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| ZOO : Juegos matemáticos para educación preescolar. Editorial Teide. Barcelona |
►Qué es el Zoo
Ocho cuadernos de trabajo, ilustrados a todo color, con un contenido exclusivo de dibujos, sin texto alguno. Con ellos se pretende transmitir los conceptos fundamentales de la Matemática más elemental por medio de las imágenes, a través del juego activo del niño que interpreta lo que las imágenes le dicen y ejecuta con ellos ejercicios plenamente a su alcance.
El nombre de Zoo se debe a que los cuadernos están presentados por animales. Así, los títulos son Elefante 1, Elefante 2, Perro 1, Perro 2, Gato 1, Gato 2, Panda 1 y Panda 2.
En Elefante 1 y 2 se pone énfasis sobre la habilidad del niño para formar conjuntos de objetos que posean una propiedad común.
En Perro 1 y 2, se favorece el desarrollo de las ideas operatorias entre conjuntos y la familiarización con algunos conectivos lógicos.
En los cuadernos Gato, por su parte, se trata de poner de relieve las relaciones que el niño observa y va descubriendo entre los objetos que le rodean.
Por último, los cuadernos Panda tienen como fin hacer que el niño ajuste y ordene las experiencias topológicas que ha realizado espontáneamente o por medio de situaciones estimulantes- a través de su exploración del espacio.
Sus autores, Dienes y Holt son conocidos especialistas y su firma es garantía de sólido contenido matemático y de conocimiento profundo de la psicología del niño.
El principio fundamental que rige estos ejercicios es el respeto a la actividad propia del niño, el juego, evitando la introducción machacona de números y operaciones, inadecuada a un nivel tan elemental.
Cabe una primera observación. Los autores no pretenden, en modo alguno, transmitir a los niños conocimientos magistrales ni concretar una supuesta "instrucción matemática práctica" conseguida, graciosamente, coloreando y dibujando cuadernos. Importa, entonces, que nos aproximemos al verdadero espíritu de la obra, para no desnaturalizar ni adulterar sus objetivos.
►Plan del Zoo
El plan del ZOO -destinado a presentar a los maestros la estructura conceptual subyacente en los juegos- permite apreciar, sin dejar lugar a dudas, el carácter fundacional que alcanza la actividad matemática preescolar del niño. No representa, ni por asomo, un programa de contenidos por desarrollar en un tiempo determinado, ni la indicación de todos los objetivos que, obligatoriamente, debe cumplir el niño durante su paso por el Jardín.
Este cuadro no es un currículum; es, simplemente, el marco de referencia total. Pone de manifiesto, por un lado, tanto las raíces conceptuales y metodológicas, como el alcance del proyecto a largo plazo. Y, además, la seriedad con que los autores han tratado el tema.
Invitamos a los lectores a estudiarlo. Después de esa profunda tarea reflexiva comprenderán qué es lo que el plan presenta: nada menos que la estructura vertebral necesaria para hacer posible dar continuidad a la formación matemática del niño.
►¿Qué se proponen Dienes y Holt?
Dienes y Holt han estructurado cuidadosamente la actividad matemática del ZOO, de manera que, para la mayoría de los niños, se tratará de ir accediendo a una progresión minuciosamente escalonada de problemas de pensar. El material se presenta, inequivocamente, con el objeto de que los niños puedan "hacer" matemática por su cuenta, y hacerla con corrección. Con una premisa básica: no apremiarlos.
►¿Cómo se usan los cuadernos?
Los cuadernos ZOO son cuadernos de trabajo. No deben ser empleados como libros de texto o como series de fichas que deban ser resueltas, buscando con ello obtener una supuesta evaluación escrita. Están pensados y elaborados con el fin de que los niños -luego de una suficiente actividad previa con manipulación de diversos materiales concretos y construcción de situaciones reales de aprendizaje- realicen comparaciones, descubran relaciones e intenten traducir, por medio de representaciones gráficas, conceptualizaciones ya logradas.
►¿Qué es eso de la "actividad previa"?
