Teoría de conjuntos. Primera parte.

 

1. Educación lógico-matemática

Los nuevos planteamientos para la educación matemática que tenemos intención de exponer en estas páginas encuentran su razón de ser sólo si la ya superada «lección de matemáticas», habitualmente considerada como aburrida o difícil (según los casos) por la mayoría de los alumnos, y a menudo por los mismos profesores, asume un talante de experiencia crítica viva y común y permite al alumno descubrir por sí mismo conceptos generales y universales, mediante un trabajo personal práctico, libre y manipulativo.

Puede parecer presuntuoso el proponer la implantación de innovaciones didácticas y metodológicas para la enseñanza y aprendizaje de la matemática moderna; no lo es, sin embargo, el querer indicar al lector, y por consiguiente a sus alumnos, un programa que permita una amplia experiencia de educación crítica y lógica, además de matemática, sustituyendo a los consabidos y estériles simbolismos, escritos en la pizarra o en los cuadernos y memorizados a continuación; postura de lujo inútil que envilece esta ciencia matemática, degradándola a simple «bagaje cultural transmitido de generación en generación».

Dicho de otro modo, se pretende, frente a formas vulgares de las matemáticas, demasiado frecuentes en todos los cursos de nuestra enseñanza básica, una educación lógico-matemática con capacidad para ofrecer al alumno las bases indispensables para una consecución de autonomía crítica, en el contexto de una educación científica verdadera, presente y futura.

Es de fundamental importancia la enseñanza de la lógica, de cara al aprendizaje de las ciencias en general. Hace años que dicha enseñanza aplicada a la matemática ha adquirido importancia en muchos países occidentales, mientras que en otros, como Italia y España, se introdujo más recientemente como novedad en algunos centros pilotos(*). No puede ponerse en duda el carácter formativo del lenguaje de la lógica. Invita al alumno a trabajar con datos y conocimientos que generalmente ya posee y permite una comunicación fluida desde los primeros momentos de actividad escolar común. Las ventajas consecuentes son múltiples y se ponen de manifiesto al comenzar el estudio de otras disciplinas, al aprender otros idiomas y en el echar por tierra la separación tradicional entre «áreas científicas y áreas literarias». Una mente abierta al lenguaje de la lógica, aun cuando se mueva o trabaje en un plano elemental, tiende a razonar antes que a memorizar, a crear y producir antes que a aceptar o buscar el término medio de las ideas que se le ofrecen: rechaza estar condicionada, pero no por ello deja de apreciar sus propios límites y las causas de sus condicionamientos.

(*) En España, concretamente, la enseñanza de la «Matemática Moderna» se generalizó al entrar en vigor la Ley General de la Educación, año 1970. (N.del E.)

2. Las tres etapas del aprendizaje: manipulativa, gráfica, abstracta

Las etapas que permiten la asimilación de un concepto por el alumno son tres: la primera se refiere siempre a la manipulación de objetos o de elementos adecuados al fin perseguido (fase manipulativa): pasaremos luego a la re presentación de las diversas situaciones manipuladas (fase gráfica) y, finalmente, se llega a la abstracción y conceptualización de lo experimentado, comparándolo y confrontándolo con otras experiencias y situaciones análogas (fase abstracta).

Siguiendo este método, se ofrece al alumno la posibilidad de volver a la fase anterior cada vez que tenga una duda. El alumno puede recurrir al profesor para que solucione sus dudas, pero esta postura no es tan válida como la anterior. El profesor, como «depositario de los conocimientos», se siente obligado a explicar con una serie de palabras aquello que él cree ser la verdad, pero que no siempre está en lo cierto de que lo sea, aclarando con harta frecuencia dudas propias y enriqueciendo la propia experiencia, pero no la del alumno. Por desgracia, esta costumbre de recurrir al profesor está muy difundida en las escuelas e incluso es fomentada con frecuencia por los mismos educadores.

3. Los conjuntos

En 1783 Leonard Euler usó los conjuntos con fines didácticos («Opuscola ». Cartas a una profesora alemana). Casi un siglo más tarde, John Venn (1834-1927) prosiguió el estudio del tema, teorizando sobre las representaciones gráficas, que por entonces eran ya de dominio común.

