Un camino hacia la estructura de Grupo

Ariel Carballido

Sandra Martorelli

Alfredo Palacios

 Por lo tanto, desde la infancia es preciso hacer estudiar la aritmética, la geometría y todas las ciencias que deben preceder  a la enseñanza de la dialéctica, y dar a las lecciones una forma tal que no deje traslucir la menor violencia.

-¿Por qué?

- Porque -respondí- el hombre libre nada debe aprender esclavizado; pues si bien los ejercicios corporales aún practicados a la fuerza no causan mal alguno al cuerpo, las lecciones que a la fuerza han sido metidas en el alma, poco tiempo permanecen en ella.

-Nada más cierto -dijo.

- Por consiguiente, querido joven -repliqué-, no emplees jamás la violencia con los niños y haz que la educación sea para ellos un juego, lo que, por otra parte, te permitirá descubrir mucho mejor las disposiciones naturales de cada uno.

- Lleno de razón está este precepto- dijo.

PLATÓN, La República, libro VII

374 A. C.

INTRODUCCIÓN.

El bajo rendimiento que se observa en la formación matemática de los jóvenes y la creciente y generalizada actitud de rechazo hacia la matemática en los alumnos de todos los niveles, requiere que se analicen los aspectos del proceso de enseñanza que conducen a esos resultados.

La declamación sobre que: “la actividad matemática debe apuntar fundamentalmente a desarrollar aptitudes de razonamiento lógico y no a la mera adquisición de técnicas”, no se corresponde con la realidad; por encima de cuantiosos esfuerzos de aquellos docentes que reconocen el problema, la enseñanza de la matemática sólo culmina, en el mejor de los casos, como el aprendizaje de procesos mecanizados. Más aún: los alumnos encuentran resultados correctos, con procedimientos que no comprenden, a problemas que no interpretan. En el nivel primario, “dividir” correctamente sin saber lo que significa dividir. En el nivel medio, resolver “ecuaciones” con pasajes de términos” misteriosos sin saber lo que significa una ecuación.

 Para obtener una plena comprensión matemática, con alumnos que pongan en juego el dinamismo constructivo de su pensamiento, es necesario que su aprendizaje de procedimientos sea la culminación de su descubrimiento de las estructuras matemáticas que los generan. Ver esos procesos como formando un enlace de estructuras cada vez más complejas, donde la visión de esa estructura es más importante que el simbolismo formal que los expresa.

Se trata de ponerlos en situación de descubrir cuáles son esas estructuras, cómo están constituidas y cómo se enlazan unas con otras.

En este punto es inevitable abordar el verdadero nudo de la cuestión: la metodología tradicional ha olvidado el simple hecho psicológico de que la construcción debe preceder al juicio y al análisis; la construcción debe preceder al análisis o no tendrá sentido analizar.

El alumno, aplastado por conceptos cuyo marco conceptual no conoce y en cuya construcción no ha participado, deriva su actitud de “aprendizaje” hacia la repetición memorística. El maestro o el profesor actúa como fuente autoritaria de la información. El alumno, receptor pasivo de la misma, sólo intenta repetirla adecuadamente, sin discernir nunca claramente el por qué y el cómo de las cosas. Este esquema emisor-receptor no cumple con el propósito de brindar al niño y al joven la formación matemática deseada; la carga de la memoria acaba por ser mayor de lo que puede soportarse, porque no está apoyada por la comprensión de las conexiones que existen en el fondo de lo que se ha “aprendido”.

Según Zoltan Paul Dienes el problema del aprendizaje consiste, esencialmente, en encontrar un ajuste apropiado entre lo que exige la estructura de la materia por aprender y la estructura del pensamiento del alumno. A esos efectos, sostuvo que la organización de la enseñanza de la matemática, si se pretende que todos los jóvenes accedan a ella, habrá de tener en cuenta ciertas etapas que caracterizan al proceso del aprendizaje:

Primera etapa: entendiendo que, de alguna manera, todo aprendizaje equivale a un proceso de adaptación del organismo a su entorno, esta etapa introduce al alumno en el medio, construido especialmente para poder inferir ciertas estructuras matemáticas. Esta fase de adaptación, se puede denominar fase de juego libre. Ese entorno requiere la utilización de material concreto, concebido como instrumento de investigación y descubrimiento puesto en manos de los alumnos.

Segunda etapa: El alumno, que ha descubierto en el medio ciertas regularidades, está dispuesto a jugar sobre la base de ciertas restricciones convenidas arbitrariamente. Estamos en la etapa de los juegos estructurados. Las reglas del juego representan las limitaciones en las situaciones matemáticas.