Dienes no quiere dejar lugar a dudas en este aspecto. Lo fundamental es la manualización y el juego con objetos y con personas reales. Y antes de abordar las tareas sobre el cuaderno, deben haberse realizado numerosas actividades concretas en el aula, en el patio y en los restantes ámbitos físicos que vive el niño. Esa experiencia física no es un fin en si misma. No se trata de lograr simples comprobaciones empíricas; se trata de generar, a partir de ella, actividades mentales no triviales y de suscitar la formación de vitales hábitos de pensamiento.
►¿Cómo "lee" el niño las consignas?
La ausencia de texto se debe, obvia mente, a que los niños no saben leer. Esto no representa un inconveniente en cuanto a la comprensión de las consignas. Muchos de los ejercicios suelen presentarse mediante la primera viñeta recuadrada, donde un animal (ratón, gato, etc.) intenta explicar al niño, con sus gestos, cómo debe resolver el ejercicio. Así, su gesto de perplejidad o incertidumbre significará que no ha terminado aún la tarea que sugiere. Su cara de disconformidad, que el ejercicio-ejemplo no está correctamente hecho. Si su cara es de satisfacción o complacencia, indicará su conformidad con el resultado.
Será preciso, entonces, que el niño conozca determinados signos convencionales, de manera de poder interpretar el alcance de la tarea que se le propone. Este simbolismo "iconográfico" no sólo permite explicar, sin palabras, las cuestiones matemáticas, sino que es adecuado para autoestimular al niño.
Algunos de los signos de uso más frecuente son las flechas, cruces, unión de líneas, líneas de puntos, etc. Será necesario comprobar que los niños:
- saben el significado de una flecha, como signo que indica sentido.
- saben el significado de X como incorrecto y de ✔ como conforme o correcto.
- saben trazar líneas que no sean demasiado ondulantes.
- saben aprovechar la ayuda que significa una línea de puntos, trazada a modo de sugerencia.
►Un vistazo a los cuadernos
LOS CUADERNOS ELEFANTE
Los objetos que nos rodean poseen cualidades que los distinguen o que permiten establecer analogías entre ellos. Tales cualidades o atributos, conducen a la formación de conjuntos de elementos que se caracterizan por compartir una misma propiedad. Algunos de esos atributos, cuyo conocimiento incorporan los niños rápidamente, son - por ejemplo - color, forma, tamaño sexo, sabor, etcétera.
El objetivo de los ejercicios presentados en estos cuadernos es, precisamente, que el niño aprenda a formar conjuntos de elementos que tengan una propiedad común, distinguiendo estos elementos de aquellos otros que no poseen tal propiedad. En estos conjuntos "bien formados" no debe haber elemento alguno que no posea la propiedad, ni debe faltar elemento alguno que la posea.
Esta actividad podrá dar lugar, a veces, a la clasificación de todos los elementos de que dispone. Se hace oportuna una advertencia. A menudo, los niños no se limitan a trabajar con los elementos que están asignados al respectivo juego. Puede ocurrir que en una misma página estén propuestos dos o más ejercicios distintos y, para algunos niños, los espacios distribuidos no son claramente visualizados como espacios distintos. Además, la misma satisfacción que les produce la actividad los mueve a echar mano de más elementos de los que, en realidad, tienen disponibles de acuerdo con lo propuesto por los autores.
Será conveniente que el maestro les indique que en ese instante están jugando precisamente con los dibujos de la viñeta en cuestión y no con los de las otras. Esta limitación cobra especial trascendencia en cuanto a la actividad matemática del niño: se realiza con ciertos objetos o elementos especialmente elegidos y que constituyen el respectivo conjunto de trabajo, usualmente denominado -en la jerga matemática- como conjunto referencial.
Los niños se van acostumbrando a la utilización de un preciso lenguaje gráfico que resulta, no pocas veces, más directo que el lenguaje escrito. En efecto; un simple trazo situado entre dos dibujos puede significar tienen la misma forma" o bien "tienen el mismo tamaño" o aquello que corresponda. Esta particular actividad tiene como fin poner de manifiesto que los elementos que pertenecen a un mismo conjunto tienen una propiedad común y, además, permiten una aproximación a las primeras nociones de relación.