No se puede considerar, pues, la teoría de conjuntos como una novedad o un hallazgo. Sólo la pueden considerar como tal los que nunca se han preocupado de profundizar suficientemente en la historia de las matemáticas, o en los pilares básicos sobre los que esta disciplina se asienta y se ha asentado siempre. Gran parte de culpa de esta extraña situación es imputable a la escuela misma, que se ha desinteresado por completo en este sentido, conformándose con transmitir de generación en generación un legado de conocimientos matemáticos esquematizados y preparados (por decirlo de algún modo) para su uso. ¡Saber usar una cosa no significa necesariamente «conocerlas! ¿Cuántos automovilistas, por otra parte aprobados con toda justicia, conocen las particularidades de su coche y saben hacerle las reparaciones necesarias?

El mínimo conocimiento de estructuras matemáticas que la escuela ha ofrecido a los profesores, cuando ellos mismos se sentaban en los pupitres del colegio, justifica y explica las dificultades que un maestro de puede encontrar, no sólo al intentar comprender las matemáticas en sí mismas, sino, sobre todo, al intentar comunicarlas a sus alumnos. De esta forma, esta disciplina ha sido tenida como una de las más hostiles, no sólo por las dificultades que en sí misma encierra, sino también por la superficialidad con que, a menudo, su estudio ha sido abordado.

La teoría de conjuntos ha sido, pues, «reasumida» no para renovar la enseñanza de las matemáticas, sino porque es necesaria para comprender más fácilmente la estructura de los números. Dado que las matemáticas trabajan fundamentalmente con números, operar con ellos sin un conocimiento suficiente de su estructura seria absurdo; algo así como estudiar la historia de la literatura española sin conocer el idioma, o medir grandes superficies sin contar con la unidad de medida idónea.

El número natural tiene dos valores: valor cardinal y valor ordinal. Son estos dos «valores» los que pone en evidencia, de un modo sencillo y lógico, la teoría de conjuntos. Sencillo y lógico debe ser asimismo el procedimiento a seguir con los alumnos desde el primer día de escuela y, como consecuencia, la asociación natural entre número y conjuntos no tendrá necesidad de motivaciones posteriores.

La teoría de conjuntos no es más que un soporte al que se recurre como ayuda para clarificar y simplificar conceptos matemáticos difíciles de comprender, retrocediendo (el uso de los conjuntos constituye una regresión) a las fases primarias, para facilitar una reconstrucción sucesiva, ordenada y completa de los conocimientos.

En el lenguaje corriente hay muchos vocablos para designar los conjuntos: grupo, clase, colección... En todos estos casos hay siempre una relación que consiste en reunir. clasificar, coleccionar, únicamente aquellos elementos que reúnen determinadas características, y en conseguir, consecuentemente, «grupos de objetos», «clases de animales», «colecciones de monedas o de sellos», etc. Al conjunto se le atribuye una propiedad llamada «característica» o «relación de pertenencia», porque determina cuál o cuáles elementos pertenecen al conjunto (por gozar de la propiedad considerada) o bien cuál o cuáles elementos no pertenecen al conjunto (por no poseer dicha propiedad).

Un conjunto puede ser universal o particular. En el primer caso, lo forman absolutamente todos los elementos que responden a la relación de pertenencia que lo determina; en el segundo, todos los elementos que, presentes en el campo de la investigación en curso, responden a la relación de pertenencia (este segundo es el que interesa a los alumnos, puesto que muy raramente se opera a nivel de conjuntos absolutos en la escuela elemental).

Un conjunto se considera vacío cuando no posee ningún elemento, ya sea en el terreno de la investigación o en absoluto: el conjunto de los árboles del aula es (a simple vista) un conjunto vacío (particular): el conjunto de animales con 12 rabos es un conjunto vacío en absoluto (universal).

4. El número natural

Cuando se dice: «dos, tres, cuatro».... parece que se está diciendo algo sencillísimo: por el contrario, afirmaciones tan sencillas encierran conceptos muy complejos. El número natural tiene dos valores: el valor cardinal y el valor ordinal. Si se quiere responder a la pregunta ¿dónde?(1) nos referiremos únicamente al valor ordinal. Si se responde a la pregunta «¿cuánto?(2), al cardinal.

Por tanto, decir «son dos» presupone el conocimiento de las relaciones de equipotencia (tanto... como) y el conocimiento de las relaciones de orden (mayor que o menor que: más que.... menos que...). Esto supone, a su vez, el conocimiento del concepto de relación, que es el elemento básico para cualquier estudio matemático.

