje, sino un medio audiovisual de recordar a la mente las semejanzas que existen en esas concretizaciones particulares. Es la etapa de la representación.
Quinta etapa
Tras introducir una representación o varias representaciones de la misma estructura, ha llegado el momento de estudiar las propiedades que surgen de la representación; es decir, las propiedades de la estructura abstracta. Para ello es necesario inventar un lenguaje. Podrá entonces describirse la representación a partir de este lenguaje inventado.
Sexta etapa
Dado que no es posible por la complejidad de las estructuras matemáticas describir todas sus propiedades, se toma un cierto número de ellas, como punto de partida: los axiomas. Se adopta un método para llegar a otras propiedades de la descripción: reglas de demostración. Las propiedades ulteriores a las que se llega se denominan los teoremas del sistema.
El manejo de un sistema de este tipo, denominado sistema formal, es el objetivo final del aprendizaje matemático de una estructura.
En la pedagogía tradicional se suele actuar exactamente en sentido inverso. Se introduce el sistema formal mediante un conjunto de símbolos. Al apreciar que el alumno no está en condiciones de asimilar dicho sistema, se utilizan medios audiovisuales para lograr que lo comprenda. A partir de la etapa del simbolismo se pasa a la etapa de la representación. Al comprobar que el alumno sigue sin estar en condiciones de aprender los conceptos, a pesar de las ayudas audiovisuales se le enseñan sus aplicaciones en la realidad. Se llega así finalmente, a la realidad de la cual se tenía que haber partido.
La creación de situaciones de aprendizaje dinámico requiere la aplicación de los siguientes principios:
Principio dinámico.
Toda abstracción y por consiguiente toda la matemática, tiene su origen en la experiencia. La formación de los conceptos se realiza según un proceso psicodinámico definido y por tanto, es esencial ir en el sentido de este proceso y no al revés. Las experiencias y las situaciones de aprendizaje en general, deben concebirse de manera que se adapten a este proceso natural, que al parecer se reitera en ciclos sucesivos. No. debe comenzarse un ciclo nuevo mientras no se hayan recorrido todos los que llevan a la formación de los conceptos que le son necesarios.
Principio de constructividad.
Se admite que los niños y los jóvenes pueden pensar de modo constructivo mucho antes que lo hagan lógicamente. Por tanto, en el aprendizaje matemático es siempre preferible presentar una situación de manera tal que conduzca a un pensamiento constructivo antes que a una reflexión y a una comprensión analítica. Por otra parte, no existe pensamiento analítico sin estar fundado en algo y, consecuentemente, es necesario que la cosa por analizar haya sido construida previamente.
Principio de variabilidad matemática.
Los conceptos que encierran más de una variable deben ser estudiados mediante experiencias que supongan el manejo del mayor número posible de aquellas variables. De esta manera se logrará que la atención se concentre en lo que es realmente constante en la estructura del concepto.
Principio de concretización múltiple.
La esencia de la abstracción consiste en extraer las propiedades que son comunes a situaciones distintas, pero que desde el punto de vista conceptual conservan constante su estructura. Por tanto la misma estructura conceptual deberá ser presentada en tantas formas perceptivas equivalentes como sea posible.
La existencia de estos principios y las etapas del aprendizaje antes consideradas, caracterizan un enfoque metodológico de trascendente valor educativo.
Los fines de la enseñanza de la matemática deben ser puestos al servicio de la formación de la personalidad. Para un niño o un joven, el puro y simple manejo de conjuntos de técnicas formales dificultan que se integre lo aprendido con las otras partes de su conocimiento.
La tarea de aprendizaje descripta anteriormente, caracteriza a un docente que reconoce en la alegría del descubrimiento al verdadero motor del aprendizaje matemático. Sabe que mientras los niños y los jóvenes sigan sintiendo antipatía por la matemática, su estudio no facilitará su proceso de integración. No está dispuesto a imponer verdad alguna por su autoridad, sino que respetará el dinamismo constructivo del pensamiento del alumno. Se resistirá a transformarlos en calculadoras más bien mediocres; en cambio, los guiará en el proceso de formar conceptos de modo efectivo, a partir de sus propias experiencias; tendrá conciencia muy clara de que el potencial emocional de esa situación de estudio activo y constructivo, realmente creadora, es muy delicado y que, por tanto, existe para él la posibilidad de favorecer o entorpecer el proceso de aprendizaje. Se manifestará ante sus alumnos con una actitud desprovista totalmente de dogmatismo; practicará la simpatía, la cordialidad y el respeto ante la apertura de las facultades de reflexionar de los mismos. Habrá desterrado la clase magisterial y en su lugar, llevará a los niños y jóvenes hacia situaciones que favorezcan la creación de ideas. Asumirá, finalmente, que la función de ser maestro o profesor no es, en modo alguno, la de menor importancia.
►Resumen para el lineamiento interno de las ideas consideradas:
a. Los métodos que utiliza el matemático para estructurar y exponer su disciplina como un cuerpo de doctrina científica –Metodología matemática– pertenecen a la Epistemología.
b. Los métodos didácticos que son propios de la Metodología de la enseñanza de la matemática pertenecen a la Pedagogía.
c. A nuestro juicio, los métodos didácticos pueden no coincidir con los métodos de estructuración de la ciencia. Es decir, existen diferencias notables entre la ciencia matemática y la ciencia para la enseñanza de la matemática.
d. El estudio de la estructura de la ciencia matemática es previo al de la didáctica (enseñanza de la matemática), pues como es de suponer, ésta tendrá directa dependencia de aquélla; pero si bien la estructura de la ciencia es necesaria, de manera alguna se la puede considerar suficiente para enfrentar el problema de la enseñanza de la misma.
Pensemos, en la paz de nuestra conciencia de maestros, estas palabras de Evaristo Galois.
Bibliografía
Dr. Eduardo Hernán del Busto, SEMINARIO SOBRE ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA, Notas de clases, Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación, Universidad Nacional de La Plata, 1972.
Platón, Obras completas, Bibliográfica OMEBA, Argentina, 1967. Z.P. Dienes, LAS SEIS ETAPAS DEL APRENDIZAJE EN MATEMATICA; Editorial Teide, España, 1970,
Tomado de: IIE. Revista del Instituto de Investigaciones Educativas. Año 4- nº16. Mayo 1978.
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