La relación de pertenencia es suficientemente abordada, preparando la idea de que pueden formar se conjuntos cuyos elementos sean conjuntos (así, por ejemplo, un conjunto de familias). Una vez establecida esta noción se estudian algunos ejemplos de tales conjuntos. Se buscan relaciones entre ellos, apuntándose a un descubrimiento crucial: algunos conjuntos tienen "tantos elementos como" otros de terminados conjuntos. De aquí nacerá la idea de número natural, como lo que tienen en común los conjuntos que pueden ser "coordinados" entre sí.
Los últimos ejercicios se refieren a la introducción de los símbolos numéricos. Vale una consideración: esta etapa puede retrasarse todo lo que sea necesario. Es de absoluta prioridad que se haya garantizado al niño su familiaridad con las ideas matemáticas. El apuro por hacer que aprenda a escribir símbolos convencionales no se justifica; en el Jardín hay prioridades ( no vacilamos en repetirlo ) :
➥que los niños se familiaricen con las nociones constitutivas del número y del espacio y
➥que se aficionen a investigan la realidad matemática con hábitos de pensamiento constructivo.
LOS CUADERNOS PERRO
Estos cuadernos se relacionan íntimamente con los "ELEFANTE". Preparan al niño para su acercamiento a las primeras nociones básicas del mundo conjuntista y, simultáneamente, a las primeras operaciones lógicas.
Cuando el niño forma un conjunto con los elementos de la viñeta que poseen una determinada propiedad (por ejemplo, que son amarillos), deja otros elementos fuera del conjunto (los que son no amarillos). Al conjunto de los elementos que quedan fuera se lo llama conjunto complementario del primero. La propiedad "no amarillo" se denomina negación de la propiedad "amarillo". Esta riquísima idea del no es quizá al concepto más sorprendente al que se apunta con los juegos previstos en estos cuadernos de trabajo. Por supuesto que no se trata de caer en un verbalismo vacío y estéril, resultado de hacer enseñanza do palabras. La tarea de los niños, más allá de los términos que usen, es familiarizarse con los conceptos jugando con ellos.
También comienza a consolidarse la idea de conjunto Intersección de otros dos. Se trata del conjunto formado por los elementos comunes a ambos. Si los elementos del primer conjunto tienen una propiedad (ser azules, por ejemplo) y los del segundo conjunto tienen otra propiedad (ser redondos, por ejemplo), los elementos del conjunto intersección tienen, a la vez, las dos propiedades. Cada uno de ellos es azul y redondo. Esta propiedad compuesta se llama conjunción de las dos propiedades originales.
Para clarificar este tipo de ejercitación se sugiere el empleo de los diagramas de Euler-Venn y de los diagramas de Carroll, que previamente los niños ya habrán utilizado jugando en el patio o en el piso, ubicando objetos reales.
Hacer que el niño se habitúe a utilizar diagramas representa, según la propuesta metodológica de Dienes, un logro esencial. ¿Qué papel juegan, en cuanto a la formación del niño, las representaciones gráficas? Nos dice J. Bertin:
"La representación gráfica forma parte de los sistemas de signos fundamentales que el hombre ha construido para retener, comprender y comunicar las observaciones necesarias para su supervivencia y su vida pensante. 'Lenguaje' destinado al ojo, se beneficia con las propiedades de ubicuidad de la percepción visual y obedece a sus leyes".
Retener, comprender, comunicar... Efectivamente; en la actividad matemática las representaciones gráficas concurren al logro de esos objetivos. Se trata de "dibujar ideas" de la mejor manera posible puesto que, finalmente, tales esquemas van a ser utilizados como apoyos visuales de abstracciones ya logradas.
LOS CUADERNOS GATO
Los cuadernos Gato tratan de poner de relieve las relaciones que el niño ya observa entre los objetos que le rodean. El niño reconoce, por ejemplo, que determinadas cosas poseen el mismo valor de color o bien de forma o bien de tamaño, etcétera. Estas relaciones -que podríamos expresar como relaciones "tener el mismo..."- son denominadas relaciones de equivalencia. También reconoce el niño las cosas que poseen "diferente color" o, por ejemplo, "diferente forma". Registra las llamadas relaciones de diferencia. El permanente juego con estos dos tipos de relaciones lo hará posible ir accediendo a la capacidad para clasificar correctamente los elementos de un conjunto.