Tercera etapa: Cuando el alumno ha jugado juegos con apariencia distinta, pero que poseen la misma estructura, llega a descubrir las conexiones de naturaleza abstracta que existen entre los elementos de un juego y los elementos de otro. Obtiene la estructura común de los juegos y deja de lado los aspectos carentes de interés. Es la etapa del juego de diccionario o juego de isomorfismo.

Cuarta etapa: Se representa la estructura común de una manera gráfica o esquemática. Esta representación le permite observar desde fuera y hablar de lo que ha abstraído, como así también examinar los juegos y reflexionar sobre ellos. Estas representaciones no son todavía un lenguaje, sino un medio audiovisual de recordar a la mente las semejanzas que existen en esas concretizaciones particulares.

Quinta etapa: Tras introducir una representación o varias representaciones de la misma estructura, ha llegado el momento de estudiar las propiedades que surgen de la representación; es decir, las propiedades de la estructura abstracta. Para ello es necesario inventar un lenguaje. Podrá entonces describirse la representación a partir de este lenguaje inventado.

Sexta etapa: Dado que no es posible, por la complejidad de las estructuras matemáticas, describir todas sus propiedades, se toma un cierto número de ellas como punto de partida: los axiomas. Se adopta un método para llegar a otras propiedades de la descripción: reglas de demostración. Las propiedades ulteriores a las que se llega, se denominan los teoremas del sistema.

El manejo de un sistema de este tipo, denominado sistema formal, es el objetivo final del aprendizaje matemático de una estructura.

En la pedagogía tradicional se suele actuar exactamente en sentido inverso. Se introduce el sistema formal mediante un conjunto de símbolos. Al apreciar que el alumno no está en condiciones de asimilar dicho sistema, se utilizan medios audiovisuales para lograr que lo comprenda. A partir de la etapa del simbolismo se pasa a la etapa de la representación. Al comprobar que el alumno sigue sin estar en condiciones de aprender los conceptos, a pesar de las ayudas audiovisuales, se le enseñan sus aplicaciones en la realidad. Se llega así, finalmente, a la realidad de la cual se tendría que haber partido. 

De este modo, en la enseñanza tradicional, las clases magistrales explicativas concretan un sentido del aprendizaje exactamente contrario al propuesto por Dienes.

► Primer juego: La aritmética del reloj, (una aritmética que da la hora) 

Ante la pregunta: ¿Cuál es el resultado de 11+2?, la respuesta mecánica de nuestros alumnos no se hace esperar: 13. Volvamos a preguntar: ¿podrá ser 11 + 2 = 1? Categórica negativa.

Sugerimos entonces analizar el universo aritmético del reloj. Cada alumno construye un modelo o utiliza su propio reloj de pulsera (en caso de ser un reloj analógico).

¿Cuáles son los números que figuran en el cuadrante de un reloj?

Los alumnos obtienen el conjunto solución sin ninguna dificultad:

{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}

Es oportuno entonces volver a plantear la pregunta inicial: ¿Qué horas tenemos dos horas después de las 11 horas? Respuestas dispares: la mayoría contesta “la hora trece”; algunos “la hora 1”.

Preguntemos: ¿Puede una “misma suma” dar dos resultados? ¿Cuál de los dos números en cuestión pertenece al conjunto solución determinado?

Utilizando su modelo, los alumnos pueden materializar el problema.

Posición inicial: aguja corta en el 11, aguja larga en el 12.

Movimiento: dos vueltas completas en el sentido de avance.

Posición final: aguja corta en el 1, aguja larga en el 12.

Se ha facilitado la comprensión de futuras “sumas insólitas” en el restringido universo de los números del reloj. Este es el momento oportuno para discutir con los alumnos la otra solución. ¿Qué sentido tiene la expresión 11 + 2 = 13 en un conjunto de números donde no existe el número 13 como elemento? Hay una explicación que corresponde a una convención externa al plano sintáctico. Ella solamente tiene vigencia semántica: “las trece horas” significa “la hora una de la tarde” o “una hora P.M.” Nuestros clásicos relojes analógicos con números del 1 al 12, munidos de una convención externa, nos permiten registrar las 24 horas del día.

El paso inicial está dado. Algunos alumnos comienzan a buscar resultados para otras sumas. Proponemos entonces, con el objetivo de ordenar nuestra tarea, construir una tabla de suma para los números del reloj. La tabla resumen es posterior a la construcción de todas las sumas. Para resumir en una tabla, hay que tener primero los resultados y después construir la taba.

Tabla para la suma en el reloj

 

Fabricada la tabla, proponemos que los alumnos realicen un prolijo análisis para determinar posibles “curiosidades” que ella presenta. En realidad se intenta la obtención de regularidades o leyes que subyacen en esta estructura, formada por un conjunto numérico finito y una operación definida.