La relación de equipotencia permite la clasificación de los conjuntos según la cantidad; las relaciones de orden (mayor que o menor que) permiten seriar conjuntos que no sean equipotentes (*). Permiten, en otras palabras, ordenar dichos conjuntos con relación al número de elementos, que cada uno de ellos posee.

Mientras la labor de clasificación se refiere al valor cardinal del número natural, el trabajo de seriar se refiere al valor ordinal. El gráfico aclara todo lo explicado hasta aquí, sintetizándolo.

El camino para llegar al descubrimiento y comprensión del número natural es más largo y complicado de lo que a simple vista pueda parecer: los profesores que, por excesiva premura, conocimientos insuficientes u otros motivos, no cubren las etapas de aprendizaje señaladas, no sólo impiden la formación de los procesos de maduración necesarios en el alumno, sino que caen en el error de construir un edificio pseudomatemático con cimientos de arena.

(1) ¿Qué puesto ocupa este número respecto a los demás? Por ejemplo ¿dónde se sitúa el 7?, ¿qué lugar ocupa? Una breve investigación sobre la sucesión de los números naturales da la respuesta inmediatamente: después del seis y antes del ocho.

(2)¿Cuántos elementos tiene la clase representada por el símbolo numérico? Por ejemplo, ¿cuántos elementos tiene la clase representada por el símbolo numérico 6? La clase 6 tiene tantos elementos cuantos hay en una agrupación, real o no, presente o pensada, como elementos tiene la palabra «CARLOS».

(*)En cualquier tratado de matemáticas escrito en castellano se usan indistintamente los   «equipotentes» y «coordinables», así como los de relación de «equipotencia» y relación de  «coordinabilidad». Por tanto, estos términos son sinónimos. Ya sabemos que dos conjuntos son coordinables o equipotentes cuando tienen el mismo número de elementos; es decir, el mismo cardinal y, por tanto, entre ellos se puede establecer una biyección. Aquí hemos respetado la denominación de equipotencia propuesta por el original italiano, pues de lo contrario forzaríamos la comprensión de las páginas siguientes. (N. del T.)

5. Símbolos y relaciones

Con gran frecuencia los alumnos (y no sólo ellos) tienden a confundir los significados de las siguientes palabras: «equivalente», «similar», «equipotente», «igual» ...

Algunos, sin plantearse siquiera el problema, los usan indistintamente, como si tuviesen el mismo significado. Es necesario evitar que este vicio eche raíces y facilitar al alumno el verdadero significado de cada uno de estos términos.

La relación de equivalencia es la que introduce la máxima «amplitud conceptual»: puede ser referida a cualquier situación imaginable (dos elementos pueden ser equivalentes respecto a la forma, color, peso, volumen, transparencia, etc.. o respecto a varias características simultáneamente). Dos libros, por ejemplo, pueden ser equivalentes por el color de las tapas. el número de páginas, el tipo de papel utilizado para su impresión,... o cualesquiera otras características simultáneas.

Cuando la equivalencia se refiere. en particular, a la forma (y sólo a la forma) se denomina relación de similitud: se usan mucho las relaciones de similitud cuando se opera con figuras geométricas. Si, además de la forma, son equivalentes las dimensiones, se denomina relación de congruencia.

Cuando la equivalencia se refiere sólo a la cantidad. se llama relación de equipotencia: un grupo (o conjunto) posee el mismo número de elementos que otro. Operando con símbolos matemáticos, indicadores de cantidad (cifras arábigas u otras), cuando se tienen grupos de símbolos indicando la misma cantidad, pero diferentes entre si, se habla de relación de correspondencia: a ocho más cinco corresponde trece (8 + 5 →13).

Cuando la equivalencia abarca todas las características posibles, se tiene la relación de igualdad (que, inversamente a la de equivalencia, tiene la mínima «amplitud conceptual»). Esto no sucede nunca en la realidad, porque el número de todas las propiedades imaginables tiende al infinito, pero sucede con frecuencia en las abstracciones. De todo esto se deduce que solamente un elemento es igual a sí mismo (propiedad reflexiva). Matemáticamente, pues, sólo es aceptable el siguiente tipo de igualdad: ocho es igual a ocho[...] 

 

Tomado de: Crovetti, Giacomo.(1984). Educación Lógico-Matemática 1. Madrid:Editorial Cincel.