Una de las operaciones esenciales del pensamiento lógico-matemático, clasificar, significa, en cierto modo, poner orden y dar significado a la experiencia que se está observando y encierra una meticulosa tarea de análisis y síntesis. Estamos en presencia de un hábito de pensamiento vital y permanente en el transcurrir de la vida del niño. Clasificará animales, clasificará palabras, clasificará libros de cuentos, clasificará personas, clasificará problemas. Durante esos esfuerzos de pensamiento constructivo, el espíritu del niño se sutiliza, se enriquece y se estructura. No se trata solamente de un trabajo de abstracción; "prerrequiere" conocimiento, organización, clarividencia y afán de verdad. ¿Queda alguna duda? Está en juego la formación total del niño.
En estos cuadernos se ejercita también la relación de orden. La ordenación o seriación de los objetos de un conjunto teniendo en cuenta el tamaño o la forma o el color o varias de estas cualidades a la vez; es un tipo de actividad que facilitará al niño una mejor comprensión de los conjuntos ordenados de números.
LOS CUADERNOS PANDA
¿Cómo explora el espacio un niño? Desde su nacimiento comienza a familiarizarse con él observando las cosas que están a su alrededor, extendiendo sus miembros y, más adelante, desplazándose. Le demandará un tiempo bastante largo ir desarrollando ideas claras sobre las nociones geométricas. Aún para las aparentemente sencillas nociones de "dentro", "fuera", "delante", "detrás" u otras similares.
Cuando llega al Jardín, algunos de estos componentes del desarrollo de las ideas geométricas ya están iniciados. Su desenvolvimiento en la vida cotidiana le proporciona, ya desde muy pequeño, múltiples ocasiones para irse familiarizando con la vivencia topológica, a través de sus experiencias espontáneas y de muchos de sus juegos.
Los cuadernos "Panda" tienen por objeto, en primer lugar, animar y ampliar ese proceso natural de desarrollo, enriqueciendo el campo de las situaciones espaciales, variando su alcance y graduando sus dificultades. En segundo lugar, su finalidad es facilitar la ordenación de todo ese cúmulo de experiencias. El niño se ejercitará con lineas abiertas, lineas cerradas, regiones, laberintos, a través de juegos que le interesan y divierten. Se continúa, luego, con la tarea de relacionar, vinculando estos conceptos con otros ya adquiridos. Así, por ejemplo, los niños que ocupan las distintas regiones de un laberinto podrán ser comparados por una relación de equivalencia ("estar en la misma región") o por una relación de diferencia ("estar en distinta región").
Los juegos de Panda son especialmente apropiados para ser trasladados al suelo del patio, de modo que los mismos niños intervengan como elementos.
En un texto que acompaña a los cuadernos con notas para las maestras - Dienes y Holt aclaran algunos aspectos de su utilización y contestan, implícitamente, algunas de nuestras inquietudes.
¿Qué es eso de "visión infantil" de la geometría?
"En esta colección que llamamos Zoo , los libros «Panda» son, probablemente los más sencillos y los más divertidos para un niño, quizá porque tratan acerca de la visión infantil de la geometría. Ocurre así que esta visión es topológica, siendo la topología la rama más moderna de la matemática.
¿Qué es la topología? Algunas veces llamada la geometría de la «goma», la topología es el estudio de las propiedades que quedan invariables cuando se alteran las figuras -se estiran, se tuercen o se comprimen- pero sin llegar a romperlas.
Imaginemos un cuadrado ABCD dibujado en un globo antes de inflarlo. ¿Qué ocurre con el cuadrado cuando inflamos el globo? Ya no es un cuadrado con lados rectos y ángulos de 90. Sus lados se han curvado hacia fuera y se ha hecho mayor. Los ángulos ya no son rectos. Ha perdido su cuadratura. Pero, ¿cuáles son las propiedades que no han cambiado? La figura sigue siendo cerrada, continúa teniendo un interior y un exterior. Su frontera, no rota, continua encerrando una sola región de la superficie del globo. Además, el orden de los ángulos, ABCD, no ha cambiado. Estas propiedades que no cambian al alterar la figura, son las que constituyen el estudio de la topología.