Un primer hecho es registrado rápidamente: en la tabla figuran como resultados los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Se ha logrado establecer una primera propiedad:

“la suma de dos números cualesquiera del reloj da como resultado otro número del reloj”

De otra manera:

“el conjunto de números naturales menores o iguales que 12 es cerrado para la suma definida en el reloj (suma módulo 12)”

El término “cerrado” no fuerza en nada nuestra intuición; todo lo que significa es que en nuestros resultados no aparecen nuevos números, distintos de los elementos del conjunto. Se ha establecido la propiedad de cierre.

Una segunda propiedad es descubierta de inmediato: si sumamos 12 a cualquiera de los números considerados, obtenemos como resultado el número considerado; esto es:

12 + a  = a + 12 = a

Para todo número  que pertenece al conjunto en cuestión. Además, no hay otro elemento del conjunto que tenga dicha propiedad: 12 es el único. Resumiendo:

“el conjunto de los números del reloj tiene un elemento, 12, que es neutro para la suma”

Alentamos a los alumnos para que sigan viendo en la tabla. Surge otro hallazgo: el 12 figura una y sólo una vez en cada fila y columna. Por ejemplo, en la cuarta fila 12 figura solamente en la octava columna. Es decir, para todo x que pertenece al conjunto dado, existe un solo x tal que:

a + x = 12

Para cualquier número del conjunto considerado existe un número (que también pertenece al conjunto) tal que sumado a aquel, da como resultado el neutro.

Expresemos esta propiedad así:

“todo elemento del conjunto de números del reloj tiene un opuesto”

Los alumnos no tardarán en extraer de la tabla, por ellos construida, una nueva conclusión: la tabla es simétrica respecto de la diagonal que va desde el vértice superior izquierdo al vértice inferior izquierdo. Es decir, el resultado obtenido entrando por la b-ésima fila y la o-ésima columna, es el mismo que se obtiene entrando por la o-ésima fila y la b-ésima columna.

Reconocen así la propiedad conmutativa de la operación.

Queda por determinar una quinta propiedad que es no observable directamente en la tabla. Ante nuestra sugerencia, y utilizando la tabla construida, los alumnos verificarán que, cualesquiera sean tres números a , b  y c del conjunto, las sumas (a + b) + c  y  a + (b + c )  tienen el mismo resultado. La circunstancia de trabajar con un conjunto finito, permite analizar exhaustivamente la existencia de la asociatividad.

 Proponemos a continuación a nuestros alumnos otros juegos de apariencia distinta, con otro tipo de material. No obstante, estamos variando la representación perceptiva dejando invariable la estructura conceptual. Las distintas experiencias los conducirán a la propia elaboración del concepto matemático investigado. 

►Segundo juego: No seas cuadrado, ¡cartonazo! (el movimiento se muestra rotando) 

Material: un rectángulo de cartón (no cuadrado)

Consigna: determinar todas las formas posibles de hacer coincidir ese rectángulo con un rectángulo congruente dibujado en una hoja de papel. 

La investigación concluye necesariamente con la existencia de 4 maneras distintas de obtener coincidencias entre ambos rectángulos. Estas resultan ser las maneras distintas de hacer coincidir un rectángulo consigo mismo; nuestra formulación en términos de dos rectángulos, uno físico de cartón y otro gráfico sobre el papel, tenía por objeto facilitar la búsqueda de coincidencias.

 

Nombre de la simetría	Significado en términos de rotaciones
I	Rotación de 0o alrededor del centro de gravedad. (inmovilidad)
R	Rotación de 180o en el plano alrededor del centro de gravedad.
H	Rotación de 180o en el espacio alrededor de la paralela media horizontal.
V	Rotación de 180o en el espacio alrededor de la paralela media vertical.

                      

Punto O: centro de gravedad

Eje h: paralela media horizontal

Eje v: paralela media vertical

                          

El rectángulo cuadrado tiene, pues, dos ejes de simetría (v y h) y un centro (o).              

  

          La operación definida entre estos elementos es la composición. Dados dos movimientos en un cierto orden, se efectúa un movimiento primero y el otro a continuación. En todos los casos, la posición final puede haberse obtenido realizando un único movimiento.

