¿Cuándo surgió el principio posicional en los sistemas de numeración?

Plimpton 322. Tablilla de arcilla de Babilonia con escritura de números cuneiformes.

Para responder esta pregunta debemos remontarnos a una de las primeras civilizaciones de la humanidad: los babilonios. Este pueblo había desarrollado un sistema de escritura cuneiforme, llamado así por la particular forma de cuña de los signos escritos en las tablas de arcilla. Un estilete era utilizado para ir grabando los símbolos en la arcilla, que luego era secada al sol. 

Tenían principalmente dos símbolos, los cuales eran repetidos convenientemente para representar los números hasta el 59: 

Las catorce señales utilizadas para representar el número 59, eran escritas muy estrechamente formando casi un único símbolo. ¿Cómo representaban el número 60? La respuesta dada a esta pregunta pone en relieve el gran genio de este pueblo de la antigüedad:

Quizá fuera la poca flexibilidad que ofrecían los materiales de escritura mesopotámicos, o bien un relámpago de intuición imaginativa, lo que hizo conscientes a los babilonios de que bastaba con sus dos símbolos para el 1 y para el 10  para poder representar cualquier número entero, por grande que fuese, sin excesivas repeticiones. Esto ocurrió hace más de 4000 años con la invención del sistema de notación posicional, basado en el mismísimo principio que es el responsable de la eficacia de nuestro sistema de numeración actual. Es decir, que los antiguos babilonios se dieron cuenta de que sus símbolos podían representar un papel doble, triple, cuádruple, etc., simplemente asignándoles valores que dependan de su posición relativa en la representación gráfica de un número…espaciando adecuadamente estos grupos de cuñas se puede determinar sin ambigüedad  la posición relativa, al leer de derecha a izquierda, que corresponde a las sucesivas potencias crecientes de la base, y así cada grupo tendrá entonces un “valor local” que dependerá solamente de su posición.  Cuando escribimos 222 usamos tres veces la misma cifra 2, pero cada una de ellas tiene un significado distinto; el primero por la derecha representa dos unidades, el segundo dos decenas, y el tercero dos centenas (es decir, dos veces el cuadrado de la base diez). De una manera exactamente análoga hacían los babilonios un uso múltiple de símbolos tales como el  y al escribir   separando de manera clara los tres grupos de dos cuñas cada uno, lo que intentan expresar es que el grupo de la derecha representa dos unidades, el siguiente dos veces la base 60 y el del extremo de la izquierda dos veces el cuadrado de la base 60². Este numeral representa pues al número  2. 60² + 2. 60 + 2  (o sea, 7322 en nuestra notación de base diez). (Boyer, 1999, p. 50).

En un principio, el sistema de numeración sexagesimal (porque la base es 60) y posicional de los babilonios corrió con una gran desventaja: no disponer de un símbolo para el cero. Más tardíamente (hacia el siglo IV A.C.) se utilizaron un par de cuñas pequeñas de forma oblicua para representar posiciones en las que faltaba una cifra.

 Por ejemplo, representa 2.60² + 0 . 60 + 2, indicando así la ausencia de unidades en la segunda posición. Pero aparentemente no utilizaron dicho símbolo para posiciones terminales de un número, sino únicamente para posiciones intermedias. Esta cuestión genera, por ejemplo, la ambigüedad en la lectura de ; bien puede significar 2. 60 + 2, o bien 2. 60² + 2. 60 o cualquiera de las infinitas posibilidades en que se tengan dos unidades de dos órdenes sucesivos precedidos por órdenes sin unidades (sería equivalente a a escribir 22 en nuestro sistema decimal, y no saber si nos referimos a 22, 220, 2200, etc.).

El concepto  de posición en la numeración no fue rescatado por los pueblos de la antigüedad que sucedieron a los babilonios, y debió esperar varios siglos para resurgir junto con el uso de las cifras indo arábigas. ¿Por qué? No siempre las grandes ideas se arraigan en seguida de haber sido acuñadas: cuestiones históricas y sociales tienen mucho que ver en el hecho de que sean aceptadas o no por los demás. Este hecho no nos debe generar un juicio negativo sobre las aptitudes intelectuales de una sociedad. Pensemos en los griegos, pueblo pionero en la racionalización del Universo, y su vinculación con la matemática babilónica:

Los griegos heredaron el sistema sexagesimal de los sumerios, pero lo mezclaron con el sistema decimal… Abandonaron el principio posicional, que se reintrodujo desde la India un millar de años después. En una palabra: su comprensión de la aritmética babilónica debió de ser muy pobre, puesto que mantuvieron los rasgos peores y dejaron de lado los mejores. Lo cual debe más imputarse a una tradición deficiente antes que a falta de inteligencia. O bien, debemos recordar, a que la inteligencia es siempre relativa. Los griegos utilizaron su inteligencia de manera distinta, y no vieron ciertas cosas simples que, para sus lejanos predecesores sumerios y babilonios, eran tan claras como la luz del día. (Sarton, 1970, p. 142).

Ariel Carballido

Bibliografía:

Boyer, C. (1999). Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Editorial.

Sarton, G. (1970). Historia de la Ciencia. Tomo I. Buenos Aires: EUDEBA.