Ésta no se parece demasiado a la geometría de Euclides, pero, tal como decimos, coincide con la visión que un niño tiene del espacio. "
¿Qué dificultades encuentran los niños?
"Se podrá comprobar cómo estos cuadernos pueden poner de manifiesto algunos hechos, aparentemente obvios pero extraordinariamente ciertos, acerca del modo que tienen los niños de razonar. En los laberintos de «Panda 2», no resulta evidente para un niño que si el panda puede llegar hasta la chica, automáticamente la chica pueda llegar hasta el panda: la mayor parte de los niños tienen que volver recorrer el camino con el dedo para poder establecer esta segunda relación. Esta importante relación de doble sentido acerca del espacio raramente es enseñada, dejando al niño que tropiece, por sí solo, con esta idea. También podemos decir que los niños experimentan una dificultad muchísimo mayor en colorear regiones («Panda 1», páginas 2 y sucesivas) de lo que normalmente se supone."
¿Por donde empezar? ¿Debe respetarse alguna ordenación conceptual?
"... creemos que la topología debería ser enseñada a los niños mucho antes que la convencional geometría formal. La formación de conceptos no es espontánea, tiene que ser apoyada. Incluso midiendo las dimensiones del patio de recreo, la clase o el pasillo de la escuela, cien veces (y muchos lo hacen) un niño no adquirirá, si no se le suministran ejercicios estructurados, una profunda concepción de lo que es el espacio; a excepción de que sea un «dotado para la matemática», lo cual quiere, probablemente, decir que: a) tiene una mente analítica y b) posee, por su cuenta, conceptos abstractos. Para un niño no analítico, nada de todo esto tiene lugar nunca. Por todo ello, es de capital importancia que nosotros desarrollemos activamente las concepciones acerca de ideas aparente mente sencillas, sobre el espacio, tratadas bajo el epígrafe de topología. Y ello ya que, tal como demuestran las investigaciones, el mundo de los niños es topológico y no euclídeo. Enseñar la abstracción que implica el concepto de punto, tan necesario para la geometría de Euclides, antes de desarrollar una profunda aproximación a conceptos más concretos como las regiones y sus fronteras, es realmente como empezar a construir una casa sin haber puesto los cimientos.
¿Cómo hacer que los niños participen?
"Para iniciar el despegue, tenemos que conseguir que los niños adquieran el «sentido» de la idea matemática de espacio. Pueden, por ejemplo, recorrer fronteras cerradas a lo largo de cordeles, o líneas trazadas con tiza en el patio- para descubrir si efectivamente están cerradas o abiertas. De esta manera participan con su propio cuerpo. Ellos mismos se convierten en parte integrante de la matemática, la cual deja de ser una píldora de información «venida de fuera» que tienen que tragar entera, para devenir un concepto adquirido por propia experiencia. En una ocasión se preguntó a una niña lo que era un punto y, cruzando los dedos, explicó que un punto es donde se cortan dos líneas. Preguntada acerca de cómo describiría un punto para que lo entendiera un niño especialmente lento de entendimiento, replicó que se pondría a andar en línea recta y, de repente, se daría la vuelta; donde se diera la vuelta sería un punto. Lo importante de todo esto es el hecho de que ella se había imaginado a sí misma, verdaderamente, representando las ideas de «punto» y de «línea recta» utilizando su propio cuerpo. Éste se había con vertido en parte integrante de su propia experiencia."
►PARA MUESTRA, BASTA UN BOTÓN
Como información complementaria, nos parece oportuno mostrar algunas de las fichas con tareas propuestas en el ZOO: representan modelos especialmente significativos.
¿Quién está y quien no está adentro de la región interior?
El niño debe señalar con el signo ✓ (conforme) los a que están y con X (incorrecto) a los que no están. Se incluye un dato sugeridor: el perro no está y se lo ha marcado con x.
En la que sigue, la cuestión es otra : ¿qué figuras están en la región interior?
Al comparar con la anterior, surgen diferencias.