Tabla de composición

o	I	R	V	H
I	I	R	V	H
R	R	I	H	V
V	V	H	I	R
H	H	V	R	I

                                   

Efectuada la tarea de obtención de regularidades vuelven a registrarse los siguientes hechos:

i)                  El conjunto de simetrías del rectángulo es cerrado para la composición.

ii)                El conjunto de simetrías del rectángulo tiene un elemento, I, que es neutro para la composición.

iii)              Todo elemento del conjunto de simetrías del rectángulo tiene un opuesto. (la composición de ambos da como resultado I)

iv)              La composición de simetrías es conmutativa.

v)                La composición de simetrías es asociativa

 

           ►Tercer juego: las rotaciones del cubo mágico de Rubik

Material: un cubo Rubik

Consigna: se dispone el cubo de forma tal que la cara azul quede enfrentada al alumno, la cara superior roja, la cara derecha blanca, la cara izquierda amarilla, la cara inferior naranja y la cara verde opuesta a la azul (hemos adoptado la convención de colores del cubo original. Fácilmente puede adaptarse el juego a cualquier otra variante de los colores del cubo mágico en particular usado).

Sea O el punto intersección de las diagonales del cuadrado de la cara azul; se investiga cuántas rotaciones planas diferentes de la cara azul pueden hacerse con centro en O.

 

Nombre de la rotación	Significado en términos del movimiento de la cara azul
N	Rotación de nula. (inmovilidad)
c	Rotación de un cuarto de giro en sentido horario.
M	Rotación de medio giro en sentido horario.
T	Rotación de tres cuartos de giro en sentido horario.

 

Al igual que el juego anterior, la operación definida entre estos elementos es la composición. Recordamos que esta operación se interpreta como la realización de dos movimientos en un cierto orden (se efectúa un movimiento primero y el otro a continuación), dando como resultado una posición final que puede haberse obtenido realizando un único movimiento.

  

Tabla de composición

o	N	C	M	T
N	N	C	M	T
C	C	M	T	N
M	M	T	N	C
T	T	N	C	M

 

Luego de un detallado análisis los alumnos obtendrán las siguientes propiedades:

 

i)                  El conjunto de rotaciones es cerrado para la composición.

ii)                Existe un elemento del conjunto de rotaciones, N, que es el neutro para la composición.

iii)              Todo elemento del conjunto tiene su respectivo opuesto para la operación composición. (que a diferencia del juego anterior, no siempre un elemento es el opuesto de sí mismo)

iv)              La composición de rotaciones es conmutativa.

v)                La composición de rotaciones es asociativa.

 

          ►Cuarto juego: El triángulo equilátero

 

Material: un cartón con forma de triángulo equilátero en el que estén marcadas sus tres alturas (indique el punto de intersección por O).

Consigna: Encontrar todos los movimientos posibles que lleven al triángulo a tener una posición similar a la inicial. Deben tenerse en cuenta las rotaciones con centro en O y las simetrías axiales respecto de las alturas.

 

Se obtendrán tres rotaciones y tres simetrías axiales, a saber:

 

Nuevamente haremos uso de la operación composición entre las seis transformaciones geométricas construidas.

 

                    Tabla de composición

o	R0	R1	R2	S1	S2	S3
R0	R0	R1	R2	S1	S2	S3
R1	R1	R2	R0	S2	S3	S1
R2	R2	R0	R1	S3	S1	S2
S1	S1	S3	S2	R0	R2	R1
S2	S2	S1	S3	R1	R0	R2
S3	S3	S2	S1	R2	R1	R0

               

                       Haciendo un análisis similar al realizado en los juegos anteriores, los alumnos podrán destacar todas las propiedades vistas salvo una (¿Cuál?).

Momento de definiciones:

Diremos que el par ordenado (G, *) es un grupo si A es un conjunto, * una operación binaria con las propiedades:

1.     Ley de cierre: si a,b son elementos de G, se cumple que a*b es elemento de G.

 

2.     Asociatividad: si a,b,c son elementos cualesquiera de G, se cumple que:

(a*b)*c = a*(b*c)

 

3.     Existencia de elemento neutro: existe un elemento “e” perteneciente a G, tal que para todo “a” perteneciente a G se cumple:

e*a = a*e = a

 

4.     Existencia de elemento opuesto: para todo “a” perteneciente a G, existe un elemento “a^I” de G tal que:

 

a*a^I = a^I*a = e

           

Si además se cumple que para a,b cualesquiera de G:

a*b = b*a

  (Propiedad conmutativa)

Se dice que el grupo es abeliano o conmutativo.       

¿En cuáles de los juegos vistos se utiliza una estructura de grupo abeliano?          

 

Bibliografía:

Dienes, Z.P. (1981). Las seis etapas del aprendizaje en matemática. Barcelona: TEIDE.

Palacios, A. Giordano, E. (1971). Las etapas del aprendizaje para la educación preescolar. Buenos Aires: OMEP