Se ha producido una variabilidad en cuanto a los objetivos didácticos. En efecto:
- ya no son figuras de animales, sino geométricas.
- ya no se trata de indicar ✓ o X , sino que debe dibujar cada una de las figuras que están en la región interior en cada uno de los cercos grises.
El elefante ayuda al niño sugiriendo uno de los dibujos por realizar.
En el otro modelo que viene a continuación, se trata de que el niño coloree regiones con diferentes colores. En la viñeta superior - sugeridora de la actividad hay marcos conteniendo tres regiones. Por consiguiente, cada uno requiere tres colores.
- los dos primeros marcos están correctamente coloreados (llevan la señal de conforme)
- los dos últimos lo están incorrectamente (por eso llevan la otra señal)
En los dibujos problemas, se le proponen al niño curvas con formas reconocibles: auto, elefante, cabezas de otros animales, huellas.
Vayamos al último de los ejemplos.
En el diagrama con flechas a la derecha del laberinto, el ratón las ha dibujado para contestar la pregunta ¿quién puede llegar hasta quién?. Dentro del laberinto el oso panda puede llegar hasta el chico con saco y viceversa ; fuera del laberinto, el chico sin saco puede llegar hasta la chica y viceversa.
En las tareas propuestas, el niño debe ser capaz de dibujar todas las flechas relacionantes que correspondan. (Algunas ya lo están y otras aparecen incompletas.)
►EL ZOO Y EL MAESTRO
La propuesta del ZOO no es un simple conjunto de recetas. Está dirigida a iluminar todo el proceso de iniciación matemática del niño.
Antes de abordar tareas en el cuaderno se hace imprescindible haber realizado numerosos juegos y actividades con la participación activa de los alumnos, manipulando diversos materiales concretos. De aquí que la maestra jardinera se transforma en protagonista relevante.
Deberá, entonces, dar vida y sostener un serio esfuerzo personal en el plano metodológico, preparándose para aprovechar todas aquellas situaciones que se muestren aptas para consolidar hábitos de pensamiento.
Si la construcción genuina del número y del espacio representa -no cabe duda alguna- la base fundacional del futuro aprendizaje matemático del niño, no podemos mezquinar el tiempo de siembra y preparación; será preciso invertir todo el que sea necesario.
Sólo así, y ya desde el Jardín, la aventura de la educación matemática representará un reto a la creatividad y a la inteligencia; sólo así dejará de ser un estéril y fastidioso desafío a la memoria.
Bibliografia y material complementario
Iniciación a lógica y conjuntos. Z. P. Dienes. Adaptación al castellano: R. Pons. Editorial Teide, S. A. Barcelona, 1970
Es un cuaderno de fichas de trabajo del que se pueden sacar copias de gran formato para que los niños manipulen con los Bloques Lógicos y con tarjetas sobre las mismas.
Lógica y juegos lógicos. Z. P. Dienes y E. W. Golding. Traducción de Maria Deschamps Bonet. 5ª edición. Editorial Teide, S. A. Barcelona, 1971
De los juegos que están detallados al final del libro aconsejamos especialmente los primeros.
Zoo. Notas para el profesor. Editorial Teide, S. A. Barcelona.
Una guía detallada para obtener el máximo provecho de la utilización de los ocho cuadernos, con ejercicios previos y complementarios.
Regletas Teide, acoplables. Editorial Teide, S. A. Barcelona.
Son diez regletas de distintos colores, desmontables en diez regletas elementales cada una de ellas.
Minicubos encajables. Tauvi, Barcelona
240 piezas en 6 colores. Utilizables como regletas, como fichas y para un sinfin de actividades libres.
Bloques lógicos. Z. P. Dienes. Editorial Teide, S. A. Barcelona
Material estructurado mediante las combinaciones de cuatro variables (forma, color, tamaño y grosor) con distintos valores en cada caso (respectivamente, 4 formas, 3 colores, 2 tamaños y 2 grosores).
El niño en el país de las geometrías. A. R. Palacios y E. Giordano. Ediciones Eureka. La Plata. Argentina. 1992.
►Como complemento y aplicación de lo publicado en este artículo te invitamos a ver el video:
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